湖北省2021年中考数学真题分项汇编- 07 几何探究型问题与二次函数综合问题（含答案解析）

专题07几何探究型问题与二次函数综合问题

1.（2021.湖北鄂州市.中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和

与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题.

猜想发现：由5+5=27^=10；-+-=2J-x-=-；0.4+0.4=25/0.4x0.4=0.8：

33V333

—F5>2./—x5=2；0.2+3.2>2\/0.2x3.2=1.6；—l—>2./-x—=—

5V528V282

猜想：如果a>0,b>。,那么存在a+0225/拓（当且仅当a=b时等号成立）.

猜想证明：N0

.••①当且仅当北=0，即时，a-2y[ab+b=0^a+b=2>[ab；

②当G—禽工0，即〃6时，a-2y/ab+b>Q，：>a+b>2y/ab.

综合上述可得：若a>0,b>0,则a+茄成立（当日仅当a=b时等号成立）.

猜想运用：（1）对于函数）=》+工（%>0）,当x取何值时，函数>的值最小？最小值是多少？

X

变式探究：（2）对于函数y=J§+x（x>3）,当x取何值时，函数V的值最小？最小值是多少？

拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题.高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测

站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图.设每间离房的面

积为S（米2）.问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？

/////////,///////////1//（墙）

7

【答案】（1）X=l,函数y的最小值为2；（2）x=4,函数>的最小值为5；（3）每间隔离房长为一米,

2

宽为米时，S的最大值为米2

816

【分析】

猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可;

变式探究：将原式转换为y=—1+X-3+3,再根据材料中方法计算即可；

拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为工米，与墙垂直的边为y米，依题意列出方程，然后根据两个正数

之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可.

【详解】

猜想运用：

尤>（）,

二当X=工时，，min=2,

X

此时炉=1,

只取X=1,

即1=1时，函数y的最小值为2.

变式探究：

x>3,

**•x-3>0,--->0，

x-3

/.y=—!—+x-3+3>2J——•（龙一3）+3=5，

x3Vx3

二当」=X—3时，Xnin=5，

x-3

此时（X—3）2=1,

；.%=4,4=2（舍去），

即x=4时，函数y的最小值为5.

拓展应用：

设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，依题意得:

9x+12y=63,

即3x+4y=21,

V3x>0,4y>0,

3x+4y>2d3x・4y，

即21N2j3x-4y，

147

整理得：xyW——,

16

即sw巴，

16

147

，当3x=4y时S=—,

inax16

721

此时x=—y=一，

2t8

7?!!47

即每间隔离房长为彳米，宽为彳米时，S的最大值为丁米2.

2816

【点

本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟

练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题.

2.(2021•湖北襄阳市•中考真题)在△A6C中，ZACB=90°,—=m,。是边BC上一点，将△川»□

BC

沿折叠得到AAED，连接破.

G)特例发现：如图1,当加=1,AE落在直线AC上时,

①求证：/DAC=NEBC；

CD

②填空：的值为.

CE

(2)类比探究：如图2,当机。1,AE与边相交时，在AO上取一点G,使NACG=N3CE,CG

交AE于点”.探究型的值(用含m的式子表示)，并写出探究过程;

CE

(3)拓展运用：在(2)的条件下，当m="，。是的中点时，若EBEH=6,求CG的长.

2

13B

圜2

【答案】（l）①见解析；②1；（2）——=〃?，见解析；（3）CG=V2

CE

【分析】

CD

（1）①根据折叠性质证明即可；②当m=l,证明△ACDGABCE,即可得出的值；

CE

（2）延长AD交班于点尸，根据折叠性质证明△ACGSABCE，即可得出结论；

（3）由（2）可知生=生=4£=m=正，设CG=X,则AG=gx，CE=&，

=2%,可

BECEBC2

得Z^AGH学△ECH,再由勾股定理列方程求解即可.

【详解】

解：（1）①证明：延长AD交BE于点F.

由折叠得ZAFB=90°=ZACB.

：.ADAC+ZADC=ZBDF+ZEBC=90°.

ZADC=ZBDF,

：.ADAC=NEBC.

AC

②当m=1,即---=1时，

BC

可知AC二BC,

在以。。和ABCE中,

ZDAC=NEBC

<ZACD=NBCE=90°,

AC=BC

ABCE(AAS),

CD—CE,

.CD-\

CE

故答案为：1：

,CG

(2)解：----m.

CE

理由：延长AO交BEP点产，

由折叠得ZAFB=90°=ZACB.

：.ZADC+ADAC=ZBDF+ZCBE=90°，

'：ZADC=NBDF,

NDAC=NCBE,

■：ZACG=ZBCE,

：.AACG^ABC£,

CGAC

..==m.

CEBC

(3)解：由折叠得NAEB=90°,BF=FE，

:。是5C的中点,

DF//CE,

:./BEC=NBFD=90°，ZAGC=ZECG,ZGAH=ZCEA,

山(2)知△ACGSABCE，

...ZAGC=NBEC=90°，

AGCGACV2

------—m-，

BECEBC2

QD是BC的中点，...BC=2C0,

DC1

----=tanZGAC=

AGAC"7?

设CG=x,则4G=CE=瓜,BE=2x,

AG=CE,

;ZGAH=/HEC,ZAHG=Z.CHE,

二小AGH"/\ECH,

；.AH=EH，GH=CH,

GH=—x,

2

在Rt^AGH中，由勾股定理得AH=>JAG2+GH2=-x=EH,

2

EB.EH=6,

•。34

..2x•—x=6,

2

解得x=±0（负值舍去），

CG=O.

【点睛】

本题为三角形综合题，考查折叠的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等

知识点，根据折叠性质找到角度之间的关系是解题的关键.

3.（2021.湖北武汉市.中考真题）问题提出如图（1）,在人45c和△DEC中，ZACB=NDCE=90°,

BC^AC,EC=OC,点E在^46。内部，直线A£>与班交于点尸，线段A尸，BF，。尸之间存在

怎样的数量关系？

问题探究（1）先将问题特殊化.如图（2）,当点。，E重合时，直接写出一个等式，表示A尸，BF,CF

之间的数量关系；

（2）再探究一般情形.如图（1）,当点。，E不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.

问题拓展如图（3）,在AABC和AOEC中，NACB=NDCE=90°,BC=kAC,EC=kDC（我是

常数），点E在AA6c内部，直线AD与BE交于点尸，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之

间的数量关系.

【答案】（1）BF-AF=0CF.（2）见解析；问题拓展：BF-kAF=yJ\+lc2CF-

【分析】

（1）先证明"CE也△ACQ,得到AF=BE,BF-BE=BF-AF=EF=^CF；

（2）过点。作CG_LC尸交的于点G，证明△A8=Z\BCE,AACF^ABCG,△CGF是等腰直角

三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可.

【详解】

问题探究（1）BF-AF=41CF■理由如下：如图（2）,

二NBCE=NACF,

•；8C=4C,EC=CF,

△8CE丝△ACF,

:.BE=AF,

BF-BE=BF-AF=EF=7?CF；

(2)证明：过点。作CG_LCE交BE于点G,则ZFCG=NACB=90°,

ZBCG^ZACF.

■：ZACB=NDCE=90°，

：.ZBCE=ZACD.

又•••AC=3C,DC=EC,

：./\ACD=^BCE,

：.ZCAF=ZCBG.

：.AACF^ABCG.

/.AF=BG,CF=CG，

r.ACGF是等腰直角三角形.

:.GF=JiCF.

•••BF—AF=BF-BG=GF=6CF.

问题拓展BF-k-AF^\jl+k2CF-理由如下:

,/ZBCA^ZECD=90°,

：.ZBCE=ZACD,

■：BC=kAC,EC=kCD,

>BCES〉ACD,

：./EBC=NFAC,

A

F

B----------c

过点。作CM，C尸交BE于点M,则/FCM=ZACB=90°,

NBCM=ZACF.

J.LBCM^LACF,

...BM:AF=BC:AC=MC:CF=k,

：.BM=kAF,MC=kCF,

,BF-BM=MF,MF=^MC2+CF2=ylk2CF2+CF2=A/1+FCF

：.BF-kAF=^^CF-

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟

练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键.

4.(2021.湖北随州市.中考真题)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的

面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相

等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过

程简便快捷.

(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为,其内切圆的半

径长为:

(2)①如图1,P是边长为。的正△A8C内任意一点，点。为△ABC的中心，设点P到△A8C各边距

离分别为4，生，力3,连接4＞，BP，CP,由等面积法，易知;4(4+4+4)=50品=35438,可

得4+色+%=；（结果用含。的式子表示）

②如图2,P是边长为a的正五边形MC0E内任意一点，设点尸到五边形MCQE各边距离分别为九，h2,

Q

/，为，力5,参照①的探索过程，试用含a的式子表示％+饱+%+用+%的值•（参考数据：tan36°“一,

tan540®—)

8

（3）①如图3,已知。。的半径为2,点A为。。外一点，Q4=4,AB切。。于点3,弦BCHOA,

连接AC,则图中阴影部分的面积为；（结果保留万）

②如图4,现有六边形花坛A8CDEF,由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形

ABCDG,其中点G在A尸的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明

理由.

12/7552

【答案】（1）—，1；（2）①——a'②—。：（3）①一71；②见解析.

52163

【分析】

（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；

（2）①先求得边长为a的正△至。的面积，再根据;。（4+%+4）=%板=35徵48解题即可；②设点

。为正五边形ABCDE的中心，连接OA,0B,过。作OQ_LAB于Q,先由正切定义，解得Q2的长,

由①中结论知，S-五边彩ABCDE=5SAOAB，继而得到;a（4+/i2+H+〃4+〃5）=5x；ax；atan54°,据此解

题；

（3）①由切线性质解得NQ4B=30°,再由平行线性质及等腰三角形性质解得NCOB=60°,根据平行

线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇

形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接。尸，过点E作EG〃。尸交A尸的延长线于G点，

根据S六边形ABCDEF=§五边形ABCOF+'^△DGF=S五边形A8CDG,据此解题・

【详解】

解：(1)直角三角形的面积为：-x3x4=6,

2

直角三角形斜边为：,/32+42=5-

设直角三角形斜边上的高为人，则4x5-〃=6

2

,12

h=—

5

设直角三角形内切圆的半径为广，则;(3+4+5)=gx3x4

r=1>

故答案为：—,1；

2

(2)①边长为。的正AABC底边的高为立a，面积为：S^nAll^--a--a=—a

2A°AB224

+饱+%)=SOBC=3s△."=-y

h

%+4+%=—二a，

2

故答案为：^-a；

2

②类比①中方法可知;。(4+生+%+%+4)=S五边形Me"，

设点。为正五边形ABCDE的中心，连接OA,0B,

由①得S五边形A8C0E=5sAOAB>

过O作OQ，AB于Q,ZEAB=1xl80°x(5-2)=108°,

故NOAQ=54°,OQ=AQxtan54°=-«tan54°,

故;4(4+4+4+/14+4)=5乂；。*1。121154°,从而得到:

%+生+4+用+色=2〃tan54°^—a

216

(3)①QAB是。。的切线，

：.OB1AB

：.NO胡=90°

OB=2,OA=4

:.ZOAB^30°

Z4Q5=60。

BC//OA

.-.ZAOB=ZOBC=60°

QOC=OB

.-.ZOBC=ZOCB=60°

:.ZCOB=6Q°

过点。作OQ^BC

BC//OA,

•••OQ是ACOB'AABC的高,

,••^qABC—―2q*OCB

60x^r260x4万2

S阴影部分=S扇形OBC-----=-7l

3603603

故答案为：一n：

3

②如图，连接£＞尸，过点E作EG〃。/交AE的延长线于G点，则点G即为所求,

连接DG，S六边形ABCDEF=§五边形ABCOF+S&DEF，

■：EG!IDF,

Sj^DEF=SADGF，

S六边形ABCDEF=S五边形A8cOF+,^ADGF=S五边形ABCOG•

【点睛】

本题考查正多边形和圆的知识，涉及含30。角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、平行线的

性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键.

5.（2021•湖北省江汉油田（仙桃市、潜江市、天门市））已知AABC和AOEC都为等腰三角形,

AB=AC,DE=DC,ABAC=ZEDC=n0.

①如图1,当点。在AC上时，请京军写出班与AO的数量关系；

②如图2,当点。不在AC上时，判断线段做与AD的数量关系，并说明理由;

（2）当〃=90时，

①如图3,探究线段8E与AD的数量关系，并说明理由：

②当BEIIAC,AB=3J5,AD=1时，，请耳掾与出。C的长.

【答案】（D①班：=4）；②BE=AD，理由见解析；（2）①=理由见解析；②5.

【分析】

（1）①先根据等边三角形的判定与性质可得AC=BC,EC=OC,再根据线段的和差即可得；

②先根据等边三角形的性质可得NACB=NDCE=60°，从而可得NBCE=NACD,再根据三角形全等

的判定定理与性质即可得出结论；

（2）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得/4点=/0支=45。,空=如，从而可得

ECDC

ZBCE=ZACD,再根据相似三角形的判定可得ABCE〜AACD，然后根据相似三角形的性质即可得出

结论；

②设旗与配交丁点O,先根据⑵①的结论可得AC=30,=再根据相似三角形的判定与性

质可得丝=49,从而可得。8=逑,。4=2叵，然后利用勾股定理、线段的和差可得

OBBE44

EC=OC+OE=5近,最后在中，解直角三角形即可得.

【详解】

解：（1）①当〃=60时，Z5AC=NEOC=60°,

AABC和ADEC都为等腰三角形，

.-.△ABC和AOEC都为等边三角形，

/.AC=BC,EC=DC,

:.AC-DC=BC-EC,即郎=AD，

故答案为：BE=AD；

②BE=A£＞，理由如下：

^ABC和ADEC都为等边三角形，

AC=BC,EC=DC,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB-ZBCD=ZDCE-/BCD，即NACO=ZBCE，

BC^AC

在ABCE和AACD中，<NBCE=ZACD,

EC=DC

；ABCE*ACD(SAS),

；.BE=AD；

(2)①当〃=90时，ZBAC=NEDC=90°,

:.^ABC和ADEC都为等腰直角三角形，

:.ZACB=ZDCE=45°,

ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,即NBCE=NAC£),

设AB=AC=a(a>0),r>E=DC=bS>0),

则BC=飞AB〜AC。=y[2a,EC=dDE?+DC。=岳，

•_B_C__\[_2_a__a__A_C_

EC\[2bbDC

BCAC

在ABCE和八4。£>中，~EC~~DC,

ZBCE=ZACD

「.△BCE~AACZ)，

.变=/=叵=0

ADACa

即BE=CAD；

②如图，设A8与EC交于点O，

•.­AB=3V2,AD=l,

,-.AC=AB=3V2,BE=丘AD=夜,

设OB=x（x>0）,则。4=AB-08=3&-x，

BE//AC,

.-.△AOC~^BOE,/OBE=ZOAC=90。，

OAAC3V2-x3>/2

/.——=——，即-------=—f=^,

OBBExV2

解得x=逑，

4

.•OB=----,OA------，

44

在向八4。。中，OC=,q+OA?=,

4

_________5历

在RtABOE中，OE=y/BE2+OB2=也一，

4

:.EC=OC+OE=5y/2，

则在RtADEC中，DCECcosNDCE=5>/2x—=5.

2

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（2）,

正确找出相似三角形是解题关键.

6.（2021.湖北黄石市.中考真题）抛物线,=依2-2加:+。（。。0）与>轴相交于点。（0,-3）,且抛物线

的对称轴为x=3,。为对称轴与x轴的交点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点,若△£）石尸是等腰直角三角

形，求△£）防的面积；

（3）若P（3j）是对称轴上一定点，。是抛物线上的动点，求尸。的最小值（用含f的代数式表示）.

t-6(z>6)

【答案】(1)y=—f+6x—3；(2)4；(3)PQ=<6T(y<r<6)

l22

【分析】

(1)与y轴相交于点C(0,-3),得到匕=一3,再根据抛物线对称轴，求得4=—1,代入即可.

(2)在X轴上方且平行于X轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，可知E、尸两点关于对称

轴对称，&DEF是等腰直角三角形得到NfED=45。，设E(肛〃)(〃>0),根据等腰直角三角形的性质求

得E点坐标，从而求得&DEF的面积.

(3)Q(p,q)(q<6),根据距离公式求得PQ?=q2—(2f+l)g+f2+6,注意到夕的范围，利用二次函数

的性质，对f进行分类讨论，从而求得PQ的最小值.

【详解】

解：⑴由抛物线y=2"+/?(。。0)与V轴相交于点C(0,-3)得到6=-3

-2b

抛物线的对称轴为x=3,即一可=3,解得a=—1

...抛物线的方程为y=—/+6元—3

(2)过点E作交A8于点M,过点尸作,交A8于点N,如下图：

是等腰直角三角形

DE=DF，NFED=45°

又：EF//x^

；・/EDM=45。

・・・△E'MD为等腰直角三角形

设E(m,n)(n>0),则M(m,0),DM=3-m,EM=n

/.n=3-m

又<*-n=-m2+6/71-3

**•3-m=-m2+61%-3

m2-7m+6=0

解得"2=1或"2=6

当〃z=l时，n=2,符合题意，DM=EM=2,MN=4

S&DEF=；MN乂EM=4

当,〃=6时，〃=-3<0,不符合题意

综上所述：

SADEF=4.

(3)设Q(p,q)(qV6),。在抛物线上，则q=—/+6p—3

PQ1=(p-3)2+(q-f)2=p-_6p+9+q2-2tq+t~

将.4=一〃2+60-3代入上式，得

PQT=q2_(2/+lM+/+6

当r>U时，土口>6,，4=6时，尸。2最小，即尸。最小

22

PQ?=36-12/—6+/+6=/一121+36=(f—6>

7-6a>6)

P2="614T今“6)

当时，包里46,.♦.4="1•时，P。?最小，即PQ最小

222

笛=>PQ=^^

4*2

t—6(t>6)

综上所述PQ=«6—r(—<t<6)

V23-4Z

【点睛】

此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟

练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键.

7.（2021•湖北荆州市•中考真题）小爱同学学习二次函数后，对函数）=-（国-I）2进行了探究，在经历列表、

描点、连线步骤后，得到如

下的函数图像.请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：

①写出该函数的一条性质：；

②方程一（可一1）2=-1的解为：

③若方程一（国-1）2=。有四个实数根，则。的取值范围是.

（2）延伸思考：

将函数丁=-（国-1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y=-（卜-2|-1）2+3的图象？写出平移过程，并

直接写出当2<x43时，自变量x的取值范围.

【答案】⑴①关于y轴对称；②玉=-2,%2=0,七=2；③（2）将函数y=的图

象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数y=一（卜-2|-1）2+3的图象，当

2<y<3时，自变量x的取值范围为0<%<2或2Vx<4.

【分析】

（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当产-1时，自变量x的值，则可看作直线

y=-l与函数y=-（凶-1）2的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线产〃与函数

y=—（W—1『的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；

（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题.

【详解】

解：（1）①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）；

故答案为关于y轴对称：

②由题意及图象可看作直线产-1与函数y=-（|x|-1）?的图象交点问题，如图所示：

*e•方程—（国—1）=—1的解为X——2,x2—0,=2；

故答案为再二-2,%2=0,%3=2；

③由题意可看作直线产a与函数丁=-（凶-1『的图象有四个交点的同题，如图所示:

・・・由图象可得若方程一（国—I）:=。有四个实数根，则。的取值范围是一1va<0；

故答案为一1<a<0；

（2）由题意得：将函数>=-（国-1）2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函

数%=—（卜—2|—1『+3的图象，则平移后的函数图象如图所示：

••・由图象可得：当2<y<3时，自变量x的取值范围为0<x<2或2Vx<4.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

3

8.（2021.湖北鄂州市.中考真题）如图，直线y=-§x+6与x轴交于点3,与V轴交于点A,点P为线段

的中点，点。是线段OA上一动点（不与点。、A重合）.

（1）请直接写出点A、点8、点尸的坐标；

（2）连接PQ,在第一象限内将AOPQ沿PQ翻折得到△石产◊，点。的对应点为点E.若NOQE=90°,

求线段AQ的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线>=以2一%2彳+。3+。+］（。。（））的顶点为点（7.

①若点C在APQE内部（不包括边），求”的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点C,使|CQ-C目最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，

请说明理由.

图1图2

【答案】⑴A(o,6),3(4,0),p(2,3)；(2)1；⑶①2<a<4；②存在，

【分析】

3

(1)令户0,令产0分别代入y=—/x+6,即可得到A,8的坐标，结合中点坐标公式，求出尸的坐标，

即可；

(2)过点P作尸歹_LQ4于F,易得N0QP=45°,QF=PF,又点P(2,3)，可得QR==2,。尸=3,

进而即可求解；

(3)①把二次函数解析式化为顶点式，可得顶点C的坐标为(a,a+l),从而得点C是直线>=X+1(XH0)

上一点，进而即可求解;②作点。关于直线y=1的对称点。，连接E交直线>=%+1(%h0)于点c,

贝|JCQ=C。'，此时一CE|最大.求出。'(4,1),E(5,5),从而得Q'E的解析式，进而即可求解.

【详解】

3

解：(1)令工=0代入y=—x+6,尸6,

3

令)=0代入y=——x+6,x=4,

AA(0,6),8(4,0),

・・,点。为线段A3的中点，

・・・尸(2,3)；

(2)过点尸作尸/J_Q4于尸，

•:NOQE=90°,

：.NOQP=g/OQE=45。，

:.QF=PF,

：点尸(2,3),

QF=PF=2,OF=3,

OQ—5,

•.•点A(0,6),

•*.AO=6

/.AQ=6—5=1,

即AQ的氏为1；

(3)①y=Q(Y-2以+吗+々+1+〃+1,

.••其顶点C的坐标为(a,a+l),

.•.点C是直线y=x+l(xwO)上一点,

:NOQE=90°,0Q=5,

.•.当y=5时，x=4

又•.•点P(2,3)在直线y=x+l上

二当点。在APQE内部（不含边）时，。的取值范围是2＜。＜4；

②作点。关于直线y=x+l的对称点。，连接Q'E交直线y=x+l（x，O）于点C,则CO=CQ',此时

|CQ-CE|=|C0_C目=0E,|CQ_CE|最大.

•••P(2,3),。(0,5),P是QQ'的中点,

1),

•JQEX.OQ,QE=0Q=5,

：.E(5,5),

1=4k+bk=4

设Q'E的解析式为：y=kx+h.则《5=5k+b,解得：

〃=—15,

二Q'E的解析式为：y=4x-15,

16

x=­

y=4x-15

联立《,，解得：＜3

y=x+l19

y=­

-3

1619

...点C坐标为T'T

1619

答：存在点。使|CQ-C国最大，此时C的坐标为

T'T

【点睛】

本题主要考查一次函数，二次函数与平面几何的综合，掌握等腰直角三角形的性质，函数图像上点的坐标

特征，利用轴时称性，作出线段差的最大值，是解题的关键.

9.（2021.湖北襄阳市.中考真题）如图，直线y元+1与％,>轴分别交于8,A,顶点为P的抛物线

y=ax2-2or+c过点A.

（1）求出点A,3的坐标及。的值；

（2）若函数y=ox2—2at+c在3WxW4时有最大值为。+2,求。的值；

（3）连接AP,过点A作4P的垂线交工轴于点M.设ABMP的面积为S.

①直接写出S关于。的函数关系式及。的取值范围；

②结合S与。的函数图象，直接写出S>1时。的取值范围.

13

—a~2——a+1（。（1且。#0或。）2）

【答案】⑴A(o,l),B(-2,0),C=l;(2)a=；；(3)①S=<22

1,3

——a+—a-l(l<a<2)

[22

②a<三交且a知或a〉圭亚.

22

【分析】

（1）令40,可得直线与y轴的交点A的坐标；令尸0,可得直线与x轴的交点B的坐标，把点A的坐标

代入抛物线的解析式中，即可求得c的值；

（2）把>=磔2一2改+1配方后，分eO和。<0两种情况讨论，当3«x«4时，函数的最大值，根据题意

可求得此时的a值；

（3）①设直线AP交x轴于点N,易得RIAAONSRIAMOA,由题意可求得ON的长，从而由相似的性质可

求得0M,分四种情况：当〃<0时，当0<〃<1时，当1<〃<2时，当”>2时，分别就这些情况计算△BMP的

面积即可；

②画出函数S的图象，求得当S=J时a的值，结合函数图象即可求得S>：时a的取值范围.

88

【详解】

（1）当x=0时，y=；x+l=l.得A（O,1）

当y=0时，|x+l=O,解得x=—2.得8（—2,0）

把A（O,1）代入y=o%2-2（zx+c,得c=l

（2）：c=l

:.y=ax2-2ax+l=a（x—1）"+\—a

当a＞0,3WxW4时，V随x的增大而增大

.♦.当x=4时，y的值最大

由题意得9。+1—〃=。+2

解得”=;

当。＜0,34xw4时，y随工的增大而减小

...当％=3时，y的值最大

由题意得4。+1—〃=。+2

解得。=_1（不合题意，舍去）

2

/.a=—

7

（3）①•；P（l,l-。），A（O,1）

；•宜线AP的解析式为y=-如+1

设直线AP交X轴于点M令）=0,得X=L

a

・•・咱。），O'用

过P点作尸C_Lx轴于点C,则PC=|1—4

当。＜0时，如下图所示

•：AMA_APfOALMN

：.ZNAO+ZMAO=ZNAO-^ZANO=90°

:.RmAONsRmMOA

.OAON

9：0A=\

，OM=------=\a\=­a

ON1।

V0B=2

:・BM=0B+0M=2-a

〈PC=La

iii3

S=-8W・PC=-(2—a)(l—。)=一。2一二。+1

2222

nA2

当Ov〃<l时，如下图所示，同理得：0M=------=\a\=aPC=\-a

ON1।

/.BM=OB-OM=2-a

ii13

...S=—=—(2—a)(l—a)=—4fl+l

2222

0A2

当1vl<2时，与上图同，同理得：0M=|a|=a，PC=a-1

ON

；.BM=0B-0M=2-a

I।13

S=-BM.PC=-(2-tz)(a-l)=——a2+-a-1

2222

nA2

当a>2时，如下图所示，同理得：OM=-=\a\=a,PC=a-l

ON11

：.BM=0M-0B=a-2

ii13

：.S=-BM^PC=-(a-2)(a-l)=-a2——a+1

2222

当!/一2。+1=].时，解得=或。=三史

22822

由图象知，当&〈土二旦且存0或。>2±交时，S>1

22

.3—V2门〃st3+V2

•■a<-----11.«?K)或a〉-------.

22

【点睛】

本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求图形面积等知识，涉及分类讨论思想，且分类

的情形比较多，数形结合思想，是一个比较难的题.

10.(2021・湖北随州市•中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+历；+。与x轴交于点A(-1,0)和

点B,与y轴交于点c,顶点。的坐标为

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图1,若点P在抛物线上且满足NPCB=NCBD,求点尸的坐标；

(3)如图2,河是直线8C上一个动点，过点M作MNLx轴交抛物线于点N,。是直线AC上一个动

点，当AQMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点。的坐标

5_75_4

【答案】(1)y=x2—2x—3；(2)6(4,5),P

22，-4；(3)M,3，-3

M,(5,2),2(-5,12)：M4(2,-l),G»(O,-3);M5(l,-2),^(0,-3)；M6(7,4),

0,(-7,18).

【分析】

(1)由A(-LO)和。(1,-4)，且。为顶点列方程求出a、b、C,即可求得解析式；

(2)分两种情况讨论：①过点C作交抛物线于点耳，②在BC下方作NBC尸=N5CE交BG

于点F，交抛物线于£：

（3）AQMN为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当QM=MN,ZQMN=90°②当

QN=MN,ZQNM=90°；③当QM=QN,ZMQN=9(.)°.

【详解】

解：(1)将A(-l,0)和£)(1,-4)代入y=or2+/JX+C

a-b+c=0

得《

a+b+c--4

又•••顶点。的坐标为(1,T)

.•.心=-1

2a

a=1

・・・解得,二—2

c=-3

二抛物线的解析式为：y=x2-2x-3.

(2)•.•3(3,0)和0(1,-4)

二直线5。的解析式为：y=2x-6

•••抛物线的解析式为：y=/—2x—3,抛物线与V轴交于点C,与x轴交于点A（—1,0）和点5,

则C点坐标为（0,-3）,B点坐标为（3,0）.

①过点C作CPJ/BD,交抛物线于点耳，

则直线5的解析式为y=2x—3,

结合抛物线y=f—2x—3可知》2一2%—3=2X—3,

解得：X[=0(舍)，x2=4,

故4(4,5).

②过点5作丁轴平行线，过点。作工轴平行线交于点G,

由OB=OC可知四边形05GC为正方形，

•••直线CPt的解析式为y=2x-3

二与％轴交于点E［巧,0,

12/

在下方作NBCF=N8CE交BG于点尸，交抛物线于g

二ZOCE^ZFCG

又＜OC=CG,NCOE=NG=90°

/.△OEC.△GFC(ASA),

:.FG=OE=＞、小3,-。］,

2I2)

又由。(0,-3)可得

直线C尸的解析式为y=：x-3,

结合抛物线丁=%2-2》一3可知》2一21-3=(“一3,

解得王=0(:舍)，%2=1,

5_7

综上所述，符合条件的P点坐标为：4(4,5),P

22，-4

(3)•.♦8(3,0),C(0,-3)

...直线BC的解析式为%c=%—3

设M的坐标为加一3）,则/V的坐标为（机，m2-2m-3

MN=^m-3-^m2-2m-3）|=|/n2-3/w|

VA（-1,O）,C（0,-3）

二直线BC的解析式为力。=-3x-3

3N为等腰直角三角形

:.①当QM=MN,NQMN=90°时，如下图所示

[m

则Q点的坐标为|一~m-3

4m

/.QM-I一■—

4m=|〃?2-3777

~T

135

解得：加]=0（舍去），丐〃4=—

~353

5_4134

,此时，；Me

3-32T'3,T75

②当QN=MN,NQNM=90。时，如下图所示

2

c2m-m2m+/n

：.QM-m------一

3

m~9+m

=|/??2-3/H|

3

解得：町