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第七章多元函数微分学

第七节偏导数的几何应用11.设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面2考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以3曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.4法平面：过M点且与切线垂直的平面.5解切线方程法平面方程62.空间曲线方程为法平面方程为例273.空间曲线方程为8也可直接用求导公式：9切线方程为法平面方程为10方法21112所求切线方程为法平面方程为1314所求切线方程为法平面方程为151.设曲面方程为二、曲面的切平面与法线引理16曲线在M0处的切向量证设M0(x0,y0,z0)为曲面上一定点，在曲面上任取一条通过点M0的曲线1718可见1920法线方程为由前面的讨论可知曲面在M处的法向量即所以切平面方程为21解令切平面方程法线方程222.空间曲面方程为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令23其中24解切平面方程为法线方程为25解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得26因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)27曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于90度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。例7证明对任意常数，球面与锥面是正交的。28即证明球面的法线方向数为锥面的法线方向数为在两曲面交线上的任一点处，两法向量的内积因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面与锥面正交。29解设

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