广东省广州市培新中学高三数学文期末试卷含解析

广东省广州市培新中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.的外接圆半径和的面积都等于1，则（

）

A．

B．

C． D．参考答案：D2.不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围（

）A． B． C．(－∞,－2] D．(－∞,－3]参考答案：D题意即为对恒成立，即对恒成立，从而求，的最小值，而，故，即．当时，等号成立，方程在内有根，故，所以，故选D．3.下列说法正确的是

．（写出所有正确说法的序号）①若的必要不充分条件；②命题；③设命题“若则”的否命题是真命题；④若；参考答案：①③略4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B详解：由程序框图知．故选B．

5.函数y=ln(x+1)与的图像交点的横坐标所在区间为(

)A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)参考答案：B6.已知函数f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则的最小值等于（）A．2 B． C．2+ D．2参考答案：A【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】根据对数的运算性质，可得ab=1（a＞b＞0），进而可将=（a﹣b）+，进而根据基本不等式，可得答案．【解答】解：∵f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则lga=﹣lgb，则a=，即ab=1（a＞b＞0）==（a﹣b）+≥2故的最小值等于2故选A7.设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n∈N*），则S6=(

)A．44 B．45 C．（46﹣1） D．（45﹣1）参考答案：B【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由an+1=3Sn（n∈N*），可得Sn+1﹣Sn=3Sn，Sn+1=4Sn，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵an+1=3Sn（n∈N*），∴Sn+1﹣Sn=3Sn，∴Sn+1=4Sn，S1=1，S2=3+1=4．∴数列{Sn}是等比数列，首项为1，公比为4．∴Sn=4n﹣1．∴S6=45．故选：B．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.已知数列{an}，{bn}满足，，.则数列的前10项和为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题目条件判定为等差数列，为等比数列，分别求出通项公式，然后求和.【详解】因为，所以为等差数列，为等比数列且公差，公比均为3，所以，，所以，易知是以1为首项，27为公比的等比数列，所以前10项和为，故选D.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式及等比数列求和，侧重考查数学运算的核心素养.10.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5、S4、S6成等差数列，则数列{an}的公比q的值等于．参考答案：﹣2【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意，由S5、S4、S6成等差数列，可得2S4=S5+S6，分2种情况讨论：①q=1、②q≠1，分别代入等比数列的前n项和公式，计算可得q的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，S5、S4、S6成等差数列，则2S4=S5+S6成等差数列，①、当q=1时，Sn=na1，则S5=5a1，S4=4a1，S6=6a1，S5、S4、S6成等差数列不成立，故舍去．②、当q≠1时，有2=+，变形可得：0=2a5+a6，∴a5（2+q）=0，解得q=﹣2．则数列{an}的公比为q=﹣2，故答案为：﹣2．12.若是纯虚数，则实数的值为_________。参考答案：0略13.设g（x）=，则g（g（））=．参考答案：

【考点】对数的运算性质．【分析】根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．【解答】解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．14.

；参考答案：.15.已知抛物线y=x2，A，B是该抛物线上两点，且|AB|=24，则线段AB的中点P离x轴最近时点的纵坐标为

．参考答案：8【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，由三角形的性质丨AB丨≤丨AF丨+丨BF丨利用抛物线的性质可知y1+y2≥16，根据中点坐标可得线段AB的中点P离x轴最近时点的纵坐标．【解答】解：抛物线的标准方程x2=16y，焦点F（0，4），设A（x1，y1）、B（x2，y2），由丨AB丨≤丨AF丨+丨BF丨=（y1+4）+（y2+4）=y1+y2，∴y1+y2≥16，则线段AB的中点P点的纵坐标y=≥8，∴线段AB的中点P离x轴最近时点的纵坐标8，故答案为：8．【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，三角形的两边之和大于第三条边，考查数形结合思想，属于中档题．16.若，则等于

.参考答案：试题分析：，所以，.考点：二项式定理.17.已知函数()（其中e是自然对数的底数）的图像上存在点与的图像上的点关于y轴对称，则实数a的取值范围是____参考答案：【分析】根据题意先设上的一点坐标为，再由该点关于y轴对称写出上的点的坐标为，且两点满足横坐标互为相反数，纵坐标相等，则有，对这个式子进行整理化简得，令，在定义域内求的值域，即得a的范围。【详解】存在函数图像上的一点与函数图像上一点关于y轴对称，则有，即，，令，则在上单调递增，故.【点睛】本题根据两个函数上的两个点关于y轴对称的条件，可得到含参数的等式，解题关键在于用分离参数的方法，在构造新函数的情况下，将求参数取值范围转化为求函数值域。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.证明下列恒等式；（1）；（2）.参考答案：（1）见证明；（2）见证明【分析】（1）当时，利用化简和式通项后再利用二项式系数的性质可证等式成立.（2）把变形为，从而，再利用二项式系数的性质可以得到，最后利用累加法可求.【详解】（1）当时，，故.当时，，，此时成立，故对都成立.（2）先证当时，记，所以，当时，又，所以，所以，又，所以.【点睛】二项式系数有对称性、单调性和递推性质，特别最后一个性质，它有两种形式：（1），（2），当所考虑的和式的通项具有项的系数与组合数的上标一致或通项的组合数上下标均变化时可用这两个性质.19.（本小题满分12分）

已知函数（e为自然对数的底数）在x=2处的切线斜率为

(I)求m的值；

(Ⅱ)是否存在自然数^，使得函数在(k，k+l)内存在唯一的极值点？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；

(Ⅲ)证明>0．参考答案：（1）；

………3分（2）单调递增所以在内存在唯一零点在内存在唯一的极值点，；

………6分（3）设在内的极值点为，所以，单调递减,，单调递增，将代入得当时， 所以.

………12分20.（12分）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB=

且△ABC的面积为，求b.参考答案：解析:由a、b、c成等差数列得a＋c=2b

平方得a2＋c2=4b2－2ac

①……2分又S△ABC＝且sinB=,∴S△ABC＝ac·sinB=ac×＝ac=故ac=

②………………………4分由①②可得a2＋c2=4b2－

③…………………5分又∵sinB=，且a、b、c成等差数列∴cosB===…………8分由余弦定理得：b2=a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－2××＝a2＋c2－

④………10分由③④可得

b2=4∴b=2….…12分21.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|?|PB|．参考答案：【