山西省朔州市中牌中学高三数学文期末试题含解析

山西省朔州市中牌中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若，则的面积为（

）A．4

B．5

C．8

D．10参考答案：A由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．

2.若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，，则(?RA)∩B＝

()A．{x|－1≤x≤1}

B．{x|x≥0}

C．{x|0≤x≤1}

D．?参考答案：C略3.若函数（且）在[2,3]上单调递增，则实数m的取值范围为（

）A．(1,36]

B．[36,+∞)C．(1,16]∪[36,+∞)

D．(1,16]参考答案：D由题意，不妨设，则，由时为减函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而此时函数为增函数，一减一增为减，故不合题意；同理由时为增函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而当时，函数为增函数，因此当时，同增为增，满足题意.故选D.

4.如果关于x的不等式的解集为(-1,3)，则不等式的解集是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A5.为虚数单位，则（

）A．

B.

C.

D.参考答案：A6.设函数，则(

)A.5 B.8 C.9 D.17参考答案：C【分析】根据根据分段函数的解析式，求得，进而可求解的值，得到答案.【详解】由题意，函数，则，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.定义运算

（

）

A．(0,1)

B．(-￥,1)

C．(0,1)

D．[1,+￥]参考答案：C，

故的取值范围是．选C．评：正确理解函数的定义，结合常见的函数图象来得到值域是解决本题的关键．本题实际上就是求函数的值域.8.已知函数且当，则的图象的交点个数为（

）

A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：答案：D9.已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与x2+y2=1相切，则p是q的

A．充分必要条件

B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件

D．必要不充分条件参考答案：C略10.设随机变量??服从正态分布N（2，9），若P(??>c＋1)=P(??<c－3)，则c=（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为

．参考答案：12.在△ABC中，若，，，则_____；_____．参考答案：

略13.已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是

．参考答案：解答：∵，∴最小正周期为，∴，令，即，∴或.∴当，为函数的极小值点，即或,当∴.，，∴最小值为.

14.下列四个结论中，错误的序号是___________.①以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为，若曲线C上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越宽，说明模型拟合精度越高；③设随机变量，若，则；④已知n为满足能被9整除的正数a的最小值，则的展开式中，系数最大的项为第6项.参考答案：234【分析】对于①，把极坐标方程化为直角坐标方程，结合圆心与原点的距离关系可求；对于②，带状区域宽度越宽，说明模型拟合误差越大；对于③，先利用求出，然后再求；对于④，先求出，再利用二项式定理的通项公式求解系数最大的项.【详解】对于①，化为直角坐标方程为，半径为.因为曲线C上总存在两个点到原点的距离为，所以，解得，故①正确；对于②，带状区域宽度越宽，说明模型拟合误差越大，故②错误；对于③，，解得；，故③错误；对于④，，而，所以，所以的系数最大项为第7项，故④错误；综上可知②③④错误.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及知识点较多，知识跨度较大，属于知识拼盘，处理方法是逐一验证是否正确即可.15.已知，观察下列算式：；；…若，则的值为

*****

．参考答案：解：∵，∴；…；若，则.16.已知

参考答案：略17.已知函数，.若存在，使得，则实数b的取值范围是

．参考答案：(－2,0)当时，在恒成立在为减函数，当时；当时，.综上，欲使成立需：.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在（1，+∞）上是增函数．（1）求实数a的取值范围；（2）在（1）的结论下，设，求函数g（x）的最小值．参考答案：【考点】函数单调性的性质；函数最值的应用．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】（1）知道函数是增函数，求参数范围，转化为导函数大于等于0恒成立，用分离参数求最值解决．（2）为含有参数的绝对值函数的最值问题，关键是去绝对值，需考虑ex﹣a的正负问题，进行讨论．去绝对值后转化为关于t的一次函数，利用单调性求最值即可．【解答】解：（1），∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立．∴恒成立，∵，当且仅当x=1时取等号，∴，∴a≥2；（2）设t=ex，则，∵0≤x≤ln3，∴1≤t≤3．当2≤a≤3时，，∴h（t）的最小值为，当a＞3时，，∴h（t）的最小值为．综上所述，当2≤a≤3时，g（x）的最小值为，当a＞3时，g（x）的最小值为．【点评】本题考查已知函数单调性求参数范围、求函数的最值、分类讨论思想等，综合性较强．19.已知函数，.（1）若函数f(x)存在单调增区间，求实数a的取值范围；（2）若，为函数f(x)的两个不同极值点，证明：.参考答案：（1）（2）见解析【分析】（1）由已知可知，若满足条件，即有解，转化为有解，即，设，利用导数求函数的最大值；（2）由已知可知，整理为，再通过分析法将需要证明的式子转化为，若，可变形为，设，即证成立，若，即证.【详解】（1）由题函数存在增区间，即需有解，即有解，令，，且当时，，当时，，如图得到函数的大致图象，故当，∴时，函数存在增区间；（2）法1：，为函数的两个不同极值点知，为的两根，即，，∴，①∴②，要证，即证，由①代入，即证：，，将②代入即证：③且由（1）知，若，则③等价于，令，，即证成立，而，∴在单调递增，∴当时，∴，所以得证；若，则③等价于，令，，，显然成立.法2：要证，又由（1）知，，当时，要证上式成立，即证，易知显然成立；当时，，故只需，即证，也即证，由于时单调递增，故即证，而，只需证，成立，令，只需证在时成立，而，故在单调递增，所以，故原不等式得证.【点睛】本题考查了导数研究函数性质，不等式的综合性问题，意在考查化归和转化和分类讨论的思想，属于难题，本题的难点是第二问极值点偏移问题，利用分析法将所需要证明的式子转化，再根据已知条件代入参数，转化为证明，再通过构造为的不等式恒成立的问题.20.（本题满分12分）如图，四棱锥中，⊥平面，(1)求证：(2)求点到平面的距离

参考答案：解：（1）因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC.由∠BCD=，得BC⊥DC，又PDDC=D，PD平面PCD，DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD因为PC平面PCD，故PC⊥BC（2）连结AC.设点A到平面PBC的距离为h因为AB∥DC，∠BCD=，所以∠ABC=从而由AB=2，BC=1，得的面积.由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积

因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC.略21.已知：△ABC中，CA＝CB，.（I）求证：C＝4A；（II）若点D为线段AC上任意一点，设，求的取值范围。参考答案：证：（I）设CA＝1，则依题意知：CB＝1，。由余弦定理得：。

2分而，所以，从而。

5分所以C＝4A。

6分解：（II）因为

8分由已知可得：

9分所以

10分即

12分22.（本题12分）如图所示，已知椭圆和抛物线有公共焦点,的中心和

的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点（Ⅰ）写出抛物线的标准方程；（Ⅱ）若，求直线