高中数学第二章平面向量复习课省公开课一等奖新名师获奖课件

平面向量1/59【网络体系】2/59【关键速填】1.五种常见向量(1)单位向量：模为__向量.(2)零向量：模为__向量.(3)平行(共线)向量：方向___________向量.(4)相等向量：模相等、方向_____向量(5)相反向量：模相等、方向_____向量10相同或相反相同相反3/592.两个主要定理(1)向量共线定理：向量________与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______.(2)平面向量基本定理：假如e1，e2是同一平面内两个___________，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使____________，其中e1，e2是一组基底.a(a≠0)b=λa不共线向量a=λ1e1+λ2e24/593.两个非零向量平行、垂直充要条件若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a=λb(λ≠0)⇔__________.(2)a⊥b⇔a·b=0⇔__________.x1y2-x2y1=0x1x2+y1y2=05/596/595.向量投影(1)向量a在b方向投影为__________________.(2)向量b在a方向投影为__________________.7/596.向量运算律(1)交换律：a+b=b+a，a·b=b·a.(2)结合律：a+b+c=(a+b)+c，a-b-c=a-(b+c)，(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).8/59(3)分配律：(λ+μ)a=________，λ(a+b)=________，(a+b)·c=a·c+b·c.(4)主要公式：(a+b)·(a-b)=_____，(a±b)2=____________.λa+μaλa+λba2-b2a2±2a·b+b29/59【易错提醒】1.相关向量注意点(1)零向量方向是任意.(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量.(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量.10/592.向量运算律中注意点(1)向量运算和实数运算有类似地方也有区分：对于一个向量等式，能够移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约).(2)向量“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).11/59类型一平面向量线性运算及应用【典例1】(1)化简：

(2)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).

①求3a+b-3c；②求满足a=mb+nc实数m，n.12/59【解析】(1)选D.

(2)由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8).①3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).②因为mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)，a=mb+nc，所以解得13/59【方法技巧】向量线性运算基本标准和求解策略(1)基本标准：向量加法、减法和数乘运算统称为向量线性运算.向量线性运算结果仍是一个向量，所以，对它们运算法则、运算律了解和利用要注意向量大小和方向两个方面.14/59(2)求解策略：①向量是一个有“形”几何量，所以在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量主要方法与技巧.②字符表示下线性运算惯用技巧首尾相接用加法三角形法则，如共起点两个向量作差用减法几何意义，如③平行向量(共线向量)、相等与相反向量、单位向量等，了解向量相关概念并进行恰当地应用.④注意常见结论应用.如△ABC中，点D是BC中点，则15/59【变式训练】(·秦皇岛高一检测)已知向量a=(6，4)，b=(0，2)，=a+λb，O为坐标原点，若点C在函数图象上，则实数λ值为________.16/59【解析】由题意得=(6，4)+λ(0，2)=(6，4+2λ)，故点C坐标为(6，4+2λ)，依据条件得4+2λ=sin

=1，解得.答案：

17/59【赔偿训练】(·广元高一检测)如图，已知用，表示，则等于(

)【解析】选C.

18/59类型二平面向量数量积运算【典例2】(1)△ABC外接圆半径为1，圆心为O，且则值为(

)

(2)(·湖北高考)已知向量则

=__________.19/59(3)(·北京高一检测)如图，正六边形ABCDEF边长为1，M，N分别是BC，DE上动点，且满足.①若M，N分别是BC，DE中点，求值；②求取值范围.20/5921/5922/59(3)①如图，以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系.因为多边形ABCDEF是边长为1正六边形，且M，N分别是BC，DE中点，所以所以23/5924/59【延伸探究】在典例(1)中，若则∠BAC大小是多少？【解析】由已知可得

由向量加法平行四边形法则可知，四边形OACB是四条边均为1平行四边形，故△OAC为等边三角形，∠OAC=2∠BAC=60°，所以∠BAC=30°.25/59【方法技巧】向量数量积求解策略(1)利用数量积定义、运算律求解：在数量积运算律中，有两个形似实数完全平方和(差)公式在解题中应用较为广泛，即(a+b)2=a2+2a·b+b2，(a-b)2=a2-2a·b+b2，上述两公式以及(a+b)·(a-b)=a2-b2这一类似于实数平方差公式在解题过程中能够直接应用.26/59(2)借助零向量：即借助“围成一个封闭图形且首尾相接向量和为零向量”，再合理使用向量移项以及平方等变形，求解数量积.(3)借助平行向量与垂直向量：即借助向量拆分，将待求数量积转化为有垂直条件关系或平行向量关系向量数量积，借助a⊥b，则a·b=0等处理问题.(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积.27/59【变式训练】如图所表示，P为△AOB所在平面内一点，向量且P在线段AB垂直平分线上，向量若|a|=3，|b|=2，则c·(a-b)值为(

)A.5

B.3

C.

D.28/59【解析】选C.设AB中点为D，29/59【赔偿训练】如图所表示，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a线段PQ以点A为中点，问：夹角θ取何值时，值最大？并求出这个最大值.30/59【解题指南】解答本题关键是要结合图形，利用向量三角形法则找出向量之间关系；或建立适当坐标系，利用向量坐标形式来解答.31/59【解析】以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.设B(b，0)，C(0，c)，所以b2+c2=a2.设P点坐标为(x，y)，则Q点坐标为(-x，-y)，且x2+y2=a2，则=(x-b，y)，=(-x，-y-c).

32/59又而所以所以当cosθ=1时，有最大值0，即当θ=0°(即方向相同)时，最大，最大值为0.33/59类型三平面向量平行与垂直问题【典例3】(1)已知向量a=(1，2)，b=(1，0)，c=(3，4).若λ为实数，(a+λb)∥c，则λ=(

)A.

B.

C.1

D.2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知若∠ABO=90°，则实数t值为________.34/59(3)已知平面内A，B，C三点共线，O为原点，且求实数m，n值.35/59【解析】(1)选B.因为向量a=(1，2)，b=(1，0)，可得a+λb=(1+λ，2)，由(a+λb)∥c得(1+λ)×4-3×2=0，所以λ=

.(2)因为∠ABO=90°，易知所以即3×2+2(2-t)=0，所以t=5.答案：536/59(3)因为A，B，C三点共线，所以

37/59【延伸探究】在典例(1)条件下，是否存在非零常数λ，使a+λb与a-λc平行，若平行，是同向还是反向？【解析】因为a+λb=(1+λ，2)，a-λc=(1-3λ，2-4λ)，若a+λb与a-λc平行，则(1+λ)(2-4λ)-2(1-3λ)=0.解得λ=1.所以a+λb=(2，2)，a-λc=(-2，-2)，a+λb与a-λc反向.即存在λ=1使a+λb与a-λc平行且反向.38/59【方法技巧】1.证实共线问题惯用方法(1)向量a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b=λa.(2)向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)共线⇔x1y2-x2y1=0.(3)向量a与b共线⇔|a·b|=|a||b|.(4)向量a与b共线⇔存在不全为零实数λ1，λ2，使λ1a+λ2b=0.39/592.证实平面向量垂直问题惯用方法a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0，其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2).40/59【变式训练】(1)已知向量a=(1，-1)，b=(1，2)，向量c满足(c+b)⊥a，(c-a)∥b，则c等于(

)A.(2，1) B.(1，0) C.

D.(0，-1)【解析】选A.设c=(x，y)，由(c+b)⊥a，(c-a)∥b可得解得所以c=(2，1).41/59(2)已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若(ma+nb)∥(a-2b)，则等于________.【解析】ma+nb=(2m，3m)+(-n，2n)=(2m-n，3m+2n)，a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1).由(ma+nb)∥(a-2b)⇒-(2m-n)=4(3m+2n)，整理得14m=-7n，则=-

.答案：-42/59【赔偿训练】已知向量a，b不共线，c=ka+b，d=a-b.(1)若c∥d，求k值，并判断c，d是否同向.(2)若|a|=|b|，a与b夹角为60°，当k为何值时，c⊥d？43/59【解析】(1)c∥d，故c=λd，即ka+b=λ(a-b).又a，b不共线，所以得即c=-d，故c与d反向.(2)c·d=(ka+b)·(a-b)=ka2-ka·b+a·b-b2=(k-1)a2+(1-k)|a|2·cos60°，又c⊥d，故(k-1)a2+

a2=0.即(k-1)+

=0.解得k=1.44/59类型四平面向量模与夹角【典例4】(1)向量a，b满足(a-b)·(2a+b)=-4，且|a|=2，|b|=4，则a，b夹角等于________.(2)已知|a|=4，|b|=8，a与b夹角是120°.①计算|a+b|，|4a-2b|；②当k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)？45/59【解析】(1)设a与b夹角为θ，因为|a|=2，|b|=4，由(a-b)·(2a+b)=-4得，2|a|2-a·b-|b|2=-4，即a·b=-4，所以cosθ

所以θ=120°.答案：120°46/59(2)由已知，①因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48，所以|a+b|=4

.因为|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=3×162，所以|4a-2b|=16

.②若(a+2b)⊥(ka-b)，则(a+2b)·(ka-b)=0，所以ka2+(2k-1)a·b-2b2=0，即16k-16(2k-1)-2×64=0，所以k=-7.47/59【方法技巧】1.处理向量模问题惯用策略(1)应用公式：|a|=

(其中a=(x，y)).(2)应用三角形或平行四边形法则.(3)应用向量不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(4)研究模平方|a±b|2=(a±b)2.48/592.求向量夹角设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)余弦49/59【变式训练】平面向量a与b夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|等于(

)A.2

B.2

C.4

D.【解析】选B.由已知得|a|=2，|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，所以|a+2b|=2

.50/59【赔偿训练】(·安阳高一检测)已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a-b)·(a+b)=

.(1)求|b|.(2)当a·b=时，求向量a与b夹角θ值.51/59【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=，所以a2-b2=，所以|b|2=|a|2-

=1-

=，故|b|=

.(2)因为又0°≤θ≤180°，所以θ=45°.52/59类型五平面向量在解析几何和物理方面应用【典例5】(1)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线三个动点，若动点P满足则点P轨迹一定经过△ABC(

)A.外心 B.内心 C.