河南省漯河市第二高级中学高三数学理模拟试卷含解析

河南省漯河市第二高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知ω＞0，函数上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答:解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力2.设P＝{y|y＝，x∈R}，Q＝{y|y＝，x∈R}，则（A）PQ

（B）QP

（C）?RP （D）?RQ参考答案：D3.各项互不相等的有限正项数列,集合,集合,则集合中的元素至多有(

)个. A． B． C． D．参考答案：A4.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选B．5.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为．

1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（

）A．B．

C．

D．参考答案：D6.已知为全集，，则（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C略7.已知正数x、y满足，则的最大值为（

）A．8

B．16

C．32

D．64参考答案：B8.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（

）A.32 B.4 C.8 D.2参考答案：A【分析】本题首先可以根据约束条件画出可行域，然后结合可行域得出最大值所对应的点，最后将点坐标带入目标函数中即可得出结果.【详解】由约束条件作可行域如图：由图可知，最优解为点，联立，解得，即.所以目标函数的最大值为.故选：A.【点睛】本题是线性规划问题，能否根据约束条件画出可行域是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力，是简单题.9.过点（0，1）且与曲线在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A10.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．4参考答案：D【考点】定积分．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是，而=（2x2﹣x4）＝8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，……，由此推测函数的图像的对称中心为

▲

．参考答案：

12.记Sn为数列{an}的前n项和，若，则_____________．参考答案：－63【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.【详解】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.13.已知向量，满足，，与的夹角为120°，则

；参考答案：略14.电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有

种．参考答案：40【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，由倍分法分析可得答案．【解答】解：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中，则共有1×A63=120种情况，由于甲必须坐在三人中间，则有符合要求的坐法有×120=40种；故答案为：40．15.已知，且，则的最小值为

参考答案：316.直线x+ay+1=0与直线(a+1)x-by+3=0互相垂直，a,b∈R，且ab≠0,则|ab|的最小值是

.参考答案：2．由题意∵两直线互相垂直,∴,即,∴,则,∴.∴的最小值为.17.函数的定义域是___________．参考答案：（0，3］略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数（Ⅰ）求与，与；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得结果，你能发现当时，与有什么关系？并证明你的发现；（Ⅲ）求.参考答案：(Ⅰ),,,（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可发现， （6分）证明如下： （8分）（III）由（II）知：，，…， ∴原式 19.（本题满分13分）已知函数．（Ⅰ）若在区间上单调递减，在区间上单调递增，求实数的值；（Ⅱ）求正整数，使得在区间上为单调函数．参考答案：解：（Ⅰ）

………………2分因为在上单调递减，在上单调递增，所以.……4分所以．

……………5分（Ⅱ）令.得．……7分当是正整数时，．在区间上为单调函数．只需，且，……………9分即，且，所以.……12分

由已知a为正整数，得.……13分20.在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a=1，．（Ⅰ）当，求角C的大小；（Ⅱ）求△ABC面积最大值．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinB==，结合范围B∈（0，），可求B的值，进而可求C的值．（Ⅱ）由已知及余弦定理，基本不等式可求1≥bc，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵a=1，A=，b=，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵B∈（0，），∴B=，或．∴C=π﹣A﹣B=，或．（Ⅱ）∵a=1，A=．∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=（2﹣）bc，所以bc≤（当且仅当b=c=1时等号成立）∴SABC=bcsinA≤××=，（当且仅当b=c=1时等号成立），即△ABC面积最大值．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数a(a的值精确到0.01)；(2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7.5),[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会．(i)你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多.请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？

阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业

附：．临界值表：

P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（1）该组数据的平均数

………2分因为，所以中位数，由，解得；…4分（2）（i）每周阅读时间为的学生中抽取3名,每周阅读时间为的学生中抽取6名.

………………5分理由：每周阅读时间为与每周阅读时间为是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为，所以按照进行名额分配.

………7分（ii）由频率分布直方图可知，阅读时间不足小时的学生共有人，超过小时的共有人.于是列联表为：

阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业2674

……………9分的观测值，

………11分所以有的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关.

……12分22.（本小题满分12分）已知数列的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和．参考答案：（本题满分12分