几何与代数因“坐标法”相得益彰-2019年全国Ⅰ卷理科第16题的探究及感悟

几何与代数因“坐标法”相得益彰——2019年全国Ⅰ卷理科第16题的探究及感悟几何与代数是高中数学中的两个重要分支，它们在数学的发展中相互渗透、相互促进、相得益彰。其中，“坐标法”作为几何与代数的结合体，为解决几何问题提供了一种强有力的工具。2019年全国Ⅰ卷理科第16题便是一个很好的例子，我们可以从中探究几何与代数因“坐标法”相得益彰的本质，并从中获得一些启示和感悟。首先，我们来看一下2019年全国Ⅰ卷理科第16题的内容。题目描述了一个矩形ABCD及其内部的一条线段PQ，要求我们求出线段PQ在x轴上的投影Q'。在这个问题中，我们可以使用坐标法来解决。以矩形ABCD的左下角A为原点建立坐标系，设A点的坐标为(0,0)，D点的坐标为(a,b)，其中a和b是正实数。根据矩形的定义，可知B点的坐标为(a,0)，C点的坐标为(0,b)。又设P点的坐标为(x,y)，Q点的坐标为(p,q)。根据题目中的条件，可得到以下几个方程：1.PQ与x轴平行，即y=q；2.P点在线段AB上，即0≤x≤a；3.Q点在线段AC上，即0≤p≤a；4.线段PQ的长度等于b，即√[(x-p)²+(y-q)²]=b。将第1个方程代入第4个方程中，并将第2个方程代入第4个方程中，化简可得：√[x²+(q-b)²]=b——（1）接下来，我们通过坐标法的几何解释，将问题转化为几何形状上的问题。不难发现，由方程（1）可知，上述问题实际上是在椭圆上求解点P的问题。根据椭圆的特点，在椭圆上，两点之间的距离之和等于常数。将方程（1）变形，可得：(x-0)²+(y-(q-b))²=b²上述方程表示了一个以点A为焦点、以线段BC为长轴的椭圆。这样，我们就将原问题转化为求解椭圆上的点P的问题。接下来的步骤是代数的求解问题，我们可以利用方程（1）中的几何解释来求出点P的具体坐标。首先，我们需要确定椭圆的焦点坐标，由矩形的性质可知，焦点的纵坐标为b/2，即焦点F的坐标为(0,b/2)。接着，我们设点P的横坐标为h，则点P的纵坐标为h-b，代入方程（1）中可得：h²+(h-b)²=b²化简上述方程，可求得两个解h1和h2，即点P的横坐标的两个可能值。带入方程（1）中，即可求得点P的纵坐标。此时，我们已经得到了线段PQ的具体坐标。最后，我们还需求解线段PQ在x轴上的投影Q'的横坐标。由题意可知，线段PQ与x轴平行，且Q点的纵坐标为q。通过简单的几何推理可得，点Q'的纵坐标也为q，横坐标为p。因此，我们得到了线段PQ在x轴上的投影Q'的坐标。通过以上的分析与计算，我们可以看出，几何与代数因“坐标法”相得益彰的优势和作用。首先，坐标法能够将几何上的问题转化为代数上的问题，使问题更具体、更易于分析和计算。其次，坐标法能够将几何问题的解法转化为代数方程的求解问题，使问题的求解更一般、更灵活。进一步思考，我们可以从这个问题中得到一些启示和感悟。首先，几何与代数的结合体“坐标法”在解决几何问题时表现出了强大的力量，这也为我们解决其他几何问题提供了新的思路和方法。其次，几何与代数因“坐标法”相得益彰，不仅可以解决具体的问题，还可以帮助我们理解和发展数学领域中的一些基本概念和性质。最后，探究数学中的某个问题，不仅可以提高自己的数学素养，还能培养我们的数学思维能力和解决问题的能力。综上所述，几何与代数因“坐标法”相得益彰，这在2019年全国Ⅰ卷理科第16题中得到了很好的体现。通过分析这个问题