湖北省武汉市江汉区常青第一校2023-2024学年中考数学五模试卷含解析

湖北省武汉市江汉区常青第一校2023-2024学年中考数学五模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．对于反比例函数y=﹣2xA．图象分布在第二、四象限B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．图象经过点（1，﹣2）D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y22．在平面直角坐标系中，将点P（4，﹣3）绕原点旋转90°得到P1，则P1的坐标为（）A．（﹣3，﹣4）或（3，4） B．（﹣4，﹣3）C．（﹣4，﹣3）或（4，3） D．（﹣3，﹣4）3．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A． B． C．12 D．244．如图，点E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，则下列条件中不能判定AD∥BE的是（）A． B． C． D．5．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A、B的坐标分别为（，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为（）A． B． C． D．6．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．. B．. C． D．.7．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（）A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB8．下列各点中，在二次函数的图象上的是（）A． B． C． D．9．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是()A．15° B．22.5° C．30° D．45°10．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（）A． B． C． D．11．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（）A．① B．② C．③ D．④12．下列命题中错误的有（）个（1）等腰三角形的两个底角相等（2）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（3）对角线相等的四边形为矩形（4）圆的切线垂直于半径（5）平分弦的直径垂直于弦A．1B．2C．3D．4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC=1．点E为BC边上一动点，连接AE，作∠AEF=∠B，EF与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F．当EF⊥AC时，EF的长为_______．14．方程3x2﹣5x+2=0的一个根是a，则6a2﹣10a+2=_____．15．计算：2（a－b）＋3b＝___________．16．如下图，在直径AB的半圆O中，弦AC、BD相交于点E，EC＝2，BE＝1．则cos∠BEC＝________．17．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是____．18．如图，直线y＝kx与双曲线y＝(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，点P是⊙O外一点，请你用尺规画出一条直线PA，使得其与⊙O相切于点A，（不写作法，保留作图痕迹）20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，在四边形中，为的中点，于点，，，，求的度数．22．（8分）如图1，正方形ABCD的边长为8，动点E从点D出发，在线段DC上运动，同时点F从点B出发，以相同的速度沿射线AB方向运动，当点E运动到终点C时，点F也停止运动，连接AE交对角线BD于点N，连接EF交BC于点M，连接AM．（参考数据：sin15°=，cos15°=，tan15°=2﹣）（1）在点E、F运动过程中，判断EF与BD的位置关系，并说明理由；（2）在点E、F运动过程中，①判断AE与AM的数量关系，并说明理由；②△AEM能为等边三角形吗？若能，求出DE的长度；若不能，请说明理由；（3）如图2，连接NF，在点E、F运动过程中，△ANF的面积是否变化，若不变，求出它的面积；若变化，请说明理由．23．（8分）综合与实践：概念理解：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，旋转角记为θ（0°≤θ≤90°），并使各边长变为原来的n倍，得到△AB′C′，如图，我们将这种变换记为［θ，n］，：．问题解决：（2）如图，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换［θ，n］得到△AB′C′，使点B，C，C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ和n的值．拓广探索：（3）在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=90°，对△ABC作变换得到△AB′C′，则四边形ABB′C′为正方形24．（10分）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．求k和n的值；若点C（x，y）也在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．25．（10分）今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．（1）求B点到直线CA的距离；（2）执法船从A到D航行了多少海里？（结果保留根号）26．（12分）某化妆品店老板到厂家选购A、B两种品牌的化妆品，若购进A品牌的化妆品5套，B品牌的化妆品6套，需要950元；若购进A品牌的化妆品3套，B品牌的化妆品2套，需要450元．（1）求A、B两种品牌的化妆品每套进价分别为多少元？（2）若销售1套A品牌的化妆品可获利30元，销售1套B品牌的化妆品可获利20元；根据市场需求，店老板决定购进这两种品牌化妆品共50套，且进货价钱不超过4000元，应如何选择进货方案，才能使卖出全部化妆品后获得最大利润，最大利润是多少？27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=6，OC=4，以OA，OC为邻边作矩形OABC，动点M，N以每秒1个单位长度的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）直接写出点B的坐标为，直线OB的函数表达式为;（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式；并求t为何值时，S有最大值，并求出最大值．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解析】

根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A.k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B.k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C.∵-2D.若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0<x2,则y2<y1，故本选项错误.故选:D.【点睛】考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.2、A【解析】

分顺时针旋转，逆时针旋转两种情形求解即可.【详解】解：如图,分两种情形旋转可得P′(3,4),P″(−3,−4)，故选A.【点睛】本题考查坐标与图形变换——旋转，解题的关键是利用空间想象能力.3、A【解析】

解：如图，设对角线相交于点O，∵AC=8，DB=6，∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3，由勾股定理的，AB===5，∵DH⊥AB，∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD，即5DH=×8×6，解得DH=．故选A．【点睛】本题考查菱形的性质．4、A【解析】

利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】∵∠1=∠2，∴AB∥CD，选项A符合题意；∵∠3=∠4，∴AD∥BC，选项B不合题意；∵∠D=∠5，∴AD∥BC，选项C不合题意；∵∠B+∠BAD=180°，∴AD∥BC，选项D不合题意，故选A．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．5、B【解析】

连接OO′，作O′H⊥OA于H．只要证明△OO′A是等边三角形即可解决问题.【详解】连接OO′，作O′H⊥OA于H，在Rt△AOB中，∵tan∠BAO==，∴∠BAO=30°，由翻折可知，∠BAO′=30°，∴∠OAO′=60°，∵AO=AO′，∴△AOO′是等边三角形，∵O′H⊥OA，∴OH=，∴OH′=OH=，∴O′（，），

故选B．【点睛】本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是发现特殊三角形，利用特殊三角形解决问题．6、A【解析】

根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．【详解】由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．7、D【解析】

解：连接EO.∴∠B=∠OEB，∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，∴∠B+∠D=3∠D，∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，∴∠DOE=∠D，∴ED=EO=OB，故选D.8、D【解析】

将各选项的点逐一代入即可判断．【详解】解：当x=1时，y=-1，故点不在二次函数的图象；当x=2时，y=-4，故点和点不在二次函数的图象；当x=-2时，y=-4，故点在二次函数的图象；故答案为：D．【点睛】本题考查了判断一个点是否在二次函数图象上，解题的关键是将点代入函数解析式．9、A【解析】试题分析：如图，过A点作AB∥a，∴∠1=∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故选A．考点：平行线的性质．10、A【解析】

此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：，解得：a=1，经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A.11、A【解析】

根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．【详解】解：原几何体的主视图是：．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，左侧的图形只需要两个正方体叠加即可．故取走的正方体是①．故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图,中等难度,作出几何体的主视图是解题关键.12、D【解析】分析：根据等腰三角形的性质、正方形的判定定理、矩形的判定定理、切线的性质、垂径定理判断即可．详解：等腰三角形的两个底角相等，（1）正确；对角线相等、互相平分且互相垂直的四边形是正方形，（2）错误；对角线相等的平行四边形为矩形，（3）错误；圆的切线垂直于过切点的半径，（4）错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，（5）错误．故选D．点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1+【解析】

当AB=AC，∠AEF=∠B时，∠AEF=∠ACB，当EF⊥AC时，∠ACB+∠CEF=90°=∠AEF+∠CEF，即可得到AE⊥BC，依据Rt△CFG≌Rt△CFH，可得CH=CG=，再根据勾股定理即可得到EF的长．【详解】解：如图，当AB=AC，∠AEF=∠B时，∠AEF=∠ACB，当EF⊥AC时，∠ACB+∠CEF=90°=∠AEF+∠CEF，∴AE⊥BC，∴CE=BC=2，又∵AC=2，∴AE=1，EG==，∴CG==，作FH⊥CD于H，∵CF平分∠ACD，∴FG=FH，而CF=CF，∴Rt△CFG≌Rt△CFH，∴CH=CG=，设EF=x，则HF=GF=x-，∵Rt△EFH中，EH2+FH2=EF2，∴（2+）2+（x-）2=x2，解得x=1+，故答案为1+．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．14、-1【解析】

根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程3x1-5x+1=0，列出关于a的一元二次方程，通过变形求得3a1-5a的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．【详解】解：∵方程3x1-5x+1=0的一个根是a，∴3a1-5a+1=0，∴3a1-5a=-1，∴6a1-10a+1=1（3a1-5a）+1=-1×1+1=-1．故答案是：-1．【点睛】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．15、2a+b．【解析】

先去括号，再合并同类项即可得出答案．【详解】原式=2a-2b+3b=2a+b．故答案为：2a+b．16、【解析】分析：连接BC，则∠BCE＝90°，由余弦的定义求解.详解：连接BC，根据圆周角定理得，∠BCE＝90°，所以cos∠BEC＝.故答案为.点睛：本题考查了圆周角定理的余弦的定义，求一个锐角的余弦时，需要把这个锐角放到直角三角形中，再根据余弦的定义求解，而圆中直径所对的圆周角是直角.17、1．【解析】寻找规律：上面是1，2，3，4，…，；左下是1，4=22，9=32，16=42，…，；右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方：（4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，…∴a=（36－6）2=1．18、1【解析】解：∵直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），∴a=1，k=1．故答案为1．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、答案见解析【解析】

连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点K，以点K为圆心OK为半径作⊙K交⊙O于点A，A′，作直线PA，PA′，直线PA，PA′即为所求．【详解】解：连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点K，以点K为圆心OK为半径作⊙K交⊙O于点A，A′，作直线PA，PA′，直线PA，PA′即为所求．【点睛】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20、（1）y=－x2－2x＋1，C（1，0）（2）当t=-2时，线段PE的长度有最大值1，此时P（－2，6）（2）存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．所求Q点的坐标为（，2）或（，2）或（，2）或（，2）【解析】解：（1）∵直线y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－1，0），B（0，1）．∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，∴，解得．∴抛物线解析式为y=－x2－2x＋1．令y=0，得－x2－2x＋1=0，解得x1=－1，x2=1，∴C（1，0）．（2）如图1，设D（t，0）．∵OA=OB，∴∠BAO=15°．∴E（t，t＋1），P（t，－t2－2t＋1）．PE=yP－yE=－t2－2t＋1－t－1=－t2－1t=－（t+2）2+1．∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值1，此时P（－2，6）．（2）存在．如图2，过N点作NH⊥x轴于点H．设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=15°．∴NH=AH=1－m，∴yQ=1－m．又M为OA中点，∴MH=2－m．当△MON为等腰三角形时：①若MN=ON，则H为底边OM的中点，∴m=1，∴yQ=1－m=2．由－xQ2－2xQ＋1=2，解得．∴点Q坐标为（，2）或（，2）．②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，根据勾股定理得：MN2=NH2＋MH2，即22=（1－m）2＋（2－m）2，化简得m2－6m＋8=0，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．∴yQ=2，由－xQ2－2xQ＋1=2，解得．∴点Q坐标为（，2）或（，2）．③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，根据勾股定理得：ON2=NH2＋OH2，即22=（1－m）2＋m2，化简得m2－1m＋6=0，∵△=－8＜0，∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．所求Q点的坐标为（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标．（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值．（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标．“△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解．21、【解析】

连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【详解】连接，∵为的中点，于点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．22、（1）EF∥BD，见解析；（2）①AE=AM，理由见解析；②△AEM能为等边三角形，理由见解析；（3）△ANF的面积不变，理由见解析【解析】

（1）依据DE=BF，DE∥BF，可得到四边形DBFE是平行四边形，进而得出EF∥DB；（2）依据已知条件判定△ADE≌△ABM，即可得到AE=AM；②若△AEM是等边三角形，则∠EAM=60°，依据△ADE≌△ABM，可得∠DAE=∠BAM=15°，即可得到DE=16-8，即当DE=16−8时，△AEM是等边三角形；（3）设DE=x，过点N作NP⊥AB，反向延长PN交CD于点Q，则NQ⊥CD，依据△DEN∽△BNA，即可得出PN=，根据S△ANF=AF×PN=×（x+8）×=32，可得△ANF的面积不变．【详解】解:（1）EF∥BD．证明：∵动点E从点D出发，在线段DC上运动，同时点F从点B出发，以相同的速度沿射线AB方向运动，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形DBFE是平行四边形，∴EF∥DB；（2）①AE=AM．∵EF∥BD，∴∠F=∠ABD=45°，∴MB=BF=DE，∵正方形ABCD，∴∠ADC=∠ABC=90°，AB=AD，∴△ADE≌△ABM，∴AE=AM；②△AEM能为等边三角形．若△AEM是等边三角形，则∠EAM=60°，∵△ADE≌△ABM，∴∠DAE=∠BAM=15°，∵tan∠DAE=，AD=8，∴2﹣=，∴DE=16﹣8，即当DE=16﹣8时，△AEM是等边三角形；（3）△ANF的面积不变．设DE=x，过点N作NP⊥AB，反向延长PN交CD于点Q，则NQ⊥CD，∵CD∥AB，∴△DEN∽△BNA，∴=，∴，∴PN=，∴S△ANF=AF×PN=×（x+8）×=32，即△ANF的面积不变．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形以及相似三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例得出结论．23、（1）；（2）；（3）．【解析】

（1）根据定义可知△ABC∽△AB′C′，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可；（2）根据四边形是矩形，得出，进而得出，根据30°直角三角形的性质即可得出答案；（3）根据四边形ABB′C′为正方形，从而得出，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：（1）∵△AB′C′的边长变为了△ABC的n倍，∴△ABC∽△AB′C′，∴，故答案为：．（2）四边形是矩形，∴．．在中，，．．．（3）若四边形ABB′C′为正方形，则，，∴，∴，又∵在△ABC中，AB=，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了几何变换中的新定义问题，以及相似三角形的判定和性质，理解［θ，n］的意义是解题的关键．24、（1）n=1，k=1．（2）当2≤x≤1时，1≤y≤2．【解析】【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由k=1＞0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤1时，1≤y≤2．【详解】（1）当x=1时，n=﹣×1+4=1，∴点B的坐标为（1，1）．∵反比例函数y=过点B（1，1），∴k=1×1=1；（2）∵k=1＞0，∴当x＞0时，y随x值增大而减小，∴当2≤x≤1时，1≤y≤2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，用到了点在函数图象上，则点的坐标就适合所在函数图象的函数解析式，待定系数法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.25、（1）B点到直线CA的距离是75海里；（2）执法船从A到D航行了（75﹣25）海里．【解析】

（1）过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，根据三角函数可求BH的长；（2）根据勾股定理可求DH，在Rt△ABH中，根据三角函数可求AH，进一步得到AD的长．【详解】解：（1）过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，∵∠MBC＝60°，∴∠CBA＝30°，∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠BCA＝180°﹣∠BAC﹣