江苏省无锡市四校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省无锡市四校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每题5分，共40分.）1.已知复数，则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗，.故选：D.2.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A. B. C.8 D.〖答案〗D〖解析〗还原直观图为原图形如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，；所以原图形的面积为．故选：D.3.一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（）A.16 B. C.110 D.〖答案〗A〖解析〗由题意得：，，则合力对该质点所做的功为.故选：A.4.在中，，则一定是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形〖答案〗C〖解析〗，，即，一定是直角三角形.故选：C.5.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.如图（3）（4），祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设正方体边长为，因为，，所以.故选：B．6.已知，，则的值为（）A.0 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于，所以，所以，由化简得，两边平方得，即，解得（负根舍去），由于，所以.故选：A.7.设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（）A.点C可能是线段AB的中点B.点可能是靠近点A的线段AB的三等分点C.点C、D可能同时在线段AB上D.点C、D可能同时在线段AB的延长线上〖答案〗C〖解析〗由已知不妨设，则，因为C、D和谐分割点A、B，所以，所以，代入得，（*）若C是线段AB的中点，则，代入(∗)得，，此时两点重合，与题意矛盾，故A错误；若是靠近点A的线段AB的三等分点，则，代入(∗)得，，此时两点重合，与题意矛盾，故B错误；若C，D同时在线段AB上，则，则，当时，，此时符合题意，所以点C、D可能同时在线段AB上，故C正确；若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，则，所以，这与矛盾，所以不可能同时在线段的延长线上，故D错误.故选：C.8.已知的内角A，B，C满足，的面积S满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，则，即，故，，即，，整理得到，设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，，故，即，，故，即，，则，对选项A：，即，但不一定正确；对选项B：，即，正确；对选项C：，不一定正确；对选项D：，不一定正确.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题有多个正确选项，错选得0分，漏选得2分，每题5分，共20分.）9.下列结论正确的是（）A.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线B.不共面的四点可以确定4个平面C.圆锥的侧面展开图是个半圆，则圆锥的母线是底面半径的2倍D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱〖答案〗ABC〖解析〗对于A，正方体中，∵平面，平面，，∴由异面直线判定定理得与是异面直线，故A正确；对于B，不共面的四个点中每三个点都不共线，则任意三个点都可确定一个平面，共可以确定四个平面，故B正确；对于C，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，根据题意得，则，正确；对于D，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，错误.故选：ABC.10.在复平面内，下列说法正确的是（）A.若复数z满足，则B.若复数、满足，则C.若，且，则D.若，则的最大值为〖答案〗AD〖解析〗对于A选项，因为，则，得，故A正确；对于B选项，当，时，不满足，排除B选项；对于C选项，设，，，则，那么，，那么，由于，但，排除C选项；对于D选项，若，如图：的几何意义为圆上的动点到定点的距离，则的最大值为.故选：AD.11.下列选项中正确的是（）A.设向量，，若，共线，则B.已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标是C.若，，则在方向上的投影向量的坐标为D.若平面向量，满足，则的最大值是5〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由共线，则，解得，故A正确；对于B，由向量，，则，设，则，由是线段的三等分点，则或，可得或，解得或，故B错误；对于C，设与的夹角为，在方向上的投影向量，其坐标为，故C正确；对于D，，设与的夹角为，由，则，当时，取得最大值为，故D正确.故选：ACD.12.下列结论正确的是（）A.若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是B.点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心C.点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则D.点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心〖答案〗BC〖解析〗对于A，由，得，因为∠ABC为锐角，故且不共线，所以，解得且，故A错误；对于B，设边上的中点为，则，因为，所以，所以，又点为公共端点，所以三点共线，即点在边的中线上，同理可得点也在两边的中线上，所以点O为△ABC的重心，故B正确；对于C，因为，所以，如图，设的中点为，的中点为，则，所以，又点为公共端点，所以三点共线，且，所以，又，所以，即，故C正确；对于D，由，可得，即，又因，所以，所以是的角平分线，由，可得，即，又，所以，所以是的角平分线，所以点O是且△ABC的内心，故D错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13.已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______．〖答案〗19〖解析〗因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个根，所以，解得，所以.故〖答案〗为：19.14.某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为_________米．〖答案〗〖解析〗根据题意可知，在中，，可得；利用正弦定理可得，即；又在点A处测得塔顶的仰角为，即，所以，即塔高为米.故〖答案〗为：.15.已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为__________．〖答案〗〖解析〗如图所示：设分别为底面的中心，分别为的中点，且有，设正四棱台的上底面面积、下底面面积、侧面积分别为、、，由，即得，，所以，，又及，所以有，解得，由勾股定理可得斜高，所以，从而.故〖答案〗为：.16.在平面内，定点，满足，且，则__________；平面内的动点满足，，则的最大值是__________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，两边平方得：，即，解得：，因为，所以，因为，所以；可得到△ABC等边三角形，且边长为，如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，，，因为，所以设，，由可得：是线段PC的中点，则，则，当时，取得最大值，最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，作答各题时须有必要的计算和推理过程，共70分.）17.根据要求完成下列问题：（1）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，，求；（2）复数为纯虚数，求实数的值．解：（1）由复数名在复平面内对应点在第四象限，可得，又由，可得，解得，所以，所以复数.（2）因为复数为纯虚数，则，解得，即求实数的值为.18.已知向量满足，，且.（1）若，求实数的值；（2）求与的夹角的余弦值.解：（1）因为，所以，即，解得，若，则，即，即，解得.（2）因为，又，所以，即与的夹角的余弦值为.19.从①；②；③的外接圆的半径为2且，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答.已知的内角的对边分别为，且，__________.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.解：（1）选①：因为，所以，即，因为，所以，即，即，解得，因为，所以；选②：因为，在中，将正弦定理代入化简可得：，即，即，在中，由余弦定理可得：，因为，所以；选③：因为的外接圆的半径为2且，在中，由正弦定理可得：，解得，因为，所以，所以.（2）由（1）知，，，在中，由余弦定理可得：，即，解得，即，所以，所以.20.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.（1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；（2）求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.解：（1）因为底面三角形的边长分别为，，，由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，，又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，所以设圆柱底面圆的半径为，则，圆柱体积所以剩下的几何体的体积（2）由（1）可知该直三棱柱的内切球半径为，则内切球球的体积直三棱柱可补形为棱长分别为的长方体，它的外接球的球半径满足，即所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.21.如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．（1）延长交于点Q（图1），求的值；（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．（i）求证为定值；（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．解：（1）依题意，因为，所以，因为是线段的中点，所以，设，则有，因为三点共线，所以，解得，即，所以，所以.（2）（i）根据题意，同理可得：，由（1）可知，，所以，因为三点共线，所以，化简得，即为定值，且定值为3.（ii）根据题意，，，所以，由（i）可知，则，所以，易知，当时，有最小值，此时.22.如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.（1）若在内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得为正三角