定点、定值、最值问题

定点、定值、最值问题

1．已知抛物线C的方程为y=x2-2m2x-(2m2+1)(m∈R)，则抛物线C恒过定点________.【解析】由y=x2-2m2x-(2m2+1)(m∈R)，化为2m2(x+1)=x2-y-1，则x+1=0x=-1x2-y-1=0y=0

∴抛物线C恒过M(-1,0).一、定点问题(-1,0)例2.[2007届·湖南联考题]已知椭圆上一点M(1,)，P、Q是椭圆上异于M的两个动点，并且P、M、Q到椭圆左焦点F1的距离成等差数列，求证：线段PQ的垂直平分线过定点.

【解析】设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∵|PF1|=2+x1,|MF1|=2+,|QF1|=2+x2

依题意，2|MF1|=|PF1|+|QF1|，∴x1+x2=2.

设PQ中点为C(x0,y0)，线段PQ的垂直平分线为l，则∵P、Q在椭圆上，

∵PQ⊥l，∴kl=2y0,

l的方程为y-y0=2y0(x-1)，即y=y0(2x-1).∴直线l过定点(,0).【小结】直线过定点问题，常用直线系知识来解决.4二、定值问题

【解析】（1）由直线OP的倾斜角为60°，得P(1,).设PA的方程为y-=k(x-1)，①则PB的方程为y-=-k(x-1).②将①代入椭圆方程有

例2.曲线的内接△PAB中，PA、PB的倾斜角互补，且直线OP的倾斜角为证明直线AB的斜率为定值.

(3+)x2-2x+2kx+-2k-3=0,(定值)B三、最值问题BBOxy.A(0,3).B(4,5).A’(0,-3).PC4．斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A．2B．

C．D．【解析】设l直线方程为y=x+t，则弦长|AB|=xylOAB解1:把直线l平移至首次与椭圆相切,切点就是所求的点P,即:设l1的方程为x-y+m=0,

整理得9y2-2my+m2-8=0,△=4m2-4×9×(m2-8)=0,解得m=±3.由图形可知m=3,l1首先与椭圆相切,即9y2-6y+1=0.xylOx-y+m=0X2+8y2=85.如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.5.如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.XYlOPABDCOxyB9．设椭圆，和x轴正半轴交点为A，和y轴正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB面积最大值为()A．abB．abC．abD．2ab

【解析】设椭圆在第一象限内的任一点坐标为P(acosα,bsinα)，α∈(0,)，则S四边形OAPB=S△OAP+S△OBP=·OA·bsinα+·OB·acosα=·ab·(sinα+cosα)=·a·bsin(α+)，当且仅当α=，四边形OAPBmax=ab，故应选B.Q1FF1AXYOQQ’AyxOAyXO例12.[2006年·全国Ⅱ卷]已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且=λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（1）证明为定值；（2）设△ABM的面积为S，写出S=f(λ)的表达式，并求S的最小值．【解析】(1)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由=λ，即得(-x1，1-y1)=λ(x2，y2-1)，-x1=λx2①1-y1=λ(y2-1)②将①式两边平方并把y1=x12，y2=x22

代入得y1=y2，③解②、③式得y1=λ，y2=，且有x1x2=-λx22=-4λy2=-4，抛物线方程为y=x2，求导得y′=x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y=x1(x-x1)+y1，y=x2(x-x2)+y2，即y=x1x-x12，y=x2x-x22.解出两条切线的交点M的坐标为()=(，-1)所以=(，-2)·(x2-x1，y2-y1)=(x22-x12)-2(x22-x12)=0.所以为定值，其值为0．(2)由(1)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ++2