考研数学一(大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念)历年

考研数学一（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．[2002年]设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn()．A．有相同的数学期望B．有相同的方差C．服从同一指数分布D．服从同一离散型分布正确答案：C解析：列维一林德伯格中心极限定理成立的条件之一是X1，X2，…，Xn具有相同的、有限的数学期望和非零方差，而选项A、B不能保证同分布．可排除．而选项D虽然服从同一离散型分布，但不能保证E(Xi)与D(Xi)均存在，也应排除．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理2．[2005年]设X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ(λ＞1)的指数分布．记ф(x)为标准正态分布函数，则()．A．B．C．D．正确答案：C解析：由于随机变量序列X1，X2，…，Xn独立同服从参数为λ的指数分布，有E(Xi)=1／λ，D(Xi)=1／λ2(i=1，2，…，n)，由列维一林德伯格中心极限定理知，当n→∞时，随机变量的极限分布为标准正态分布，即=P(Un≤x)=ф(x)．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理3．设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则()．A．X+Y服从正态分布B．X2+Y2服从χ2分布C．X2和Y2都服从χ2分布D．X2／Y2服从F分布正确答案：C解析：因X～N(0，1)，Y～N(0，1)，故X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念4．[2017年]设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论不正确的是()．A．(Xi一μ)2服从χ2分布B．2(Xn一X1)2服从χ2分布C．服从χ2分布D．n(—μ)2服从χ2分布正确答案：B解析：若总体X～N(μ，σ2)，则因为总体X～N(μ，1)，所以再由得，从而综上所述，不正确的是B．仅B入选．知识模块：数理统计的基本概念5．[2003年]设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y=1／X2，则()．A．Y～χ2(n)B．Y～χ2(n一1)C．Y～F(n，1)D．Y～F(1，n)正确答案：C解析：因X～t(n)(n＞1)，故存在随机变量U～N(0，1)，V～χ2(n)，且U与V独立，使即因V～χ2(n)，U～N(0，1)，因而U2～χ2(1)，又V与U独立，得到．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念6．[2005年]总体X～N(0，1)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个简单随机样本，，S2分别为样本均值和样本方差，则()．A．B．C．D．正确答案：D解析：因X12～χ2(1)，Xi2～χ2(n一1)，且X12与相互独立，可知仅D入选．知识模块：数理统计的基本概念7．[2013年]设随机变量X～t(n)，Y~F(1，n)，给定α(0＜α＜0．5)，常数c满足P(X＞c)=α，则P(Y＞c2)=()．A．αB．1一αC．2αD．1—2α正确答案：C解析：因X～t(n)，故X2～F(1，n)，因而Y=X2．因t分布的概率密度函数为偶函数，所以给定α(0＜α＜0．5)，存在c＞0使P(X＞c)=α时，必有P(X＞c)=P(X＜一c)=α，则P(Y＞c2)=P(X2＞c2)=P(X＞c)+P(X＜一c)=2P(X＞c)=2α．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念填空题8．[2001年]设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计P(｜X—E(X)｜≥2)≤______．正确答案：解析：由切比雪夫不等式即得知识模块：大数定律和中心极限定理9．[2003年]设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，Yn=依概率收敛于______．正确答案：1/2解析：利用辛钦大数定律求之．由于X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机变量样本，X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从参数为2的指数分布．因而知X12，X22，…，Xn2也相互独立，且同分布．又X服从参数为2的指数分布，故E(Xi)=E(X)=1／2，D(Xi)=D(X)=(1／2)2=1／4(i=1，2，…，n)，则E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1／4+(1／2)2=1／2(i=1，2，…，n)．根据辛钦大数定律知，一组相互独立、同分布且数学期望存在的随机变量X12，X22，…，Xn2，其算术平均值依概率收敛于数学期望：即表示依概率收敛于)，亦即依概率收敛于1／2．知识模块：大数定律和中心极限定理10．设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1一2X2)2+6(3X3-4X4)2，则当a=______，b=______时，统计量X服从χ2分布，自由度为______．正确答案：a=1／20，b=1／100，χ2解析：因X1，X2，X3，X4为正态总体的简单随机样本，故X1，X2，X3，X4相互独立，且X1-2X2与3X3-4X4都服从正态分布：X1—2X2～N(0.5×22)=N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，因独立，由题目知，即所以a=1／20，b=1／100，且X服从自由度为2的χ2分布．知识模块：数理统计的基本概念11．设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，32)，而X1，X2，…，X9和Y1，Y2，…，Y9分别为来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量服从______分布，参数为______．正确答案：t，9解析：将U的分子分母同除以9，则分子为=(X1+X2+…+X9)／9～N(0，9／9)=N(0，1)．或由X1，X2，…，X9相互独立且Xi～N(0，32)知，X1+X2+…+X9～N(0，9×32)=N(0，92)，故(X1+X2+…+X9)／9～N(0，1)．而分母为又(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)．这是因为Yi／3～N(0，1)，且Y1，Y2，…，Y9相互独立；又由X，Y相互独立知，(X1+X2+…+X9)／9与(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2相互独立．于是由t分布的典型模式知，即U服从t分布，参数为9．知识模块：数理统计的基本概念解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。[2014年]设总体X的分布函数为其中θ为未知参数且大于零，X1，X2，…，Xn是来自总体的简单随机样本，12．求E(X)及E(X2)；正确答案：先对概率分布函数求导，求出其概率密度函数则涉及知识点：大数定律和中心极限定理13．求θ的极大似然估计量．正确答案：设x1，x2，…，xn为样本观测值，则似然函数为当x1，x2，…，xn＞0时，．令解得θ的极大似然估计值为，从而θ的极大似然估计量为涉及知识点：大数定律和中心极限定理14．是否存在常数a，使得对任意的ε＞0，都有？正确答案：存在，且a=θ．这是因为X12，X22，…，Xn2是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi2)=θ＜+∞．根据辛钦大数定律知，当n→∞时，依概率收敛于E(Xi2)=θ，所以对任意的ε＞0，都有，即涉及知识点：大数定律和中心极限定理15．[2001年]一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重量为5t的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于0．977．(ф(2)=0．977，其中ф(x)是标准正态分布函数．)正确答案：设Xi(i=1，2，…，n)是装运的第i箱的重量(单位：kg)，所求箱数为n．由题设知X1，X2，…，Xn为独立同分布的随机变量，而n箱的重量为Sn=X1+X2+…+Xn，是n个独立同分布的随机变量之和．由题设知E(X1)=50，，于是D(Xi)=25=σ2．又E(Sn)=50n，即D(Sn)=25n．根据列维一林德伯格中心极限定理，Sn近似服从正态分布，且有SnN(50n，25n)．于是因而．令，代入不等式中得到10x2+2x一1000≤0，化为因x≥0，故，于是取整数，即知每辆车最多可装98箱．涉及知识点：大数定律和中心极限定理某保险公司对多年来的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．16．写出X的概率分布；正确答案：设事件A={被抽查到被盗索赔户}，则p=P（A）=0．2．由题意，X～B(100，0．2)．因此分布律为P(X=k)=C100k(0．2)k(0．8)100-k(k=0，1，…，100)．涉及知识点：大数定律和中心极限定理17．利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值．[附表]设ф(x)是标准正态分布函数．正确答案：E(X)=np=20，D(X)=np(1一p)=16．根据棣莫弗一拉普拉斯定理知，(n=100已充分大)，则≈ф(2．5)一ф(一1．5)=ф(2．5)一[1一ф(1．5)]=0．994—1+0．933=0．927．涉及知识点：大数定律和中心极限定理18．设X1，X2，…，X9来自正态总体X的简单随机样本，Y1=(X1+X2+…+X6)／6，Y2=(X7+X8+X9)／3，证明统计量Z服从自由度为2的t分布．正确答案：设X～N(μ，σ)．由其样本均值Y1～N(μ，σ2／6)，样本均值Y2～N(μ，σ2／3)，则Y1一Y2～N(μ一μ，σ2／6+σ2／3)=N(0，σ2／2)．于是因，知Y2与S2独立，且因Y2与S2独立，Y1与S2独立，故Y1一Y2与S2独立，从而(Y1一Y2)/σ与2S2／σ2独立．于是由t分布的典型模式知，即统计量Z服从自由度为2的t分布．涉及知识点：数理统计的基本概念[2005年]设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，1)的简单随机样本，其样本均值为，记Yi=Xi一(i=1，2，…，n)．求：19．Yi的方差D(Yi)(i=1，2，…，n)；正确答案：涉及知识点：数理