第七章实数的完备性

第七章实数的完备性

§1关于实数完备性的基本定理§2闭区间上连续函数性质的证明

§1关于实数完备性的基本定理一.闭区间套定理（一）闭区间套定义1

如一列闭区间满足（1）…（2）简称区间套.

定义1

如一列闭区间

a1a2a3a4b4b3b2b1.

1

2

2

1

b

b

b

a

a

a

n

n

£

£

£

£

£

£

£

£

L

L

L

注2

由注1可知,都存在,因此由条件(2)可得（二）闭区间套定理存在唯一的实数属于所有的闭区间，即且定理1

如果形成一个闭区间套，则

下面证明满足题设条件的

是唯一的.

证明为单调递增的有界数列,

由区间套定义知,

有极限

,且有

依单调有界定理

也有极限,并按为单调递减有界数列,所以

同理

区间套的条件

(ii)有且有即有设

也满足则由条件(ii)有再由条件(ii)有所以所确定的点，则推论是闭区间套若注３区间套定理也可以为定理若为一个区间套,则存在唯一的实数

,使注３区间套定理要求区间列中的每个区间为闭区间,对开区列即使(1)(2)区间套定理的结论不成立.例对开区间列条件(1)与(2)满足,但但有定理若

满足(1)与(2),且有(3)则存在唯一的实数属于所有的闭区间，即用区间套定理证明柯西收敛准则数列收敛的充分必要条件是:对任意

>0,存在正整数N,对一切m,n>N,有Weierstrass聚点定理Weierstrass（1815～1897）德国数学家，生于巴伐利亚，卒于柏林。Weirstrass

堪称现代分析之父，他的论文与教学影响整个二十世纪分析学（甚至整个数学）的风貌。二聚点定理

定义设S为数轴上的点集,

为定点(它可以属于S也,可以

聚点的等价定义:

为点集S的聚点的充要条件是,是对点

的任何邻域不属于S)若

的任何邻域内都含有S的无穷多个点,则称

为S的聚点..都含有S中异于

的点,即(1)(2)其极限为点集S的聚点的充要条件是,存在各项互异的收敛数满足:列定理1(Weierstrass聚点定理)实轴上任一有界无限点集

S至少有一个聚点.证明证毕.推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.三有限覆盖定理

定义设S为实数点集,H为开区间的集合,(即H的每一个

元素都是形如的开区间).若S中任何一点都含在至少一个H的开区间内,即对任意存在则称H为S的一个开覆盖,或简称S的覆盖H.使若H中开区间的个数是无限(有限)的,则称H为S的一个

无限(有限)开覆盖.定理2(Heine-Borele

有限覆盖定理)设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖,则从H中可

选出有限个开区间来覆盖[a,b].证明§2闭区间上连续函数性质的证明一、有界性定理定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界.证明:(1)(应用有限覆盖定理)由连续函数的局部有界性,对任意x′[a,b],存在偏邻域及正数使得考虑开区间集合显然H是[a,b]的一个无限开覆盖,由有限覆盖定理,存在H的有限子覆盖:也覆盖了[a,b],且存在正数使对一切有令,则对任意x[a,b],有即f(x)在[a,b]上有界.证明(2)(应用致密性定理)若f(x)在[a,b]上无界,则对任意正整数n,存在xn

[a,b],使f(x)>n.从而存在数列{xn}

[a,b]由致密性定理,存在收敛子列设则,由f(x)在[a,b]上连续可知f(x0)有限,另一方面由于矛盾.二最大最小值定理证明:(应用确界原理)由于已证明f(x)在[a,b]上有界,由令定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值与最小值.确界原理,f([a,b])有上确界.记上确界为M,下面证明存在

[a,b],使f()=M.若不然,不妨设对一切x[a,b],有f(x)<M,则g(x)在[a,b]上连续,从而g(x)在[a,b]上有上界,设G是g(x)在从而有[a,b]上的一个上界,即这与M是f(x)在[a,b]上的上确界矛盾,故存在

[a,b],使f()=M.三介值定理定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且若为介于f(a)与f(b)之间的任意值,则存在使证明:(1)(应用确界原理)不妨设f(a)<<f(b),令则g(x)也在闭区间[a,b]上连续,且g(a)<0,g(b)>0,从而所证结论转化为证明存在使记显然E为非空有界数集,(E[a,b]且bE),由确界原理,E有下确界,记x0=infE,由g(a)<0,g(b)>0,根据连续函数的局部保号性定理,存在>0,在[a,a+)上,g(x)<0,在(b-,b]上g(x)>0,所以下证g(x0)=0,若不然,不妨设g(x0)>0,再由局部保号性定理,存在对任意特别地由这与x0=infE矛盾.所以必有g(x0)=0.证明(2)(应用区间套定理)前一部分证明同(1),即证明:若再从区间[a1,b1]出发,重复以上过程,得到:或者在[a1,b1]的中g(x)在闭区间[a,b]上连续,且g(a)<0,g(b)>0,则存在使将[a,b]等分为两个小区间[a,c]和[c,b],若g(c)=0,则c为所求,若g(c)0,则当g(c)>0时,记[a1,b1]=[a,c],当g(c)<0时,记[a1,b1]=[c,b],于是有g(a1)<0,g(b1)>0,且[a1,b1][a,b],和将以上过程重复下去,可能出现两种情形:满足:g(an)<0,g(bn)>0以及点c1上有g(c1)=0,或者有区间[a2,b2],满足:g(a2)<0,g(b2)>0,且(1)存在某一区间的中点ci,有g(ci)=0,则ci为所求;(2)在任一区间的中点ci,有g(ci)

0,则得到一个闭区间列由区间套定理,存在下证g(x0)=0.若g(x0)

0,不妨设g(x0)>0,由连续函数的局部保号性,存在在其内有g(x)>0,由区间套定理的推论,当n充分大时有因而有g(an)>0,这与g(an)<0矛盾,故必有g(x0)=0.四

一致连续性定理定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间[a,b]上一致连续.证明

(应用有限覆盖定理