高中数学基础知识扫描

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集合与简易逻辑：

集合简易逻辑

V『

■算V

关

系

概念运命题

工

灰

素

4.酥四种命题条件

与

储集

—

集

关话

逆

分合

小

类分要

—

非非

命命w命

也

必充

要分

项恩

定异序举条条

述图

性性性法法件件

一、理解集合中的有关概念

(1)集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。

集合元翥的互异性：如：A={x,xy,lg(xy)},8{0,lxl,y},求A；

(2)集合与元素的关系用符号反，其表示。

(3)常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有

理数集、实数集。

(4)集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图.

注意j区分集合史元素的形.式：如：

A={x\y=x2+2x+1}；B={yIy=x2+2x+1}；

C={(x,y)Iy=x2+2x+1}；

D={x\x=x2+2x+1}；E={(x,y)I>,=x2+2x+l,xeZ,yeZ}；

F={(x,y')Iy=x2+2x+1}；G={z\y=x2+2x+1,z=—]

x

(5)空集是指不含任何元素的集合。({0}、。和{例的区别；0与三者间的关系)

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意J条件为A口民,_在过逡的时候丕墓遗忘工A=2的情况。

如：A-[x\ax2—2x—1=0},如果AnR+=。，求a的取值。

二、集合间的关系及其运算

（1）符号“e,e”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关

符号“u,<Z”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线（面）的关系。

（2）4口§={};4U§={};

cz{}

（3）对于任意集合A,8,则:

①AUB―fiUA；A^B_5QA；AC\B_A\JB；

②ACl§=A=；AU6=A=；

CuAU§=U=;5^8=00；

③5口。8=；=。°（4口8）；

（4）①若〃为偶数，则〃=；若〃为奇数，则〃=；

②若〃被3除余0,则〃=；若〃被3除余1,则

n=；若〃被3除余2,则“=；

三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合A中有〃个元素，则集合A的所有不同的子集个数为,所有真子集

的个数是，所有非空真子集的个数是。

（2）AU冬中元素的个数的计算公式为:Card（AUB）=；

（3）韦恩图的运用：

四、4={用工满足条件〃},8={犬1》满足条件4},

若;则p是q的充分非必要条件OAB；

若;则p是q的必要非充分条件=AB；

若;则p是q的充要条件oAB；

若；则p是q的既非充分又非必要条件=；

五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；

注嬴，若「Pn「q「则P=q”,捶解题史的运用,一

如："sinawsin夕”是“a工月”的条件。

六、反证法：当证明“若P则q”感到困难时，改证它的等价命题“若小则「p”成立,

步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾

判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题：3、导出一个恒

假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

正面词语等于大于小于是都是至多有一个

否定

正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个

否定

二、函数

定义||图象||性质||方程|

一

指

的

三

兀

兀

反

数

数

角

比

一

二

例

函

函

函

次

次

型如:函

数型如：

数

数

函

函

数

数

a教

y=c+----y=x+—(k>0)

x-bx

对应方程

一一映射

不等式

反函数函数

-、映射与函数：

（1）映射的概念：A,8是两个集合，如果按照某种对应法则f,对于集合A中的-

个元素，在集合8中都有的元素与它对应；记作：；

（2）一一映射：A,8是两个集合，8是集合A到集合8的映射，如果在这个映

射下，对于集合A中的；在集合8中有；而且3

中；

（3）函数的概念：如果都是,那么A到B的映射f:A->B就叫做A到B

的函数，记作；

如：若4={1,2,3,4},8={“,>1}；问：A到8的映射有个，8到4的映射有

个；A到8的函数有个，若4={1,2,3},则A到8的一一映射有

个。

函数y=*(x)的图象与直线x=。交点的个数为个。

二、函数的三要素：,,。

相同函数的判断方法:①__________；②_____________(两点必须同时具备)

(1)函册解析套的求法:

①定义法(拼凑)：如：已知+」，求：/(x)；

XX

②换元法:如：已知/(3x+l)=4x+3,求/(x)；

③待定系数法:如：已知/{/"(x)]}=l+2x,求一次函数/(x)；

④赋值法：如：已知2/(x)—/(4)=%+l(xwO),求/(x)；

X

(2)函数定义域的求法:

①/=四，则________________；②/=^7^(〃6%*)则____________;

g(x)'

③丁="。)]。，则；④如：y=log/“)g(x)，

则；⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数y=/(x)的定义域是[0,1],求e(x)=/(x+a)+/(x-a)的定义

域。

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根

据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20,半径为广，扇形面积为S,则

S=f(r)=；定义域为

(3)函数值域的求法：

希配方晟转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：

f(x)=ax2+bx+c,xe(m,n)的形式：

②逆求法(反求法):通过反解，用y来表示X，再由x的取值范围，通过解不等式，

得出y的取值范围；常用来解，型如：)，=竺心,xe(机,〃)；

cx+d

③判别式法:转化一个关于x的一元二次方程(其中y为参数)，利用存在x使得方程

(ix~+hx+c

成立,找方程有解的充要条件;适用题型：y=A—。力不全为0)；

dx~+ex+f

有两种情况：(1)x无具体范围：直接套用ANO：(2)x有具体范围：要

用实根分布来其有根的充要条件；

注意：(1)若得到的一元二次方程，二次项系数是含有)，的多项式，此时要分类讨

论。

(2)若定义域中有不连续的点，要验证，方法为：令x取不连续点的值，求

出y，再由这个y求出与它对应的x,如果还有定义域内有定义的x'与

它对应,则此v为值域中的一个值，否则，此y不在值域中。

④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；适用题型

y=ax+y/bx+c；

⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本丕等式法：转化成型如：y=x+&(A>0),利用平均值不等式公式来求值域;

x

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

求下列函数的值域：①)=空处(a>O,b>O,a>A,xe[—lJ)(2种方法)；

a-bx

—_r4-3r~—_r4-3

②y=±e(-00,0)(2种方法);③y=-—£(-00,0)(2种方法)；

Xx-1

x~—x+3比2—x+3

@y=-\A^\xe(-oo,0)；⑤y=~~^,xe(-oo,0)(2种方法)；

X+X+1X

⑥y=-2x+3,4-x；⑦y=-2x+314-x?；⑧y=---------：

x

三、函数的性质：

(1)函数的单调性:对于给定区间上的函数/(X),如果对于定义域内任意的x「x,；

若_____,都有___________，则称/(X)为增函数；1随,

则称/(X)为减函数；

注意：(1)函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法。若函数是一个关于X的

多项式，还可以通过求导证明：当时为增函数，当时为减

函数。

(2)单调性一般用区圆表示，不能用集合表示。

_(2)…函数的奇偶性：对于函数/(x),如果定义域内任意的的,都有,则

称/(x)为奇函数；理直_______________,则称/(x)为偶函数；

奇函数的图象关于,偶函数的图象关于；

注意：(1)研究函数的奇偶性，.首先要研究函数的定义域；

(2)若函数)，=f(x),xe。是奇函数，且Oe。，则；

如：判断y=(x+"W的奇偶性。

美王函数的单调性和奇偶性的的结论：.

1、若奇函数/(X)在区间切上单调递增(减)，则/(X)在区间上是单调

递;

2、若偶函数/(x)在区间口力］上单调递增(减)，则/(x)在区间［-b,-a］上是单调

递；

3、既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为；这样的函数有

个。

4、任意定义在R上的函数/(x)都可唯•地表示成一个奇函数与一个偶函数的和：

/(x)=g(x)+/z(x);其中g(x)=是偶函数，/l(x)=是奇函

数；

(3)函数对称性的结论:

1、设函数y=/(x)的定义域为R,且满足条件：f(a+x)=f(b-x),则函数

y=/(x)的图象关于直线对称；

如：由/(1一》)=/(1+工)成立，则/(x)关于对称；

注意：y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称；

2、定义在R上的函数.丫=/。)对定义域内任意》满足条件/。)=26-/(2〃-%),

贝！Jy=/(x)关于点(。力)成中心对称，

如：/(%)=-/(-%)=>/(X)=2x0-/(2x0-%),则/(x)关于原点对称；

(4)函数的周期性：对于函数/(x),如果存在不为零的常数T,对于定义域内的每一个值,

都有则函数y=/(x)为周期函数，叫周期;

关于函数周期性的结论：

①定义在R上的函数>=f(x)对定义域内任意x,都满足条件

/(x)=/(x+a)=/(x—。)成立，则y=/(x)是以T=为周期的周期函

数;

②若函数卜=/(x)既关于直线x=。对称，又关于x=#6)对称，则y=/(x)一

定是周期函数，且7=是它的一个周期；

③若y=/(x)既关于直线X=a成轴对称，又关于点(b,c)成中心对称，则y=/(x)

一定是周期函数，且7=是它的一个周期。

四、图形变换：

3*移变摄一

①形如：y=f(x+a)i把函数y=/(x)的图象沿方向向或平移

个单位，就得到y=/(x+a)的图象。

②形如：y=f(x)+a：把函数y=/(x)的图象沿方向向或平移

个单位，就得到y=/(x)+”的图象。

(2)对称翻转变换：

①形如：y=/(-x)：其函数图象与函数y=/(x)的图象关于对称。

②形如：y=-/(%)：其函数图象与函数y=/(x)的图象关于对称。

③形如：y=/T(x)：其函数图象与函数y=/(x)的图象关于对称。

④形如：y=-/(—X)；其函数图象与函数y=/(x)的图象关于对称。

⑤形如y=/(|x|)：这是偶函数。其图象是关于y轴对称的，所以只要

先；就得

到了y=/(|xl)的图象。

⑥形如：y=l7(x)1:将函数y=/(x)的图

象；就得到函数

y=1/(x)I的图象。

一⑶/申缩变最一

①形如：y=/(处)3>0):将函数丁=/(X)的图象横坐标(纵坐标不变)缩小(0>1)

或伸长(0<。<1)到原来的-倍得到。

co

②形如：y=Af(x)(A>0)：将函数y=/(x)的图象纵坐标(横坐标不变)伸长(A>1)

或压缩(0<A<1)到原来的4倍得到。

如：y=/(x)的图象如图，作出下列函数图象:

⑴y=f(.-x);(2)y=-/(x)；

⑶y=/(lxl)；(4)y=1/(x)I；

(5)y=/(2x)；(6)y=/(x+l)；

(7)y=/(%)+1；(8)y=；

⑼y=f-'(x).

五、反函数:

(1)定义：设y=/(x)表示y是自变量x的函数，它的定义域为4,值域为C,由式子

y=/(X)解出x,得到式子x=e(y),如果对于y在C中的任何一个值，通

过式子x=9(y)j土在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x=°(y)

就表示x是自变量y的函数，这样的函数x=0(y),叫做y=f(x)的反函数,

记为£=/T(y),即x=°(y)=/T(y),习惯上仍用x表示自变量，y表示

函数，把它改写成y=

(2)函数存在反函数的条件：；

(3)互为反函数的定义域与值域的关系：；

(4)求反函数的步骤:①将y=/(x)看成关于x的方程，解出x=/T(y),若有两解，

要注意解的选择；②将x,y互换，得)，=/T(X)；③写出反函数的

定义域(即y=/*)的值域)。

(5)互为反函数的图象间的关系：；

(6)原函数与反函数具有相同的单调性；

(7)原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。

2r

如：求下列函数的反函数：/(x)=/_2x+3(xW0)；/(x)=----

2*-1

X

/(x)=log---2(X>O)

2x+1

六、复合函数：

(1)定义：如果y是"的函数，记为y=/(«),u又是x的函数，记为"=g(x),且g(x)

的值域与/(»)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数

y=/[g(x)]，这时y做x的复合函数，其中〃叫做中间变量，)，=/5)叫做

外层函数，"=g(x)叫做内层函数。

(2)复合函数单调性:；

七、常用的初等函数：

(1)1元一次函数：y=ax+b(a*0)

当。〉0时，是增函数；当。＜0时，是减函数；

(2)一元二次函数：

一般式：y=ax2+bx+c(a0)；对称轴方程是；顶点

为；

两点式：y=a(x-X1)(x-X2)；对称轴方程是；与x轴的交点

为；

顶点式：y=a(x-k')2+h；对称轴方程是；顶点为；

①一元二次函数的单调性：

当a＞0时：为增函数；为减函数；

当”＜0时：为增函数；为减函数；

②二次函数求最值问题:首先要采用配方法，化为y^a(x-k)2+h的形式，

I、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

。＞0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

。＜0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

II、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

a＞0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的

端点处取得；

。＜0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的

端点处取得；

有三个类型题型：

(1)顶点固定，区间也固定。如：y=x2+x+l,xe[-1,1]

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何

时在区间之外。如：y-x'+ax+\,x&[-1,1]

(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.y^x2+x+l,xe[a,a+l]

③二次方程实数根的分布问题:设实系数一元二次方程/(x)=+版+。=o的两

根为%,%2；则:

根的情况x1>x2>k<x2<kx1<k<x2

在区间（上,+8）或

在区间（我,+8）上有在区间（-8,%）上有

等价命题

两根两根（-8,左）上有一根

充要条件

根的情况

m<x[<x2<n<m<n<x2

在区间On,〃）上有在区间（m,〃）上无

等价命题在区间（加,〃）上有一根

两根根

充要条件

注意：若在闭区间［〃，,〃］讨论方程/（x）=0有实数解的情况，可先利用在开区间（〃?,〃）

上实根分布的情况，得出结果，在令犬=〃和苫=机检查端点的情况。

(3)反比例函数:y，(x30)=y=a+-^—

xx-h

y=3(xw0)y=c+a(xwb)

Xx-h

图形

定义域

值域

a>0

单调性

a<0

对称中心

渐近线

(4)指数函数:y=a'>0,aY1)

指数运算法则：___________________

0<6Z<1a>1

图象

定义域

值域

x>0

函数值

x<0

单调性

SUt数函数：y=log”X(a>0,a=1)

指数运算法则：___________________

m

⑴loga„b=；

(2)换底公式：____________________________

(3)对数恒等式：__________________________

0<a<1a>\

图象

0<«<1a>\

定义域

值域

x>0

函数值

x<0

单调性

注意：(1)〉="'与>=108“》的图象关系是

(2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底

数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

(3)已知函数/(x)=log1(/+乙+2)的定义域为R,求k的取值范围。

2

已知函数/(x)=log|+日+2)的值域为R,求％的取值范围。

(4)下图中，％,42，。3，。4与4，82力3，04间的关系是：

六、y=x+-a>0)图象：

X

定义域：:

值域：:

奇偶性：;

单调性：是增函数：是减函数。

七、补充内容：

(1)抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：

①/(X,+々)=f(xi)+f(x2)n正比例函数f(x)=kx(k*0)

②/(X|+无2)=/(七)"(％2):/(尤1一％2)=/(为)+/(%2)=>:

X

③/(七72)=/(/)+/。2)；/(-)=/(-^|)-/(^2)=>__________________________；

x2

④/(匹)+/(*2)=2/(再；/)./卢2%)=>；

(2)不等式恒成立的条件：

(1)已知/(x)=ax+b,a,beR,且aW0,/n,,m2eR；则

(a)/(x)>0在xe(mt,m2)时恒成立n；

(b)/(x)<0在xe(叫，叫)时恒成立=；可借助一次函数得到。

(2)已知/(x)=ax2+bx+c,a,b,ceR

(a)/(x)>0在xeR时恒成立=>或；

(b)/(x)N0在xeR时恒成立n或；(可借助一次函

数

(c)/(%)<0在xwR时恒成立n或；或二次函数得

到)。

(3)/(x)>a恒成立o[f(x)]min>atf(x)<a恒成立o[/(x)]max<a

三、不等式

一、不等式的基本性质为:

;②;

③:④;

⑤:®:

⑦:⑧:

注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

若〃力>0,则9也之而（当且仅当a=〃时取等号）

2

基本变形：®a+b>

lab/

②-------<

a+b

..,.2,1,a+b、2

③若a,beR,贝！J4-+/?-N2ab,------>(-----)'

22

基本应用:①放缩，变形；

②求函数最后：注意:①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

当ab=p（常数），当且仅当时，

当a+b=S（常数），当且仅当时，

常用的方法为:拆、凑、平方；

91

如：①函数y=4x—尸“a〉]）的最小值____________。

②已知0<x<：,贝ijy=（1一5x）的最大值______________o

7T

®y=sinxcos2x,X£（0,生）的最大值

2

④若正数满足x+2y=l，则-+-的最小

xy

值_____________________。

推广：①若a],c>0,则竺"或2必痴（当且仅当。=6=c时取等号）

3

基本变形：a+b+c>；（”—+与32；

3

+。2+••,+可卬出…环

②若ax,a2,---,an>0则当且仅当

n

%=。2=…=。〃时取等号）

三、绝对值不等式:<<<

注意:IQ+/?1<1QI+I61<=>_______________________________________；

IQ+/71=1QI+I1<=>；

\a-b\<\a\-\-\bQ；

\a-b\=\a\+\b\o；

\a\-\b\<\a-\-h\<=>；

I〃I一I/?1=1Q+/?I<=>；

\a\-\b\<\a-bI—；

IqI-1力1=1Q-I—；

四、常用的基本不等式:

(1)设则a?zo,(a—b)2NO(当且仅当时取等号)

(2)\a\>a(当且仅当时取等号)；\a\>-a(当且仅当时取等号)

(3)若。>0力>0,则2。28+。匕2

(4)若a,b,ceR,则a?+b2+c2>ab+be+ca

(5)若a,b,cGR,则3(ab+bc+ca)<(a+b+c)2<3(。2+b2+c2)

(6)柯西不等式：设为,a2，々，％eR，则(。|仇+。2&)24(a；+。22)(8「+外2)

—•—►—►—♦—♦2-*2

注意：可从向量的角度理解：设。=(%,。2)力=(4,％)，则(a-b)24ab

,,c1111

(7)a>b,ab>0=>—<—；—<—<=>_______________；

abab

、,八六+vb.cibb+m...h〔hb+m

(8)a,b>0,m£R,若一<1,则一<-----；若一>1,则niI一>------；

aaa+maaa+tn

五、证明不等式常用方法：

(1)比较法:①作差比较：A-B<0oA<B

A

②作商比较：-21(8>0)=A28

B

作差比较的步骤：

⑴作差：对要比较大小的两个数(或式)作差。

⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。

⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

(2)综合法：由因导果。

(3)分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……

(4)反证法：正难则反。

(5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项,如：J.?+1>|a|；+1)>n

⑵将分子或分母放大(或缩小)

lg3g5

⑶利用基本不等式,如：log3.1g5<(^1)2=1g<1g=1g4；

;---7-n+(n+1)

J〃(〃+1)<—~-

(4)利用常用结论:

,„bh+tn

TI、a>b>0,meRn+<-----；

aa+m

Iky[k+\-4k=~r=~F=<—r-;

y[k+\+4k2&

11

-7<-----------------r>—;-------(程度大)

k2k(k-Dk-\kk2女伙+1)k+1

__<==_()(程度小)

k2k2-1(Jl-W+l)2k-1k+l

12

V、—j=<—/=---j—2(y[k-yjk-1)；

y/ky/k+〃-14k4k+〃+1

(6)判别式法：与一元二次函数有关的或能通过等价变形转化成一元二次方程的根据其有

实数解或无解建立不等式关系。

1+x+13x~+x+1

如：证明.K；«二，可转化为求函数二=；的值域。

2x2+l2x2+l

(Z)一换元法」换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的

换元有三角换元和代数换元。如：

已知+)，2=£,可设x=acos6,y=asind；

已知炉+y2<1,可设x=rcosd,y-rsin6>(0<r<1)；

YV

已知F+Q=1,可设x=acos9,y=0s