湖南省益阳市南县第二中学高三数学文下学期期末试卷含解析

湖南省益阳市南县第二中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数为奇函数，则实数a的值为（）A.2 B.－2 C.1 D.－1参考答案：B【分析】根据函数为奇函数，求得当时的解析式，与已知的解析式对应即可得到结果.【详解】为奇函数

当时，

又时，

本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.2.“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．【解答】解：∵“x＜﹣1”?“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”?“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用．3.在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A由题意，当，函数为单调递减函数，若时，函数与的零点，且函数在上为单调递减函数；若时，函数与的零点，且函数在上为单调递增函数.综上得，正确答案为A.

4.已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数＝的图象的一条对称轴是直线(

)

参考答案：D略5.在四面体ABCD中，且，，AB，CD所成的角为30°，，，，则四面体ABCD的体积为(

)A.8 B.6 C.7 D.5参考答案：D【分析】先求出的面积，再求出点到面的距离，然后结合棱锥体积公式求解即可.【详解】解：由题意，如图所示，，，过点作的平行线，则平面，且为30°或150°，从点向作垂线，垂足为，易证平面.则点到平面的距离，，则四面体的体积为.故选：D.【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，重点考查了运算能力，属中档题.6.复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（

）A.－1 B.1 C.i D.－i参考答案：A【分析】根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】虚部为-1，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.7.某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生名，抽取了一个容量为的样本，已知样本中女生比男生少人，则该校共有女生A．人

B．人

C．人

D．人参考答案：D8.要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：A略9.已知函数,，若对任意的,存在实数a,b满足，使得，则k的最大值为(

)A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：B当时，作函数与的图象，，对，存在实数满足，使得成立，正确；当时，作函数与的图象，，对，存在实数满足，使得成立，正确；当时，作函数与的图象，，对，存在实数满足，使得成立，正确；当时，作函数与的图象，，不存在实数满足，使得成立，的最大值为，故选B.10.若（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：=，则z的共轭复数为：i．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，且，共线，则向量在方向上的投影为__________．参考答案：－5【分析】根据向量共线求得；再利用求得结果.【详解】由与共线得：，解得：向量在方向上的投影为：本题正确结果：【点睛】本题考查向量共线定理、向量在方向上的投影的求解问题，属于基础题.12.已知直线和的夹角为，则的值为

.参考答案：或13.如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则.参考答案：14.（5分）（2013?乐山二模）已知数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj﹣ai两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则a1=0；④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2．其中真命题有

．参考答案：②③④①中取1和3两个元素验证，发现不正确；②显然满足题意；③若数列A具有性质P，则a1=0，所以对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj﹣ai两数中至少有一个是该数列中的一项．④数列是等差数列，经验证满足题意；故答案为：②③④．15.已知，则

．参考答案：3

略16.已知正项等比数列{an}的公比q=2，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式；等比数列的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】正项等比数列{an}的公比q=2，由于存在两项am，an，使得=4a1，可得=4a1，化为m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正项等比数列{an}的公比q=2，∵存在两项am，an，使得=4a1，∴=4a1，∵a1≠0，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．则+=（m+n）（）==，当且仅当n=2m=4时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．17.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1、F2,这两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形。若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,则e1·e2的取值范围为

。参考答案：【知识点】单元综合H10设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．

由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，

∴2c＜10，2c+2c＞10，?．?1＜＜4，

∴e2=；

e1=．

∴e1?e2==。【思路点拨】设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1?e2的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14）设函数.（I）判断函数的单调性；（II）当对于上恒成立时，求的取值范围；（III）若，且，证明：参考答案：（1）当，，在上是增函数；当时，；在上是增函数，在上是减函数。（4分）（2）对于上恒成立由（1）知：时，舍。当时，，故的取值范围是。（8分）（3）由（2）知：时，，有，有：令，代入上式所以.（14分）19.已知.（1）当时，求证：；（2）若有三个零点时，求a的范围.参考答案：（1）证明：，令，，，，在上单调递减，，所以原命题成立.（2）由有三个零点可得有三个零点，，①当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；③当时，记得两个零点为，，不妨设，且，时，；时，；时，观察可得，且，当时，；单调递增，所以有，即，时，，单调递减，时，单调递减，由（1）知，，且，所以在上有一个零点，由，且，所以在上有一个零点，综上可知有三个零点，即有三个零点，所求的范围是.

20.（本题14分）已知函数，是的一个极值点．

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）若直线和此函数的图象相切，求的值；参考答案：略21.（本小题满分12分）是否存在∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－)＝，同时成立？若存在，求出，β的值；若不存在，请说明理由．参考答案：假设存在使得等式成立，即有:由诱导公式可得:22.（本题满分14分）