机械振动理论：第五章 多自由度系统的振动

1第五章多自由度系统的振动

力学模型简化——工程中很多实际问题需要简化成多自由度系统。数学模型建立——用影响系数法建立刚度矩阵、柔度矩阵；以作用力方程、位移方程描述系统的运动。刚度系数影响：代表一个力，它相当于——

使质点沿第个坐标方向唯一产生单位位移，需在第个坐标方向施加的力。柔度系数影响：代表一个位移，它相当于——

在质点沿第个坐标方向作用一单位力，而在第个坐标方向产生的位移。2作用力方程展开式——振动方程求解——多自由度求解与两自由度没有本质上的差别，但在求解方程组时带来很多实际困难，要有效处理相互耦合的问题。一般采用矩阵方法，把大量的微分方程表示成简明的格式，便于计算机计算。3耦合的实质——实际上系统方程的耦合与否，不是系统的本身特性，完全取决于坐标的选择。

解耦目标——现在我们的问题是能否找到一个变换阵，使得弹性矩阵，惯性矩阵，同时解耦。坐标选择——选用主坐标，用主振型向量构成矩阵——模态矩阵，解耦变换——用模态矩阵进行坐标变换，可以使振动系统的弹性，惯性矩阵同时解耦。[待证]模态分析的方法（振型叠加法）——

用主坐标[或正则坐标]代替原来的物理坐标，使原耦合微分方程变成一组相互独立的微分方程，这样不但使振动问题求解方便，又可以加深对系统振动性质的了解。

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一、特征值和特征矢量,模态矩阵设：无阻尼的n个自由度系统,在初条件激励下作自由振动,

其运动微分方程如下:[联系两自由度所学内容]在特定的条件下,系统可按一阶固有频率作主振动,

……

也可按某阶[如N阶]固有频率作主振动。

现在我们来寻求——N个自由度系统的N组特解，

N组特解的线性组合就是系统的通解。其中2N个任意常数由初始条件来确定。5设：系统各质点在自由振动中，均作简谐振动，[某阶主振动、同步特解]

即：将(8)代入(7)得:[省略了振型上标i]式中：用矩阵的形式表示为：6(9）、（10）是一组的N元线性齐次代数方程组,它的非零解的条件是系数行列式等于零,即:其中特征矩阵为——一般形式：7对于正定系统[即系统动能总是大于零的（各点速度全部为零除外）]，期望[可以]得到的n个大于零的实根，

——称为特征值。一般地：特征值——（11）式又称为多自由度系统的特征方程。展开后得的n次代数方程：8求得各阶固有频率后，将方程组（9）a.划去某一个不独立的方程式；（如：第个方程）b.将剩下的n-1个方程式中某一项（如：）移至等式右边；c.把某一频率（如：）代入，得下述代数方程组：特征矢量——9求解此方程：可得，显然求得的值都与此值成正比。（假定方程组（14）的左边系数行列式不为零，否则应另选其它项，移至右边）

任意设定

，可求出对应固有频率的n个振幅值[均用表达]，振幅比——

间的比例关系，称为振幅比。

说明当系统按第j阶固有频率作同步简谐振动时，各振幅值间具有确定的比例关系，或者说系统有一定的振动形态(主振型、固有振型）10特征矢量——数学上把[对应于每一特征值的]

系统各点特有的振动形态

称为——特征矢量，特征矢量的各分量即为各幅值###11用左乘（17）式，欲求解特征矢量,未必一定求代数方程组（14）把代入特征矩阵，则（9）式用矩阵式表示如下： 特征矩阵的逆阵——特征矢量求解：12即为：对比（18）（16），结论：特征矢量与伴随矩阵的任何非零列成比例，伴随矩阵的任一列就是特征矢（向）量。对应某一频率，有唯一的特征矢量和它对应——

唯一性指两元素之间的比值，而元素本身是任意的，因为方程（16）是齐次的。

所以如果是方程的一个解，那么也是一个解，为任意常数，因此——13如果中的任一元素给定，其余N-1个元素也就唯一确定了。可规定主振型中最大的一个坐标幅值为1，进而确定其它各坐标幅值——归一化，归一化了的特征向量称为振型向量。振型向量——14

将各及代回（8）式，我们得n组特解，将以n组特解相加，可得系统自由振动的一般特解，即：

模态矩阵——

如果把n个特征矢量排列成一矩阵用[A]表示，即：15例如，当t=0，各坐标给定后,

则2n个常数便唯一地确定了。此通解中有2n个待定常数，

则（19）式改写为：

16例1系统如图，设：求：系统的固有频率和主振型。解:用影响系数法写质量矩阵[M]、刚度矩阵[K]，17作用力方程[自由振动微分方程]为：令：代入(a)式得：特征矩阵： 18解代数方程(d)得特征值：特征方程为：写出特征矩阵(c)的伴随矩阵：19分别把代入伴随矩阵(e)式的任意一列（例如第一列)。(如果该列元素全是零，可换一列）并对第一个元素归一化，得：三个主振型为：即得：20固有频率主振型成对地相对应，是系统的固有特性，它们只取决于系统的[M][K]。——模态矩阵[振型矩阵]各主振型所构成的矩阵：作振型图——……21作振型图——……22耦合的实质——实际上系统方程的耦合与否，不是系统的本身特性，完全取决于坐标的选择。

解耦目标——现在我们的问题是能否找到一个变换阵，使得弹性矩阵，惯性矩阵，同时解耦。坐标选择——选用主坐标，用主振型向量构成矩阵——模态矩阵，解耦变换——用模态矩阵进行坐标变换，可以使振动系统的弹性，惯性矩阵同时解耦。[待证]模态分析的方法（振型叠加法）——

用主坐标[或正则坐标]代替原来的物理坐标，使原耦合微分方程变成一组相互独立的微分方程，这样不但使振动问题求解方便，又可以加深对系统振动性质的了解。

23二、特征矢量的正交性，展开定理

（一）主振型的正交性上节指出：n个自由度系统具有n个固有频率和n组主振型现在我们来研究任两组主振型之间的关系——

已知对应于固有频率的主振型分别满足下述两方程式：将（3-21）式前乘列阵的转置矩阵，（3-22）式前乘列阵的转置矩阵，得：24由于所研究的[K]，[M]都是对称矩阵，即：将（23）、（25）式两边相减，得：转置（24）式的两端，得：在的条件下，必存在：则：25正交条件

——

（27）（28）式表明：

对应于不相等固有频率的两个主振型之间，存在着对质量矩阵[M]、和刚度矩阵[K]的正交性，统称为主振型的正交性。式（27）（28）就是主振型的正交条件。（27）代回（23）式，得：正交性的物理意义

——对于每一阶主振动，它的动能、势能之和是常数，可相互转化，就像一个独立的单自由度系统振动时的情况一样；但各阶主振动之间不会发生能量的传递。因此从能量的观点出发——各阶主振动之间相互是独立的。

这些0将处在变换后的主刚度阵、主质量阵的非主对角线的各元素位置上（因为：）。——

非主对角线位置上的各元素均为零。26正交条件的数学意义——

（27）（28）式表明：

27因质量矩阵是正定的，令：总是一个正实数，称之为第阶主质量，对正定系统来说，刚度矩阵也是正定的，令：也是一个正实数，称之为第阶主刚度。对于（21）两边前乘，得：行向量*矩阵*列向量=数主对角线元素计算：主刚度阵、主质量阵这些正实数将处在变换后的主刚度阵、主质量阵的主对角线的各元素位置上（因为：）。——

主对角线位置上的各元素均为正实数。2829由（29）（30）（31）三式得到：即：第阶固有频率平方等于第阶主刚度与第阶主质量的比值。将n个特征矢量排列成模态矩阵，则（27）和（30）（28）和（31）可合并成矩阵形式如下：30由上面的推证可见：如果以模态矩阵[A]为变换矩阵，一定会使惯性矩阵，刚度矩阵同时解耦!!!31在实际系统中，频率方程有重根的情形是存在的，（即某些频率相等）总可以找到对应于重根情况下的特征矢量族。即——如有R个重根，可在特征矢量族中挑出R个特征矢量，保证彼此正交（虽然它们不是唯一的）。以模态矩阵为变换矩阵——还必须证明特征矢量组的线性无关。由前推证可知：n个特征矢量满足正交性条件（27）、（28）。32（二）特征矢量组 线性无关反证法——假设特征矢量组线性相关，则应满足：

设：为一组不全是零的常数。令（35）式前乘 ，由特征矢量组的正交性可知：除第r项外，其余各项均为零；而第r项为：依次令 ，可得出推论：只有在全部都等于零时，（35）式才成立——与所设不符。即：特征矢量不满足线性相关式（35）——特征矢量组线性无关。33推论——

n维空间里，任意n个线性无关的矢量都可以作为这个n維空间的基,

既然特征矢量组是线性无关的,当然也可以以它们为基,

于是系统任一(可实现的)位置,

均可用特征矢量组的线性组合来表示,即：想像——

n维笛卡尔坐标(空间)，各坐标轴单位矢量为(即为n维空间的基),

振动系统的任一位置用坐标 表示,

可用n维空间的矢量表示,即：(三)展开定理:34式中系数是第r阶振型对贡献多少的度量,

称为以 为基的坐标,用矩阵式表示为

说明——系统的物理坐标 经模态矩阵[A]的变换,

变成以特征矢量组为基的新坐标[主坐标]，可等价描述系统在物理坐标下的真实振动。35由正交性条件可知：等式右端的各项，其值均等于零；仅剩余一项，即：由物理坐标——求主坐标:称(36)、(37)式为展开定理——[数学描述],

可得:对式(36a),前乘36

是以特征矢量组为基的新坐标,

——称主坐标,用表示。“展开定理”的物理解释——每个分运动保持它对应的主振型。分解为n个主坐标表示的分运动；###图示把系统在物理坐标下的运动，当系统运动时，这种变换相当于——物理坐标主坐标（带有下标）37总结：用模态矩阵作为变换矩阵——

可使刚度矩阵和惯性矩阵同时解耦，也就是说——以主坐标表示的运动方程组是互相独立的，每个主运动可以独立的被激励而与其它阶无关，这样求系统的响应就容易多了。利用展开定理求系统响应的方法——模态分析法。

38即：如果是对应频率的特征矢量，那么也是对应的特征矢量。注意：按不同的方式规一化，并用求得的模态矩阵进行坐标变换，计算出来的主质量,主刚度数值不相等。说明：如选为特征矢量,某阶主质量为：如选为特征矢量，某阶主质量为：显然：按需要归一化：如令，[假设第一个元素不为零]

其它元素则唯一地确定；

[也可令中其它元素等于1来规一化]。

振型是唯一的，但幅值是任意的。三、正则方程前述内容曾讲过：对应某阶固有频率，39再将回带至（51），即可确定正则振型。将（51）代入（50）式，即可确定主振型正则化——为方便计算，试将方程组中质量项归一，对每阶主振动，定义一组特定的主振型——正则振型，使它满足条件:

——即正则振型所对应的主质量[正则质量]等于1。正则振型求解——可以由任意的主振型求出:

令：[正则质量][物理质量]正则化因子[模态质量]40由于正则振型是主振型中特定的一组，因此，主振型所满足的正交性条件，正则振型当然也满足，由于各阶经正则变换的主质量[正则质量]均有 ，所以：对各阶主振型依次进行上述计算，我们就可求得对应N阶主振动的N个正则振型 。