新人教A版选修4-5高中数学数学归纳法 同步练习1

数学归纳法同步练习

1.已知n为正偶数，用数学归纳法证明

l」+」+...+-L=2（」一+J…+工）

234n-1n+2〃+42n时，若已假设"=乂女22为偶

数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）

A.〃=上+1时等式成立B.〃=女+2时等式成立

C.〃=24+2时等式成立D.〃=2（々+2）时等式成立

2.设"〃）=^71+”2+〃+3+…+五*）,则+（）

，，-J

A.2〃+1B.2/1+2c.2〃+12〃+2D.2〃+12〃+2

V+22+.••+（”—1）2+〃2+（〃一1）2+...+22+12=^1±12

3.用数学归纳法证明3

时，

由〃=人的假设到证明〃=左+1时，等式左边应添加的式子是（）

B.(k+l)2+%2C.(A+l)2D,；/+1)[2(人1)2+1]

A.(女+1)2+2公

4.某个命题与正整数n有关，如果当〃=%（%€N+）时命题成立，那么可推得当

〃=%+1时

命题也成立.现已知当”=5时该命题不成立，那么可推得（）

A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立

C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立

5.用数学归纳法证明“（〃+］）（”+2）…（“+“）=2”.1.2..（2〃-1）”（“eN+）时,

从

“n=k到〃=女+1”时，左边应增添的式子是)

2A+12k+2

A.2k+1B.2(2%+1)c.k+1D.k+\

।11111111

1------1----------1-…+----------------=---------1---------+…---

6.用数学归纳法证明"2342n-12nn4-1〃+22〃”时,

由"=%的假设证明〃=%+1时,如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为

)

111

------------F,••4----------1---------------—J+'+」

A.左+12k2k+1B.k+l2k2k+\2k+2

1II

L+…+L」-------------F•••d----------------F--------------

C.k+22k2%+1D.k+22k+12k+2

7.数列i%的前n项和而q=1,通过计算的，%，%，猜想

a.=()

2222

2

A.(〃+DB.«(«+!)c.2"-1D.2/2-1

Jta”=——■~~式ne

8.已知数列四J的通项公式("+"N*),记

/(n)=(l-a1)(l-a2)(l-a3)-(l-a„)>

通过计算”)(的值,

1J2)J(3)J(4)由此猜想了(〃)()

〃+2n+22〃一1n+1

A.2(〃+1)B.4〃c.(〃+l厂D.+D

9.数列｛%｝中，al=l,Sn表示前n项和，且Sn,Sn+1,2sl成等差数列，通过计

算SLS2,

S3,猜想Sn=()

2〃+12n—1n(n4-1)1

A.B.尸C.2"D.1-2^

%+1>且(4+1>一2(%+|+«„)+1=°，计算。2，。3,然后猜想

10.al=l,

%=()

A.nB.n2C.n3D.dn+3—品

11.设。<‘<E'已知q=2cose,j=产工，则猜想即=()

-9c夕c夕c•e

2cos—2cos—~2cos—~2sin—

+'

A.2"B.2"Tc.2"D.2"

12.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台

阶共有八〃)

种走法，则下面的猜想正确的是()

A./(〃)=/(〃—D+/5-2)(»>3)B./(n)=2/(n-l)(n>2)

C./(«)=2/(n-l)-l(n>2)D/(〃)=/(〃-1)/(〃-2)(n>3)

二、填空题

13.凸左边形内角和为一(%),则凸k+1边形的内角为

fk+l)=/(k)+

14.平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设々条这样的直

线把平面分

成“幻个区域，则％+1条直线把平面分成的区域数

f(k+l)^f(k)+

15.用数学归纳法证明"2”"N〃2+〃+2(“eN*)，，时，第一步验证

'www.DearEDU.com

为^

16.用数学归纳法证明"当n为正奇数时，x"+V'能被x+y整除"，当第二步假

设

〃=2Z-l(ZeN*)命题为真时，进而需证〃=时，命题亦真.

17.数列｛%｝中，%=L且4%-。/向+2%=9,通过计算出，出，％，然后猜想

a„=______,

18.在数列"J中，%=LJ=(〃+1)%，通过计算的，的，。4,然后猜想%=

19.设数列｛%｝的前n项和Sn=2n-an(nEN+),通过计算数列的前四项，猜想%=

/(x)=2,1

20.已知函数2-/记数列次J的前n项和为Sn,且q=/⑴，当〃N2时，

21,

s„-77--=-(»-+5n-2),(।

"%)2则通过计算”/2，%，的值，猜想佃♦的通项公式

a“=_

三、解答题

21.用数学归纳法证明：

I222n2n(n+1)

---------11-…4-------------------------------=-------------------

1.33-5(2n-l)(2n+1)2(2〃+1).

22.用数学归纳法证明：

(I)72"—42"-297能被264整除；

(II)+’能被＞+a+l整除(其中n,a为正整数)

23.用数学归纳法证明:

-1+1+1+•••+—1>l“(n>1，)、

nn+1n+2n'.

2

｛%｝中,%=2p,a“=2/?--

24.数列,0是不等于零的常数，求证：P不在数

列｛%｝中.

_2412

25.设数列“…一百七一门产，其中〃"〃eN*

1

*0<x„<-X>—

求证：对〃wN都有（I）2.(II)X“<X"M；(HI)2

26.是否存在常数a,b,c,使等式

1-22+2-32+…+〃（〃+1）2=^1±12（。〃2+匕〃+3对〃e

12N+都成立，并证明你的

结论.

27.已知数列"J的各项为正数，其前n项和为Sn,又明与满足关系式:

+…+

%+2%+2%+2,试求的通项公式.

S“=-(«„+―)

28.已知数列的各项为正数，Sn为前n项和，且2%,归纳出an

的公式，并证明你的结论.

29.已知数列"J是等差数列，%=1，%=2,设

P”=%+%+旬+…+即伏=3"T,WWN+),

Qn=a2+a6+al0+-+am(m=4n-2,neN+)>问Pn与Qn哪一个大？证明你

的结论.

30.已知数列｛%｝：%=L%=Pla，，-JT(〃WN*,O<P<1),

---<an<0.

(I)归纳出an的公式，并证明你的结论;(II)求证：〃

答案

一、l.B2.D3.B4.C5.B6.D7.B8.A9.D10.B11.B12.A

二、13.兀，14.k+1,15.当n=l时，左边=4=右边，命题正确.16.2k+l

6n-52〃一1

17.2〃—118.n!19.2”T20.n+1

k(k+l)(k+1)2(k+l)(k+2)

------―------------=-----------

21.当〃=々+1[|寸，左边=2(24+1)(2k+1)(2^+3)2(2k+3).

22.(J)当“=k+l时，72"旬_42"3_297=49x(72*_4"-297)+33x42*+48x297

=49x(72*-42X'-297)+33x8x(24i-3+48x9)=49x(72i-42k-297)

4

+264x(2J+48x9)能被264整除，命题正确.

_A+l2A-12k+]2

([[)“=女+1时，a""+(q+1)2"T=(a+l)[a+(a+1)]+a**-a(a+1)

=(a+[a1+(a+V)2k']-ak+\a~+a+l)能被a2+a+]整除.

=(八1+—1+•••+—;-1-)、+(，―1+■-•+—r-——1)、<^，+

23.(I)当〃=攵+1时，左边22*-12k2A+1-1

—1+—1+•••+—1=k,+2cA--1=k,+,l

(2*2(——2k=右边，命题正确

2★项

1111、

=---+■•-+—+(—z——+…+------)>

(II)〃=4+1时，左边上+1kk-+\(k+1)-

l+(2k+l)^―1,k2-k-\

-=1+——---

Y+lk左伏2+1)

n+11-八

an=---p〃=p=-p=0=p=0

24.先用数学归纳法证明〃；假设«与条件矛盾.

25.三小题都用数学归纳法证明：

*.*Xi——3,・..0八<X]<一1

(1)1°.当"=1时，162成立；

0<X.<一

2°.假设〃=女时，2成立，

313111

Xr,]=---1---X2<--1---X—=一

.•.当〃=左+1时，82k8242,

3八八1

>->0,.-.0<xt+l<-

而y2；

由1°2°知，对〃wN*都有<乙<5,

313

**X—__I____Y"2>——>丫

(II)1°.当n=l时，•'828命题正确;

2°.假设〃=%时命题正确，即

当〃=左+1时，Xk+\>Xk>°，'》"+1>Xk,

3131

x=­I—x2>—I—x2—x

k+282k+}82«k、k+}命题也正确;

由1°,2°知对〃eN*都有x“<K

x,=—3>—1z(一k)i

(III)1°.当n=l时，1622,命题正确;

1

X>----

2°.假设〃=%时命题正确，即2

人A、

,,4+13+12>3l+彳1、匕1_(/；1；)\]2=三3+彳1、片1-(7)k"+/gI产2A]l

.・.当〃=后+1时，82822282422

]_+d严>1-(1/+1

2222,命题正确;

1

X>--

由1。、2。知对〃eN"都有"2

26.令n=l得。+"。=24①，令X2得4a+2。+c=44②,

令n=3得9a+3%+c=70③，解①、②、③得a=3,b=ll,c=10,记原式的

〃（〃+1）（3“2+“〃+io）

左边为Sn,用数学归纳法证明猜想12（证明略）

27.计算得为=2,%=4,%=6,猜测%=2〃，用数学归纳法证明（证明略）.

Sj=Q[=—(Q]H--)%=1；<1+%一(tz9H---)