江苏省南京市、盐城市2024届高三第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市、盐城市2024届高三第一次模拟考试数学试题一、选择题1.已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为.故选：A.2.复数z满足，（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得：，所以，.故选：C．3.等比数列的前项和为，已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设等比数列的公比为，由，得：，即：，所以，，又，所以，，所以，.故选：A.4.德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（）A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍〖答案〗B〖解析〗设火星的公转周期为，长半轴长为，火星的公转周期为，长半轴长为，则，，且得：，所以，，即：.故选：B．5.关于函数（，，），有下列四个说法：①的最大值为3②的图象可由的图象平移得到③的图象上相邻两个对称中心间的距离为④的图象关于直线对称若有且仅有一个说法是错误的，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗说法②可得，说法③可得，则，则，②和③相互矛盾；当①②④成立时，由题意，，，．因为，故，，即，；说法①③④成立时，由题意，，，，则，故不合题意.故选：D.6.设为坐标原点，圆与轴切于点，直线交圆于两点，其中在第二象限，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，圆心，到直线距离为，所以，直线的斜率为，则其倾斜角为，则与的的夹角为，所以.故选：D．7.在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，故P点轨迹为以为直径的球，如图，易知中点即为正方体中心，球心在每个面上的射影为面的中心，设在底面上的射影为，又正方体的棱长为，所以，易知，，又动点在正方体的表面上运动，所以点的轨迹是六个半径为a的圆，轨迹长度为，故选：B．8.用表示x，y中的最小数．已知函数,则的最大值为()A. B. C. D.ln2〖答案〗C〖解析〗∵，∴，根据导数易知在上单调递增，在上单调递减;由题意令，即，解得；作出图象：则的最大值为两函数图象交点处函数值，为．故选：C．二、选择题9.已知，且，，则()A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗∵，∴，同理，∵在时递增，故，故A正确；∵，∴B错误；∵，，∴，当且仅当时等号成立，而，故，∴C正确；∴，即，∴D正确．故选：ACD．10.有n（，）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件（，2，3，…，n），则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗对A，，所以A错误；对B，，故，所以B正确；对C，，所以C正确；对D，由题意：，所以，，，所以，所以，则，所以D错误．故选：BC．11.已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（）A. B.C. D.面积的最小值为16〖答案〗ACD〖解析〗A选项，由题意得，准线方程为，直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立，得，，故，A正确；B选项，，直线的斜率为，故直线的方程为，即，联立，得，故，所以B错误；C选项，由直线的方程，令得，又，所以，故，故，又由焦半径公式得，所以C正确；D选项，不妨设，过B向作平行于y轴的直线交于M，根据B选项知，，故，根据直线的方程，当时，，故，故，故，当且仅当，即时，等号成立，故的面积最小值为16，D正确.故选：ACD.三、填空题12.展开式的常数项为______.〖答案〗15〖解析〗展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为，故〖答案〗为：15.13.设双曲线C：(，)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为______．〖答案〗〖解析〗直线EF与渐近线方程联立得解得，，∴EF中点M的坐标为，又M点在双曲线上，代入其标准方程，得，化简得，∴，．故〖答案〗为：．14.已知，且，，则______．〖答案〗〖解析〗由题可知，所以，所以，因为，所以，又，所以，故，所以，两边平方后得，故，．故〖答案〗为：四、解答题15.在中，．（1）求B的大小；（2）延长BC至点M，使得．若，求的大小．解：（1）在中，，所以．因为，所以，即化简得．因为，所以，．因为，所以．（2）法1：设，，则．由（1）知，又，所以在中，．在中，由正弦定理得，即①．在中，由正弦定理得，即②．①÷②，得，即，所以．因为，，所以或，故或．法2：设，则，．因为，所以，因此，所以，．在中，由正弦定理得，即，化简得．因为，所以或，，故或．16.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．（1）若，证明：平面；（2）若二面角的正弦值为，求BQ的长．（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．在四棱台中，四边形是梯形，，，又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．又因平面，平面，所以平面；（2）解：在平面中，作于O．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．以为正交基底，建立空间直角坐标系．因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，．法1：设，所以．设平面PDQ的法向量为，由，得，取，另取平面DCQ的一个法向量为．设二面角的平面角为θ，由题意得．又，所以，解得（舍负），因此，．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．法2：设，所以．设平面PDQ的法向量为，由，得，取，另取平面DCQ的一个法向量为．设二面角的平面角为θ，由题意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以当二面角正弦值为时，BQ的长为1．法3：在平面中，作，垂足为H．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．因为，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因为，，所以是二面角的平面角．在四棱台中，四边形是梯形，，，，点P是棱的中点，所以，．设，则，，在中，，从而．因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，且二面角的正弦值为，所以，从而．所以在中，，解得或（舍）．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．17.已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；（2）从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值．附:若,取,．解：（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．因为，所以，，．所以，所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09．（2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则，所以．由，解得．所以当时，；当时，；所以最大．因此当时，最大．18.已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且，（1）求C的方程；（2）B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，？若存在，求；若不存在，请说明理由.（1）解：由右焦点为，得，因为，所以，若，则，得，无解，若，则，得，所以，因此C的方程.（2）①证明：设，易知过B且与C相切的直线斜率存在，设为，联立，消去y得，由，得，设两条切线BP，BQ的斜率分别为，，则，.设BF的斜率为，则，因为，所以BP，BF，BQ的斜率成等差数列，②解：法1：在中，令，得，所以，同理，得，所以PQ的中垂线为，易得BP中点为，所以BP的中垂线为，联立，解得，所以，，要使，即，整理得，而，所以，解得，，因此，故存在符合题意的点B，使得，此时.法2：在中，令，得，因此，同理可得，所以PQ的中垂线为，因为BP中点为，所以BP中垂线为，联立，解得，要使，则，所以，即，而，所以，解得，，因此，故存在符合题意的点B，使得，此时.法3：要使，即或，从而，又，所以，因为，所以，解得，，所以，故存在符合题意的点B，使得，此时.法4：要使，即或，从而，在中，令，得，故，同理可得，因此，，所以，故，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，，故存在符合题意点B，使得，此时.法5：要使，即或，在中，令，得，故，同理可得，由等面积法得，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，，故存在符合题意的点B，使得，此时.19已知，函数，．（1）若，证明：；（2）若，求a的取值范围；（3）设集合，对于正整数m，集合，记中元素的个数为，求数列的通项公式．（1）证明：因为，所以，，．设，，则，所以在上单调递增，所以，因此．（2）解：函数，，方法一：，当时，注意到，故，因此，由（1）得，因此，所以在上单调递增，从而，满足题意；当时，令，，因为，所以存在，使得，则当时，，，所以在上单调递减，从而，所以在上单调递减，因此，不合题意；综上，．方法二：，