吉林省长春市德惠第四中学高三数学文月考试题含解析

吉林省长春市德惠第四中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数有两个零点，则有

（

）A． B． C． D．参考答案：D2.已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为A.

B.

2

C.

D.参考答案：D3.下列说法正确的个数是①“在中，若”的逆命题是真命题；②“”是“直线和直线垂直”的充要条件；③“三个数成等比数列”是“”的既不充分也不必要条件；④命题“”的否定是“”A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C4.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：由题意得，，所以，故选C.考点：集合的运算.6.“”是“直线与直线互相垂直”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．解析：若，则直线x+y=1和直线x﹣y=1互相垂直，是充分条件；若直线与直线互相垂直，则m取任意实数，不是必要条件；故选：A．【思路点拨】根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质，从而得到答案．

7.在区间和分别取一个数,记为,则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为

（

）．

．

．

．参考答案：D8.已知集合P=,,则(

)A．(0,2),(1,1)

B．{1,2}

C．{(0,2),(1,1)}

D．参考答案：9.下列函数中为偶函数的是（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知D为△ABC的边BC的中点，在△ABC所在平面内有一点P，满足，设，则的值为

（

）

A．1 B．

C．2 D．参考答案：答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的渐近线方程是________.参考答案：【分析】将双曲线化成标准方程，得到a、b值，即可得到所求渐近线方程．【详解】解：双曲线的标准方程为：，，可得，又双曲线的渐近线方程是双曲线的渐近线方程是故答案为：【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题．12.定义在区间上的函数，是函数的导数，如果，使得，则称为上的“中值点”。下列函数：①②，③，④。其中在区间上的“中值点”多于一个的函数是___________（请写出你认为正确的所有结论的序号）参考答案：【知识点】导数的计算

B11【答案解析】①④

解析：①，，设是上的中值点，则，这个式子恒成立，故在的“中值点”有无数个；②，，设是的上中值点，则，解之得：，故在的“中值点”有1个；③，，设是的上中值点，则，解之得：，故在的“中值点”有1个；④，，设是的上中值点，则，解之得：，故在的“中值点”有2个；故答案为：①④

【思路点拨】根据中值点的定义，先求各函数的导数，在分别求出，代入中解出中值点，即可求出中值点的个数，选出符合条件的答案。13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最小值是

．参考答案：，，,

,

,

当且仅当时成立.

14.设，且为常数，若存在一公差大于0的等差数列（），使得为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组的值________.参考答案：（答案不唯一，一组即可）试题分析：由题设可取,此时,存在数列,满足题设,应填答案.考点：函数与等差等比数列以及分析探究的能力．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是等差数列和等比数列的有关知识及推理判断的能力.开放性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,想方设法构造出一个满足题设条件的数列.由于本题是一道结论开放型的问题,因此它的答案是不唯一的,所以在求解时只要求出一组符合题目要求的数据即可.如本题的解答时取,函数,取数列,则成等比数列,故答案应填.15.若f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），x∈[﹣1，1]，且|f（x）|的最大值为，则4a+3b=．参考答案：﹣

【考点】二次函数的性质．【分析】根据x的范围以及函数的最大值得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值即可．【解答】解：若|f（x）|的最大值为，|f（0）|=|b|≤，﹣≤b≤①，同理﹣≤1+a+b≤②，﹣≤1﹣a+b≤③，②+③得：﹣≤b≤﹣④，由①、④得：b=﹣，当b=﹣时，分别代入②、③得：?a=0，故4a+3b=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查不等式问题，是一道中档题．16.已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】由题意可得f（2）=loga2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．【解答】解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，∴f（2）=loga2=﹣1；故a=；故f﹣1（x）=；故答案为：．17.已知a＞0，且二项式展开式中含项的系数是135，则a=．参考答案：3【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，求得展开式中含项的系数，再根据展开式中含项的系数为135，从而求得a的值．【解答】解：二项式展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?a6﹣r?x3﹣r，令3﹣r=﹣1，求得r=4，故开式中含项的系数是?a2=135，求得a=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合，记其“特征值”为，求证：参考答案：证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.得到数表的不同特征值是或

……………3分714582369

（Ⅱ）当时，数表为

此时，数表的“特征值”为

……………………4分13159101426711153481216

当时,数表为

此时，数表的“特征值”为.

………5分21161116172227121318233891419244510152025

当时，数表为

此时，数表的“特征值”为.

…………6分猜想“特征值”为.

…………………7分（Ⅲ）设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，因为所以，从而…………13分

略19.已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）利用椭圆的定义及其性质即可得出；（II）方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用两点之间的距离公式与，可得，再利用切线的性质可得|PM|=，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；方法2：设P（x1，y1），Q（x2，y2），设PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|PQ，利用PQ与圆x2+y2=8相切的性质可得，得到，利用两点之间的距离公式可得，同理可得，即可证明．解答： （I）解：根据已知，椭圆的左右焦点为分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，∵在椭圆上，∴，∴a=3，b2=a2﹣c2=8，椭圆的方程是；（II）证明：方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，在圆中，M是切点，∴，∴，同理|QF2|+|QM|=3，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q的周长是定值6．方法2：设PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴===，∵PQ与圆x2+y2=8相切，∴，即，∴，∵，∵0＜x1＜3，∴，同理，∴，因此△PF2Q的周长是定值6．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.(本小题满分10分)等比数列中，，且是和的等差中项，若.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和;参考答案：21.已知单调递增的等比数列｛an｝满足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项。（1）求数列｛an｝的通项公式;（2）若bn=,sn=b1+b2+┉+bn,对任意正整数n,sn+(n+m)an+1<0恒成立,试求m的取值范围。参考答案：解：（1）设等比数列的首项为，公比为q。

依题意，有

代入a2+a3+a4=28，得┉┉┉┉┉┉┉┉2分

∴

∴解之得或┉┉┉┉┉┉┉┉4分又单调递增，∴

∴

┉┉┉┉┉┉┉┉6分（2）∴

①∴

②

∴①-②得＝┉┉┉┉┉┉┉┉9分由sn+(n+m)an+1<0，即对任意正整数n恒成立，∴。对任意正数恒成立，┉┉┉┉┉┉┉┉11分∵即m的取值范围是。┉┉┉┉┉┉┉┉13分

略22.（本小题满分15分）已知数列是首项为的等差数列，其前项和满足．数列是以为首项的等比数列，且．（Ⅰ）求数列