量子力学初步

量子力学初步3.1波粒二象性及实验验证1。经典物理中的波和粒子波和粒子是两种仅有的、又完全不同的能量传播方式。在经典物理中，无法同时用波和粒子这两个概念去描述同一现象。粒子可视为质点，具有完全的定域性，其位置、动量可精确测定。波具有空间扩展性，其特征量为波长和频率，也可精确测定。第2页,共63页，2024年2月25日，星期天波长测定的一个方法：“拍频法”

已知v1，测定即可测定v2，但至少观察到一个拍，至少需要时间：在该段时间波行路程：

要无限精确地测准波长，就必须在无限扩展的空间中进行观察。如果波被禁闭呢？第3页,共63页，2024年2月25日，星期天2.光的波粒二象性

1923年，康普顿散射，再一次体现了光在传播中显示波动性，在能量转移时显示粒子性的二象性特征。3.德布罗意波粒二象性假设

“整个世纪以来，在辐射理论上，比起关注波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物粒子理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于‘粒子’的图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？”1672年，牛顿，光的微粒说1678年，惠更斯，光的波动说19世纪末，麦克斯韦，光是一种电磁波1905年，爱因斯坦，光量子

------光的波粒二象性

第4页,共63页，2024年2月25日，星期天法国物理学家德布罗意（LouisVictordeBroglie1892–1987)

德布罗意指出任何物体都伴随以波，不可能将物体的运动和波的传播分拆开来。这种波称德布罗意物质波。德布罗意还给出了动量的为P的粒子所伴随波的波长

λ与P的关系式，另外自由粒子的能量和所伴随的波的频率之间的关系为。。。著名的德布罗意关系式。（1924年）第5页,共63页，2024年2月25日，星期天

例在一束电子中，电子的动能为，求此电子的德布罗意波长？解此波长的数量级与X射线波长的数量级相当.第6页,共63页，2024年2月25日，星期天1）关于实验方法和观察条件：利用波的干涉和衍射等特征仪器特征线度（障碍物和孔、缝的尺度）静质量愈小，波长愈大，容易满足条件。晶体原子间距4.德布罗意假设的实验验证波动性隐匿波动性显现1924年deBroglie提出用晶体作光栅观察电子束衍射第7页,共63页，2024年2月25日，星期天2）戴维孙－革末实验（1927年）干涉相长条件Ni单晶电子束检测器散射强度电子的物质波经各晶体原子散射后发生干涉理论值第8页,共63页，2024年2月25日，星期天3）汤姆孙实验（1927年）多晶金属箔电子束衍射图样与X光多晶衍射图样相同1961年Jönsson实验观察到电子的多缝干涉中子、质子、原子和分子的波动性相继被验证X射线第9页,共63页，2024年2月25日，星期天单电子双缝实验现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝7个电子在观察屏上的图像100个电子在屏上的图像屏上出现的电子说明电子的粒子性30002000070000随电子数目增多,在屏上逐渐形成了衍射图样说明“一个电子”就具有的波动性第10页,共63页，2024年2月25日，星期天例：m=0.01kgv=300m/s的子弹h太小了使得宏观物体的波长小得难以测量宏观物体只表现出粒子性波粒二象性是普遍的结论:宏观粒子也具有波动性

m大

0或说h

®0

量子物理过渡到经典物理第11页,共63页，2024年2月25日，星期天forhisdiscoveryofthewavenatureofelectronsTheNobelPrizeinPhysics1929L.deBroglie(1892-1987)fortheirexperimentaldiscoveryofthediffractionofelectronsbycrystalsTheNobelPrizeinPhysics1937C.Davisson(1881-1958)G.P.Thomson(1892-1975)第12页,共63页，2024年2月25日，星期天3.2测不准关系电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)第13页,共63页，2024年2月25日，星期天大部分电子落在中央明纹x方向上，粒子坐标的不确定度为又粒子动量的不确定度为

电子以速度

沿着y轴射向A屏，其波长为，经过狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：考虑更高衍射级次

第14页,共63页，2024年2月25日，星期天狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。

海森堡（Heisenberg）在1927年从理论上得到：第15页,共63页，2024年2月25日，星期天第1个式子说明:粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置和相应的动量(坐标-动量测不准关系）第2个式子说明:粒子在客观上不能同时在确定的时间具有相应确定的能量（时间-能量测不准关系）1901-1976，量子力学创立者之一，1932年诺贝尔物理学奖

第16页,共63页，2024年2月25日，星期天例1设电子与的子弹均沿x方向运动，精确度为，求测定x

坐标所能达到的最大准确度。电子：子弹：例2原子的线度约为10-10m

，求原子中电子速度的不确定量。原子中电子的位置不确定量10-10m，由不确定关系 氢原子中电子速率约为106m/s。因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。第17页,共63页，2024年2月25日，星期天3.3波函数及其物理意义实物粒子的德布罗意波用波函数表示：1.波函数2.玻恩（M.Born）统计解释光子在某处出现的几率和该处光振幅的平方成正比关于光的干涉极大的解释波动说：干涉极大的地方，光的强度有极大值，而强度与振幅的平方成正比。粒子说：光强与来到该处的光子数成正比。统一于光子数N

I

E02

I大，光子出现几率大I小，光子出现几率小

第18页,共63页，2024年2月25日，星期天波函数的玻恩（M.Born）统计解释：

表示t时刻，（x，y，z）处单位体积内发现粒子的几率。称为几率密度。经典波函数:

可测，有直接物理意义(2)

和c

不同

(1)

不可测，无直接物理意义，|

|2才可测，且有物理意义；(2)

和c

描述相同的概率分布(c是常数)。物质波波函数：比较第19页,共63页，2024年2月25日，星期天第20页,共63页，2024年2月25日，星期天电子的状态用波函数

描述只开上缝时电子有一定的几率通过上缝其状态用

1

描述只开下缝时电子有一定的几率通过下缝其状态用

2描述

用电子双缝衍射实验说明几率波的含义双缝齐开时电子可通过上缝也可通过下缝通过上下缝各有一定的几率总几率振幅总几率密度干涉项出现干涉第21页,共63页，2024年2月25日，星期天3、波函数需要满足的条件1).波函数的单值、有限性、连续以上要求称为波函数的标准化条件因为，粒子的几率在任何地方只能有一个值；不可能无限大；不可能在某处发生突变。根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到粒子的几率必须为单值、有限、连续的第22页,共63页，2024年2月25日，星期天2).波函数的归一性若……归一化因子TheNobelPrizeinPhysics1954(sharedwithW.Bothe)forhisfundamentalresearchinquantummechanics,especiallyforhis

statisticalinterpretationofthewavefunctionM.Born(1882-1970)

第23页,共63页，2024年2月25日，星期天deBroglie波的存在虽然已被证实，但还缺少一个描述它存在于时空中的波动方程.1926年,E.Schrödinger创立波动力学，其核心就是今天众所周知的薛定谔方程，它在量子力学中的地位和作用相当于牛顿力学中的牛顿方程，它描述了量子系统状态的演化规律。3.4薛定谔方程一般形式的薛定谔方程:E.Schrödinger(1887-1961)1933年与狄拉克分享诺奖第24页,共63页，2024年2月25日，星期天如果势场不显含时间t,即V=V(r),则可分离变量:则可得定态薛定谔方程波函数具有形式（定态波函数）:

一般说来该方程不是对任意的E(能量)值才有解，只对一系列特定、分立值才有解，故这些特定的E值可以用整数n编序成En，表明能量是量子化的。可见能量量子化自然蕴含在薛定谔方程中。第25页,共63页，2024年2月25日，星期天U→∞x

无限深势阱（potentialwell）例1一维无限深势阱中运动粒子的能量和波函数在势阱内:受力为零,自由运动,势能为零在势阱外:势能为无穷大第26页,共63页，2024年2月25日，星期天在势阱内(0<x<d),定态薛定谔方程(能量本征方程)可以写m是粒子质量,E>0,令方程化为它类似于谐振方程,其一般解是式中A和B为待定常数。在势阱外(x≤0,x≥a)由于势壁无限高，从物理上考虑，粒子是不会出现在该区域内的。按照波函数的标准条件(连续性条件)，阱壁上和阱外的波函数应为零。第27页,共63页，2024年2月25日，星期天，(？)表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。根据波函数的标准条件，波函数应连续，

时，当第28页,共63页，2024年2月25日，星期天波函数的归一化：

能量是量子化的

22hEanKmp==最低能量不为零n趋于无穷时能量趋于连续第29页,共63页，2024年2月25日，星期天一维无限深方势阱中粒子的波函数和几率密度oaao第30页,共63页，2024年2月25日，星期天例2、

隧道效应及势垒贯穿势垒0aU0ⅠⅡ

ⅢⅢ区U(x)=0x≥aⅠ区U(x)=0x≤

0Ⅱ区U(x)=U00≤x≤

aEⅠⅢ经典：粒子动能E<U0时，粒子不能越过势垒Ⅱ区而到达Ⅲ区。或者说，在Ⅱ、Ⅲ区域发现粒子的几率为零。

粒子动能E〉U0时，粒子全部进入Ⅲ区域。第31页,共63页，2024年2月25日，星期天0a

ⅠⅡⅢEEΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区Ψ3隧道效应波穿过势垒后,将以平面波的形式继续前进()量子力学结果：

第32页,共63页，2024年2月25日，星期天讨论(1)E>U0,

R≠0,即粒子总能量大于势垒高度，入射粒子也并非全部透射进入III

区,仍有一定概率被反射回I

区。0a

U0ⅠⅡ

ⅢE第33页,共63页，2024年2月25日，星期天(2)E<U0

,

T≠0,即粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入III区—

隧道效应，它是粒子波动性的表现。透射系数T

随势垒宽度a、粒子质量m

和能量差变化，随着势垒的加宽、加高，透射系数减小。

第34页,共63页，2024年2月25日，星期天粒子类型粒子能量势垒高度势垒宽度透射系数电子1eV2eV1eV2eV1eV2eV2×10-10m5×10-10m0.0242×10-10m0.51质子3×10-38穿透系数会非常的小，势垒宽度、高度达到一定程度时，此时量子概念过渡到经典物理范围第35页,共63页，2024年2月25日，星期天隧道效应的应用：量子力学隧道效应是许多物理现象和物理器件的核心，如隧道二极管、超导Josophson结、α衰变现象.某些质子转移反应也与隧道效应有关.

(1)原子核的α衰变核内α粒子在核力作用下，处于很低负势阱中的某一能级上。在核外核力为零(短程力)，仅受库仑静电斥力作用，在核边界上形成很高的势垒。rRU35MeV4.25MeV

0UTh+He2382344理论及实验证明

粒子通过隧道效应出来的第36页,共63页，2024年2月25日，星期天（2.）扫描隧道显微镜（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）1986年荣获诺贝尔奖的扫描隧穿显微镜利用了隧道效应。电子利用隧穿本领从探针越过势垒到达待测材料表面，形成隧道电流，记录这种电流可以获得表面状态的信息隧道电流id探针样品ABUSTM结构原理示意图隧道电流I与样品和针尖间的距离d关系敏感

A—常量，U—样品与针尖间的微小电压，—样品表面平均势垒高度第37页,共63页，2024年2月25日，星期天隧道扫描显微镜图象处理系统扫描探针d变

i变反映表面情况第38页,共63页，2024年2月25日，星期天第39页,共63页，2024年2月25日，星期天1993年5月IBM的科学家M.Crommie等在液氮温度用电子束将单层的Fe原子蒸发到Cu(111)表面，然后用STM针尖将48个铁原子排成圆圈，铁原子间距：9.5Å圆圈平均半径：71.3Å·圆圈由分立的铁原子组成而不连续，却能围住圈内处于铜表面的电子，故称作量子围栏(quantumcorral)

第40页,共63页，2024年2月25日，星期天势函数

m—

振子质量，

—

固有频率，x—

位移薛定谔方程：n=0,1,2,…例3一维谐振子解为：

第41页,共63页，2024年2月25日，星期天能量量子化普朗克量子化假设

En=nhvE0=0量子力学结果

En=(n+1/2)hvE0=hv/2零点能讨论室温下分子热运动动能kT

E>>kT宏观振子的能量相应的

n～1025

E～10-33J能量取连续值！对应原理能量间隔：第42页,共63页，2024年2月25日，星期天线性谐振子波函数线性谐振子位置几率密度第43页,共63页，2024年2月25日，星期天1.氢原子的定态薛定谔方程氢原子中电子的电势能

U和方向无关，为中心力场U(r)

3.5氢原子的量子力学处理球坐标的定态薛定谔方程第44页,共63页，2024年2月25日，星期天2.能量量子化采用分离变量的方法可解得原子的能量为主量子数——主量子数n和能量有关

n=1，2，3，……设波函数形式为第45页,共63页，2024年2月25日，星期天3.角动量量子化原子中电子的轨道角动量大小为4.角动量的空间量子化

解方程得出电子的轨道角动量在Z方向的分量是磁量子数ml——决定轨道角动量在Z方向投影对同一个l

角动量Z方向分量可能有2l+1个不同值角量子数l——决定电子的轨道角动量的大小第46页,共63页，2024年2月25日，星期天l=2对z轴旋转对称例：Lz0z角动量大小为Z方向分量有5种取值磁量子数有5种取值即角动量在z轴上仅能取分立的5种取值第47页,共63页，2024年2月25日，星期天本征波函数径向角向电子在（n,l,ml）态下在空间

()处出现的概率密度是5.电子的概率分布角向波函数主量子数

n=1，2，3，……角量子数磁量子数第48页,共63页，2024年2月25日，星期天径向概率密度：（1）径向分布在r——的球壳内找到电子的概率第49页,共63页，2024年2月25日，星期天第50页,共63页，2024年2月25日，星期天第51页,共63页，2024年2月25日，星期天（2）角分布角向几率密度：角向几率与φ角无关，即几率函数为绕z轴旋转对称。第52页,共63页，2024年2月25日，星期天几率分布图：S态电子:()第53页,共63页，2024年2月25日，星期天P态电子（）：第54页,共63页，2024年2月25日，星期天d态电子（l=2）：第55页,共63页，2024年2月25日，星期天f态电子（l=3）：第56页,共63页，2024年2月25日，星期天按量子力学计算的结果，原子中的电子并不是沿着一定轨道运动，而是按一定的几率分布在原子核周围而被发现，人们形象地将这个几率分布叫做“几率云”。有时还将电子电荷在原子内的几率分布称为“电子云”。因此只要给出氢原子定态波函数

的具体形式，就可计算在此状态下的几率云密度