湖北省鄂州市鄂东中学高三数学理期末试卷含解析

湖北省鄂州市鄂东中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的一个区间是(

) A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）参考答案：C考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．解答： 解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．2.若，则的解集为

（

）

A．

B．∪

C．

D．参考答案：C3.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（

）.

(A)5

(B)-6

(C)10

(D)-l0参考答案：B4.用数学归纳法证明：“,在验证n＝1时，左端计算所得的项为(

)A．1

B．

C．

D．参考答案：C5.若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；规律型；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．6.已知函数在区间[1,2]上单调递增，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的（） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件参考答案：A略8.如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有（）A．360种 B．320种 C．108种 D．96种参考答案：B【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意相邻两块的颜色不同，通过对涂色区域编号，分别选出2种颜色、3种颜色、4种颜色涂色，求出各自的涂色方案种数，即可得到结果．【解答】解：对涂色区域编号，如图：分别用2色、就是1一色，2、3、4同色，涂色方法为：C52A22=20；涂3色时，2、3同色，2、4同色，3、4同色，涂色方法是3C53A33=180；涂4色时涂色方法是A54=120，所以涂色方案有：20+180+120=320．故选B．【点评】本题是中档题，考查排列组合计数原理的应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．9.(k>0),则的最大值为

(

)

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B10.已知复数z满足z(3-i)=1-2i，则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D因为z(3-i)=1-2i，所以，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，直角三角形OAC所在平面与平面交于OC，平面P平面，为直角，，B为OC的中点，且，平面内一动点满足，则的取值范围是________．参考答案：【分析】根据题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，利用向量的数量积化简可得到关于的二次函数，求出二次函数在某区间上求值域即可。【详解】在直角三角形中，过点作边上的高交于，直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，平面，在平面内过点作边的垂线，所以，，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：为直角，,为的中点，且,,,,,，，，，，，，，，又，则，即，化简即可得到：，由于，则，所以，，把代入即可得到：，当，的范围为，所以的取值范围是，故答案为。【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，解题的关键是建立空间直角坐标系，求出各点坐标，表示出题目所求即可。12.（4分）在区间（0，4）内任取一个实数x，则使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为．参考答案：【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围，然后利用几何概型的概率公式求解．解：由题意知0＜x＜4．由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，所以由几何概型的概率公式可得使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为=，．故答案为：．【点评】：本题主要考查几何概型，要求熟练掌握几何概型的概率求法．13.过点（3，﹣3）引圆（x﹣1）2+y2=4的切线，则切线方程为．参考答案：x=3或5x+12y+21=0【考点】圆的切线方程．【分析】当过点（3，﹣3）的直线斜率不存在时，方程是x=3，通过验证圆心到直线的距离，得到x=3符合题意；当过点（3，﹣3）的直线斜率存在时，设直线方程为y+3=k（x﹣3），根据圆心到直线的距离等于半径2，建立关于k的方程，即可得出结论．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=4的圆心为（1，0），半径为2．（1）当过点（3，﹣3）的直线垂直于x轴时，此时直线斜率不存在，方程是x=3，因为圆心到直线的距离为d=2=r，所以直线x=3符合题意；（2）当过点（3，﹣3）的直线不垂直于x轴时，设直线方程为y+3=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k﹣3=0∵直线是圆（x﹣1）2+y2=4的切线∴圆心到直线的距离为d==2，解之得k=﹣，此时直线方程为5x+12y+21=0．综上所述，得切线方程为x=3或5x+12y+21=0．故答案为x=3或5x+12y+21=0．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，考查学生的计算能力，属于中档题．14.若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点、与点、，则三角形面积之比为：.若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点、与点、和、，则类似的结论为：

.参考答案：略15.已知函数，对于任意且，均存在唯一的实数t，使得，且，若关于x的方程有4个不相等的实数根，则a的取值范围是

．参考答案：(－6,－3).16.参考答案：≤3或=4略17.函数(x∈R)的图象为,以下结论中:

①图象关于直线对称;

②图象关于点对称;

③函数在区间内是增函数;

④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.

则正确的是

.(写出所有正确结论的编号)参考答案：①②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）参考答案：（1）不存在极值点;（2）﹣＜a＜0;（3）a≤﹣

【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．B11B12解析：（1）f（x）=ax2+2x+1﹣lnx的导数为f′（x）=2ax+2﹣=，当a=﹣时，f′（x）=﹣=﹣，当x＞0时，f′（x）≤0恒成立，即有f（x）在（0，+∞）递减，则有f（x）不存在极值点；（2）由于f′（x）=2ax+2﹣=（x＞0），令h（x）=2ax2+2x﹣1，f（x）有两个极值点的充要条件即为h（x）=0有两个不相等的正根，则有a≠0，判别式4+8a＞0，且﹣＞0，﹣＞0，解得﹣＜a＜0；（3）由于f′（x）=2ax+2﹣=（x＞0），令h（x）=2ax2+2x﹣1，当a=0时，h（x）=2x﹣1，当x＞，f（x）递增，0＜x＜，f（x）递减，不合题意；当a＞0，g（x）的对称轴x=﹣＜0，g（x）在（0，+∞）递增，g（0）=﹣1＜0，即有g（x）在x＞0上有正有负，f（x）有增有减，不合题意；当a＜0时，g（x）的对称轴x=﹣＞0，g（0）=﹣1＜0，由题意可得g（x）只需满足判别式4+8a≤0即可．解得a≤﹣．综上可得a的取值范围为（﹣∞，﹣]．【思路点拨】（1）求出当a=﹣时的函数的导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，令h（x）=2ax2+2x﹣1，f（x）有两个极值点的充要条件即为h（x）=0有两个不相等的正根，运用判别式大于0和韦达定理，解不等式即可得到a的范围；（3）求出导数，令h（x）=2ax2+2x﹣1，讨论a=0，a＞0，a＜0，通过对称轴和二次函数的图象，结合导数的符号，即可求得a的范围．19.（本小题满分12分）如图，已知椭E:的离心率为，且过点，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求证：四边形ABCD的面积为定值.参考答案：（Ⅰ）当直线AB的斜率存在时，设由.………………..4分.………………..6分，所以的范围是.………………..8分

………………..10分………………..12分20.已知不等式mx2﹣2x﹣m+1＜0．（1）若对于所有的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．参考答案：考点：一元二次不等式的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）当m=0时，经检验不满足条件；解得m≠0时，设f（x）=mx2﹣2x﹣m+1，则由题意可得有，解得m∈?．综合可得结论．（2）由题意﹣2≤m≤2，设g（m）=（x2﹣1）m+（1﹣2x），则由题意可得，由此求得x的取值范围．解答：解：（1）当m=0时，1﹣2x＜0，即当时不等式恒成立，不满足条件．…（2分）解得m≠0时，设f（x）=mx2﹣2x﹣m+1，由于f（x）＜0恒成立，则有，解得m∈?．综上可知，不存在这样的m使不等式恒成立．…（6分）（2）由题意﹣2≤m≤2，设g（m）=（x2﹣1）m+（1﹣2x），则由题意可得g（m）＜0，故有，即，解之得，所以x的取值范围为．…（12分）点评：本题主要考查一元二次不等式的应用，函数的恒成立问题，体现了分类讨论和转化的数学思想，属于中档题．21.已知函数，.（1）求f(x)的最小正周期；（2）判断函数f(x)在上的单调性.参考答案：（1）π（2）时，f(x)单调递减，时，f(x)单调递增.【分析】（1）由三角函数恒等变换的公式，化简得函数，再由最小正周期的公式，即可求解；（2）由时，得到，利用正弦函数的图象与性质，即可求得函数的单调区间，得到答案.【详解】（1）由题意，函数，∴的最小正周期.（2）由（1）得，因为时，则，所以，当时，即时，单调递减，当时，即时，单调递增.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式求得函数的解析式，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22.（本小题满分13分）已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为；（1）求椭圆的离心率；（2）己知，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：（1）由，得直线的倾斜角为，则点到直线的距离，故直线被圆截得的弦长为，直线被圆截得的弦长为， 据题意有：，即， （4分）化简得：，（5分）解得：或，又椭圆的离心率；故椭圆的离心率为．