广东省云浮市2022届数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

广东省云浮市2022届数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．下列结论中正确的是（）A．导数为零的点一定是极值点B．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值C．如果在附近的左侧，右端，那么是极小值D．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值【答案】B【解析】【分析】根据极值点的判断方法进行判断.【详解】若，则，，但是上的增函数，故不是函数的极值点.因为在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，故的左侧附近，有为增函数，在的右侧附近，有为减函数，故是极大值.故选B.【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低（高）”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点，具体如下．（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点；2．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．7315【答案】D【解析】原式等于，故选D.3．已知函数,若是函数唯一的极值点,则实数的取值范围为()A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根.详解：函数的定义域是，，是函数唯一的极值点,是导函数的唯一根，在无变号零点，即在上无变号零点，令，，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，必须.故选A.点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论.4．一个袋中装有大小相同的个白球和个红球，现在不放回的取次球，每次取出一个球，记“第次拿出的是白球”为事件，“第次拿出的是白球”为事件，则事件与同时发生的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】将事件表示出来，再利用排列组合思想与古典概型的概率公式可计算出事件的概率．【详解】事件：两次拿出的都是白球，则，故选D.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，解题时先弄清楚各事件的基本关系，然后利用相关公式计算所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．5．已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则．”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；由题目中“在正三角形ABC中，若D是边BC中点，G是三角形ABC的重心，则AG：GD=2：1”，我们可以推断：“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1．”故答案为“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1．”6．高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据所给的条件求出男生数和男生中三好学生数，本题可以看作一个古典概型，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，根据概率公式得到结果.【详解】因为高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占，而且三好学生中女生占一半，所以本班有40名男生，男生中有5名三好学生，由题意知，本题可以看作一个古典概型，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，所以没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是，故选B.【点睛】该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要首先求得本班的男生数和男生中的三好学生数，根据古典概型的概率公式求得结果.7．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为（）附：若X∼N(μ,σ2)，则PA．1193 B．1359 C．2718 D．3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积S=0.9545-0.6827则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.8．已知函数，若，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】可以得出，从而得出c＜a，同样的方法得出a＜b，从而得出a，b，c的大小关系．【详解】,,根据对数函数的单调性得到a>c,,又因为，，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故选D．【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.9．下列函数一定是指数函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据指数函数定义，逐项分析即可.【详解】A：中指数是，所以不是指数函数，故错误；B：是幂函数，故错误；C：中底数前系数是，所以不是指数函数，故错误；D：属于指数函数，故正确.故选D.【点睛】指数函数和指数型函数：形如（且）的是指数函数，形如（且且且）的是指数型函数.10．设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若，则，）A．7539 B．7028 C．6587 D．6038【答案】C【解析】【分析】由题意正方形的面积为，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案．【详解】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为又由随机变量服从正态分布，所以正态分布密度曲线关于对称，且，又由，即，所以阴影部分的面积为，由面积比的几何概型可得概率为，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是，故选C．【点睛】本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可.详解：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面，,，的外接圆的半径为，由题意可得：球心到底面的距离为.球的半径为.外接球的表面积为：.故选：C.点睛：考查空间想象能力，计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提.12．若函数在上是单调函数，则a的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由求导公式和法则求出，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．【详解】由题意得，，因为在上是单调函数，所以或在上恒成立，当时，则在上恒成立，即，设，因为，所以，当时，取到最大值为0，所以；当时，则在上恒成立，即，设，因为，所以，当时，取到最小值为，所以，综上可得，或，所以数a的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查导数研究函数的的单调性，恒成立问题的处理方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．有一个容器，下部分是高为的圆柱体，上部分是与圆柱共底面且母线长为的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为___________．【答案】【解析】【分析】设圆柱底面圆的半径为，分别表示出圆柱和圆锥的体积，利用导数求得极值点，并判断在极值点左右两侧的单调性，即可求得函数的最大值，即为容器的最大容积.【详解】设圆柱底面圆的半径为，圆柱体的高为，则圆柱的体积为；圆锥的高为，则圆锥的体积，所以该容器的容积为则，令，即，化简可得，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值；代入可得，故答案为：.【点睛】本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用，圆柱与圆锥的体积公式应用，属于中档题.14．已知互异复数，集合，则__________．【答案】【解析】【分析】根据集合相等可得或，可解出.【详解】，①或②.，由①得（舍），由②两边相减得，，故答案为.【点睛】本题主要考查了集合相等，集合中元素的互异性，复数的运算，属于中档题.15．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)【答案】②④【解析】函数的定义域是，且，当时，在恒成立，所以函数在上单调递增，故①错误；对于，存在，使，则在上单调递减，在上单调递增，所以对于任意，函数存在最小值，故②正确；函数的图象在有公共点，所以对于任意，有零点，故③错误；由②得函数存在最小值，且存在，使，当时，，当时，，故④正确；故填②④.点睛：本题的易错点在于正确理解“任意”和“存在”的含义，且正确区分两者的不同.16．，，则__________.【答案】2【解析】分析：由，可得，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.详解：由，可得，则，故答案为.点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设为关于的方程的虚根，虚数单位．（1）当时，求、的值；（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围．【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）,则,则可确定方程两根为,由韦达定理即可求得;（2）可确定,为方程的两根,设,由韦达定理可得,即,,,用两点间距离公式可表示出,用三角函数的知识求得其范围.【详解】（1）当,则方程的两根分别为:,即,（2）当时，方程为,为方程的两根设，则，设，，故复数所对应的点为,可得根据两点间距离公式:其中，即的取值范围为:.【点睛】本题考查复数的定义,几何意义的应用,关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根,利用韦达定理建立等量关系.18．小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，否则为.（1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布及数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求小陈同学三次投篮都没有命中的概率，再用1减得结果，（2）先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果.详解：（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－)×(1－)×(1－)＝；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－＝.（2）ξ可能的取值为0，1，2，1．P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1×)×＝；P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝；P(ξ＝1)＝××＝；故随机变量ξ的概率分布为ξ0121P所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×=＋1×＝．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.19．已知函数是奇函数．（1）求；（2）若，求x的范围．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由为奇函数，得，然后化简求出即可（2）不等式可化为，然后分和两种情况讨论.【详解】解：（1）由，得，定义域为．由为奇函数，得，，，，∴，得．（2）易知．不等式可化为，（i）当时，，不等式化为，得，即，解得，联立，得．（ⅱ）当时，，不等式可化为，∵，∴，，∴，即，解得．综上，x的范围为或【点睛】本题考查的是奇函数的定义的应用及解指数不等式，一般在原点有意义时用原点处的函数值为0求参数，若在原点处无意义，则如本题解法由定义建立方程求参数。20．设（1）解不等式；（2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过讨论的范围去绝对值符号，从而解出不等式．（2）恒成立等价于恒成立的问题即可解决．【详解】（1）令当时当时当时综上所述（2）恒成立等价于（当且仅当时取等）恒成立【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号．属于中等题．21．已知向量m=(3sin（1）若m⋅n=1（2）记f(x)=m⋅n在ΔABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足(2a-c)【答案】（1）-（2）(1,【解析】试题分析：(1)∵m·n＝1，即3sinx4cosx4＋cos2即32sinx2＋12cosx∴sin(x2＋π6)＝∴cos(2π3－x)＝cos(x－π3)＝－cos(x＋π3)＝－[1－2sin2(＝2·(12)2－1＝－1(