适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练52抛物线

课时规范练52抛物线基础巩固组1.抛物线y=8mx2(m<0)的焦点坐标是()A.18m,C.0,-1322.(2023江西鹰潭一模)已知抛物线y2=18x的焦点为F,准线为l,点P为C上一点,过P作l的垂线,垂足为A,若AF的倾斜角为150°,则|PF|=()A.6 B.5 C.4 D.33.已知F为抛物线y2=4x的焦点,点P(x0,y0)是该抛物线上的一点.若|PF|>2,则()A.x0∈(0,1) B.x0∈(1,+∞)C.y0∈(2,+∞) D.y0∈(-∞,2)4.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x25-y23=1的右焦点重合,A.42 B.2 C.2 D.225.在平面直角坐标系中,已知M(2,0),点B为直线l:x=-2上的动点,点A在线段MB的垂直平分线上,且AB⊥l,则动点A的轨迹方程是()A.y2=8x B.y2=4xC.x2=8y D.x2=4y6.(2023河南洛阳三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上的点,线段AF的垂直平分线经过点B0,5p2,则|AF|=()A.23p B.3pC.25p D.2p7.(多选)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为A.若直线AF的斜率k=-3,则下列结论正确的是()A.准线方程为x=-3B.焦点坐标F3C.点P的坐标为9D.PF的长为38.若抛物线C焦点在y轴上,且过点(2,1),则抛物线C的标准方程是.

9.(2023山东青岛一模)已知O为坐标原点,在抛物线y2=2px(p>0)上存在两点E,F,使得△OEF是边长为4的正三角形,则p=.

综合提升组10.(多选)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,22),焦点为F,则()A.点M到焦点的距离为3B.直线MF与x轴垂直C.直线MF与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=011.抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,点F为抛物线的焦点,点P为抛物线上一个动点,点Q为曲线C:x2-10x+y2-2y+22=0上的一个动点,则|PF|+|PQ|的最小值为()A.7 B.72 C.8 D.8212.(多选)已知抛物线x2=12y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点,则下列结论正确的是(A.点F的坐标为1B.若直线MN过点F,则x1x2=-1C.若MF=λNF,则|MN|的最小值为1D.若|MF|+|NF|=32,则线段MN的中点P到x轴的距离为13.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为其焦点,以点F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点.若△FBC为等腰直角三角形,且△ABC的面积是42,求抛物线的方程.创新应用组14.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m>0)在抛物线C上,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P(x0,y0)为抛物线C上任意一点,过该点的切线为l0,证明:过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.

课时规范练52抛物线1.B解析由y=8mx2(m<0),得x2=18my,所以抛物线y=8mx2(m<0)的焦点坐标是0,12.A解析由题意,得F92,0,准线方程为x=-92,设准线与x轴交于点K,P(xP,yP),则|KF|=9.如图,因为AF的倾斜角为150°,所以∠AFK=30°,故|AK|=|KF|tan30°=33,所以yP=33,则xP=32.所以|PF|=|AP|=xP+92=6.故选3.B解析由题可知p2=1,所以|PF|=x0+1>2,解得x0>1.故选B4.A解析由题可知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为p2,0,双曲线x25-y因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,所以p2=22,解得p=42故选A.5.A解析由题可知|AB|=|AM|,AB⊥l,所以点A的轨迹是以点M为焦点,以直线l为准线的抛物线,所以p2=2,解得p=4,所以点A的轨迹方程为y2=8x故选A.6.D解析抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F0,p2,设A(x1,y1),线段AF的垂直平分线经过点B0,5p2,所以|BF|=|BA|,即5p所以4p2=x12+(y1-5p2)2.因为x12=2py1,则4y12-12py根据抛物线定义,可得|AF|=y1+p2=2p.故选D7.BC解析∵抛物线方程为y2=6x,∴焦点坐标F32,0,准线方程为x=-32,故A∵直线AF的斜率为-3,∴直线AF的方程为y=-3x-32,∴A-32,33.∵PA⊥l,垂足为A,∴点P的纵坐标为33.∴点P的坐标为92,33,|PF|=|PA|=92+32=6,故选BC.8.x2=4y解析因为抛物线C焦点在y轴上,所以设抛物线方程为x2=my,m≠0.又抛物线过点(2,1),所以22=m,即m=4,所以抛物线方程为x2=4y.9.33解析△OEF为等边三角形,由抛物线的对称性得E,F关于x轴对称.由|EO|=4,∠EOx=30°,所以E(23,2),所以22=2p×23,解得p=3310.AC解析由题意知:(22)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线x=-1.由抛物线定义知,点M到焦点的距离等于到准线的距离,为2-(-1)=3,故A正确;由焦点F(1,0)知直线MF不与x轴垂直,故B错误;如图,设MN的中点为P,过M,N,P作准线的垂线,垂足分别为M',N',P',易知PP'=MM'故以弦MN为直径的圆与C的准线相切,C正确;由2-2×22+1≠0知M不在直线x-2y+1=0上,故D错误.故选AC.11.A解析由题可知抛物线方程为y2=16x,曲线C:(x-5)2+(y-1)2=4.过点P作PA垂直于准线x=-4,垂足为A(图略),则|PA|=|PF|,所以|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|.要使|PA|+|PQ|最小,则需A,P,Q三点共线且QA最小,所以最小值为9-2=7.故选A.12.BCD解析抛物线x2=12y的焦点为F0,18,根据抛物线的性质可得,MN过点F时,x1x2=-116,故B正确若MF=λNF,则|MN|的最小值为抛物线的通径长,为2p=12,故C正确由题可知,抛物线x2=12y的焦点为F0,18,准线方程为y=-18,过点M,N,P作准线的垂线MM',NN'则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|,|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=32所以|PP'|=|MM'|+|NN'|2=34,所以线段MN的中点P到x轴的距离为13.解由题可知p|BF|=cos45°所以|BF|=2p,所以|AF|=2p,所以点A到准线的距离d=2p,所以S△ABC=12×|BC|×d=12×2p×2p=42(p>0),解得所以抛物线方程为y2=4x.14.(1)解由抛物线的定义,可知|MF|=m+p2=2.①因为点M(2,m)在抛物线C上,所以2pm=4.②由①②解得p=2,m=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)证明①当x0=0,即点P为原点时,显然符合;②当x0≠0,即点P不在原点时,由(1)得x2=4y,即y=x24,则y'=12x,所以抛物线C在点P处的切线l0的斜率为12x0,所以抛物线C在点P处的切线l0的方程为y-y0=