2020-2021学年天津一中高二（上）期末数学试卷

20202021学年天津一中高二（上）期末数学试卷

一、选择题：（每题3分）

1.（3分）抛物线y=（储的准线方程是（）

A.x=—B.y=-----C.x=-lD.y=-l

1616

2.（3分）已知圆（x-lf+（>+2）2=9的一条直径通过直线2x+y-4=0被圆所截弦的中点，

则该直径所在的直线方程为（）

A.x+2y-5=0B.x-2y-5=0C.x-2y+5=0D.x+2y+5=0

3.（3分）已知数列｛%｝是等差数列，是数列｛/｝的前〃项和，S2+a6=9,则的值为

（）

A.10B.15C.30D.3

4.（3分）在等差数列｛七｝中，首项4>0,公差"*0,前”项和为S”（〃eN*）,且满足S3=S15,

则S”的最大项为（）

A.57B.C.SgD.SI（）

5.（3分）已知等比数列他“｝的公比q<0,且%=1,an+2=a„+I+2a„,则｛““｝的前2020

项和等于（）

A.2020B.-1C.1D.0

6.（3分）已知数列｛〃"｝中，q=l,a„+l=an+n,则数列｛a“｝的通项公式为（）

7.（3分）已知双曲线方程为V-y2=4,过点A（3,l）作直线/与该双曲线交于M,N两点，

若点A恰好为中点，则直线/的方程为（）

A.y=3x-8B.y=-3x+8C.y=3x—10D.y=—3x+10

22

8.（3分）在平面直角坐标系中，双曲线的二-马=l（a>0,/?>0）右支与焦点为月的抛

crb

物线d=2py（p>0）交于A,3两点，若|AF|+|8F|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为

J2

A.y=±-^-xB.y=±>?2xC.y=±-^-xD.y=±\/3x

二.填空题：（每题4分）

9.（4分）已知等差数列｛可｝的前〃项和为S“，火=5,$5=15,则数列｛—^｝的前100

《4+1

项和为.

10.（4分）记5“为递增等比数列｛4｝的前〃项和，若工=1,S4=5S2,则4=.

11.（4分）已知直线/:4x-3y+8=0,抛物线C:丁=4x图象上的一动点到直线/与它到抛

物线准线距离之和的最小值为一.

o2

12.（4分）设双曲线［-4=13>0/>0）的两条渐近线分别为/「/,,左焦点为尸.若

a~b~

点尸关于直线4的对称点p在4上，则双曲线的离心率为—.

13.（4分）己知数列｛,｝满足为=「&一"）"+2">8（〃eN*）,若对于任意〃eN*都有

«„>«„+1,则实数a的取值范围是.

f］n=l

14.（4分）已知数列满足=（’>，定义使42为…%（AeN*）为

U°g”+2（"+3），"-2,〃eN

整数的“叫做“幸福数”，则区间［1,2020］内所有“幸福数”的和为.

三.解答题：（共52分）

15.如图，AE_L平面ABC£）,CF//AE,AD!IBC,ADLAB,AB=AD^l,AE=BC=2,

〜8

CF=—・

7

（1）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

（2）求平面应应与平面切才'夹角的余弦值.

E

F

B

22

16.已知椭圆C:9+q=l,K，尸2分别为椭圆的左、右焦点，尸为椭圆上任意一点.

（1）若|助1-1尸乙1=1,求△尸石鸟的面积；

（2）是否存在着直线/,使得当经过椭圆左顶点4且与椭圆相交于点5,点。与点B关于X

轴对称，满足OB-OE>=-次，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

7

17.已知数列｛〃“｝是等差数列，其前〃项和为S"，数列｛"｝是等比数列，且4=^=2,

a4+b4=27,s4-b4=10

（1）求数列｛4｝与｛4｝的通项公式;

（2）设。=4,么，求数列@｝的前〃项的和7；.

18.已知正项数列｛4｝的前〃项和S“满足2S„=a；,+a„-2.

（1）求数列｛《,｝的通项公式：

（2）若2=2"（W1）（〃.N*）,求数列出“）的前正项和7；.

"%

（3）是否存在实数久使得（+2>/lS,,对neN+恒成立，若存在，求实数2的取值范围，若

不存在说明理由.

20202021学年天津一中高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（每题3分）

1.（3分）抛物线y=的准线方程是（）

A.x=—B.y=C.x=—1D.y=—1

1616-

【解答】解：由题得：d=4y,

所以：2〃=4,即p=2

所：，e=i

2

故准线方程为：y=-l.

故选：D.

2.（3分）已知圆（x-l）2+（y+2>=9的一条直径通过直线2x+y-4=0被圆所截弦的中点,

则该直径所在的直线方程为（）

A.x+2y-5=0B.x-2y-5=0C.x-2y+5=0D.x+2y+5=0

【解答】解：由圆（x-l）2+（y+2）2=9的方程可得圆心坐标为（1,-2）,

y=-2x+4

联立直线2x+y-4=0与圆(*-1)2+(>+2)2=9可得：

(x-l)2+(y+2)2=9

整理可得：5x2-26x4-28=0,所以内十9二行，X+必=-2（玉+9）+8=--—,

所以弦的中点坐标为：（”,

"+2

由题意可得该直径所在的方程为：y+2=-^—（x-i），

5

整理可得：x-2y-5=0.

故选：B.

3.（3分）已知数列｛4｝是等差数列，S,是数列｛%｝的前〃项和，§2+4=9,则其的值为

（）

A.10B.15C.30D.3

【解答】解:设等差数列｛an｝的公差为d,S?+4=9，/.34+6d=9,化为：q+2d=3=%，

则S5==5%=15.

故选：B.

4.（3分）在等差数列｛/｝中，首项q>0,公差4H0,前〃项和为，5£“），且满足53=品，

则S〃的最大项为（）

品）

A.57C.S.D.

【解答】解：等差数列｛%｝中，且满足S3=S|5,

：,6+%+...+《5=0,

由等差数列的性质可知，/+4。=0,

首项q>0,公差dwO,

/.t/<0»

tz9>0,4o<0,

则S”的最大项为Sy

故选：c.

5.（3分）已知等比数列｛4｝的公比夕<。，且g=1，4+2%+2%,则｛〃〃｝的前2020

项和等于（）

A.2020B.一1C.1D.0

2

【解答】解：由4+2an+l+2an,?.an(q-q)=2alt,化为/一^一2二0,q<0,

解得<7=-1，

又〃2=1=4x(—l),解得4=—1.

贝IJ｛an｝的前2020项和==0,

故选：D.

6.（3分）已知数列｛〃〃｝中，q=1,（+]=〃〃+〃，则数列｛〃〃｝的通项公式为（）

2

n+〃-rr-n〃2—〃+22,

A・a„=——B・%=丁一C.an=--------D.%=〃~一〃+1

222

【解答】解：数列｛%｝中，A=1,。“+1=4+鹿，

当几.2时，an-an_}=n-l,

4・4=1，

利用叠加法，整理得q,-4=1+2+…+〃一1=（〃T）（,+l）=勺1,

所以q='「一;+2（首项符合通项），

〃〃

则imi4,二—--一+2•

故选：C.

7.（3分）已知双曲线方程为*2-V=4,过点A（3,1）作直线/与该双曲线交于M,N两点,

若点A恰好为MN中点，则直线/的方程为（）

A.y=3x-8B.y=-3x+8C.y=3x-10D.y=-3x+10

【解答】解：由双曲线方程为f-y2=4为等轴双曲线，焦点在x轴上，

过点A（3,l）作直线/与该双曲线交于M,N两点，M（N，%）,N（X2,%）,

9—丫2=4

\；，两式相减可得：（石一天）（石+冬）一（乂+%）（乂一切）=0，

M-y”4

4为MN的中点，

二.%+%=2x3=6,x+必=2x1=2,

.•.6（%—五2）-2（,一p）=0,

则乂二&=g=3,

Xj-^22

直线MN的斜率为％=AZA=3.

%一9

由直线的点斜式方程可知：y-l=3（x-3）,整理得：y=3x-8,

故选：A.

22

8.（3分）在平面直角坐标系xO），中，双曲线的与-2=1（〃>0力>0）右支与焦点为f的抛

ab

物线d=2py（p>0）交于A,8两点，若|A用+|3b|=4|O尸I，则该双曲线的渐近线方程为

)

亚x/3

A.y=±-^-xB.y=±\/2xC.y=±—xD.y=±y/3x

22

【解答】解：把丁=2期5>0)代入双曲线「一斗=l(4>0力>0),

ab

可得：a2y2-2pb2y+a2b2=0,

2pb2

\AF\+\BF\=4\OF\,:.yA+yB+2x-^=4x^,

.2pb1

.•——-p,

a

b72

...—=.

a2

该双曲线的渐近线方程为：y=±*.

故选：A.

二.填空题：（每题4分）

9.（4分）已知等差数列｛〃”｝的前〃项和为S“，a5=5,S5=15,则数列｛—！—｝的前100

a

,fln+\

项ETn和小为——WO

一10L

【解答】解:等差数列｛4｝中,

=5,S,=15,

4+4d=5

・•・、4x5」

5。［H--------u=1i5r

12

解得％=1,d=\

:.an=1+(〃-1)=〃，

11---_11

..---------------------,

4£用〃(〃+1)nn+1

...数列｛_!_｝的前looi^aisiao=(i-----)=1.

100

anan+i22334100101101101

故答案为：—.

101

10.(4分)记S„为递增等比数列｛4｝的前〃项和，若，=1,54=5S2,则氏=_2"T

【解答】解：S“为递增等比数列｛4｝的前〃项和，百=1,S4=552,

4=5=1

二,4(1-炉)4(1-/)，且“0,

_3X

1-q1-q

解得q=1,q=2,

故答案为：2"二

11.(4分)已知直线/:4x-3y+8=0,抛物线C:丁=4x图象上的一动点到直线/与它到抛

物线准线距离之和的最小值为-.

一5-

【解答】解：动点P在抛物线C：V=4x上，

.•.设点尸的坐标为(/,2a),可得P到y轴的距离&=/.

|46q2

P到直线/:4x-3y+8=0的距离4=f~t^l=l|4a-6a+8|,

V42+(-3)25

4a2-6a+8=4(a--)2+—>0,

44

cl^=—(4。"—6a+8),

可得动点P到直线l与y轴的距离之和为：

,.22N。、9268

4+d2=4+1(4〃-6a4-8)=—+—»

由此可得当a=g时，4+4的最小值为£，

动点P到直线/与y轴的距离一之和的最小值为1三7.

故答案为：

5

29

12.（4分）设双曲线0-马=l（a>0/>0）的两条渐近线分别为4,4,左焦点为F.若

ab

点尸关于直线人的对称点P在4上，则双曲线的离心率为2.

【解答】解：由题意知，双曲线的渐近线方程为丫=土2%,点R_c,0）,

a

不妨取直线《为y=_?x,直线/，为

aa

设点P的坐标为（见2机），则线段炉的中点坐标为（丝1£,_L⑼，

a22a

点尸关于直线4的对称点尸在，2上，

2

—mm_a~

a

x(——)=-1m+「b?,：b=6a,

m-(-c)/，即

c

b/b、m-c

—"?=(——)-----

故答案为：2.

13.（4分）已知数列｛叫满足/=£一"）"+2">3"*）,若对于任意“cN*都有

.优一",8

%>all+t,则实数a的取值范围是—（；,1.

【解答】解：对于任意的〃eN*都有a“>all+t,

,数列｛《,｝单调递减，可知0<"1.

①当g<a<l时，〃>8,a“=（：-a）〃+2单调递减，

而为=4"-7（4,8）单调递减，

.,.g-a）x9+2<“8-7,解得

因此.

2

②当0<a<g时，〃>8,q,=（g-“）〃+2单调递增，应舍去.

综上可知：实数a的取值范围是（；，1）.

故答案为：（；，1）.

|M—1

14.(4分)已知数列｛.”｝满足a“=〈’,定义使q/…4("eN')为

[log“+2(〃+3),〃..2,”€N

整数的人叫做“幸福数”，则区间口，2020]内所有“幸福数”的和为叫49.

(1n=1

【解答】解：由于数列｛”,｝满足

[log„+2(n+3),«..2,ne/V

当〃=1时，(=4=1,

当〃..2时，Tn=lxlog,5xlog6<...xlo%,4+分乂xx…x、("*"="名〃(+:.

/g4Ig5Ig(n+2)

又〃=1时，1=log44,成立.

所以(=log4G?+3)wZ,(啜｝i2020),

设log4(??+3)=meZ,

所以"+3=4“e[4,2023),

由于45=2io=io24,46=2°=4096>2023,

所以啜如5,共5个数，

所以(4-3)+(甲-3)+…+(4$-3)=2苗二12-3x5=1349.

4-1

故答案为：1349.

三.解答题：(共52分)

15.如图，AE_L平面ABC£),CF//AE,AD!IBC,ADLAB,AB=AD^l,AE=BC=2,

〜8

CF=—・

7

(1)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(2)求平面BZ汨与平面助万夹角的余弦值.

E\

F

B

【解答】解：AE_L平面A8C£>,ADYAB,

.•.以A为坐标原点，分别以四，AD,/场所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

Q

又CF/1AE,AB=AD=\,AE=BC=2,CF=-

7

Q

/.B(1,0,0),0(0,1,0),C(l,2,0),E(0,0,2),F(1,2,,

BD=(-\,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,2,2),

Q

BF=(0,2,-).

(1)设平面应)E的一个法向量为机=(x,y,z),

由卜.BO=—+y=0,取可得〃,=(2,2,1),

m-BE=-x+2z=0

设直线CE与平面加区所成角为e,

_2+4+24

则sin0=\cos<CE,m>|=|-------------1=—，

3x39

即直线CE与平面所成角的正弦值为±；

9

(2)设平面BDF的一个法向量为〃=(x,,y,马)，

Q

n-BF=2y+-z=0

则l7l1,取4=—7,得〃=(4,4,一7),

n-BD=-x,+y,=0

设平面BDE与平面BDF的夹角为cp,

Im,n8+8—71

则mcos=----------=-----------=一,

|m|-|??|3x93

由图可知，平面与平面8/邛的夹角为锐角,

故平面BDE与平面或方夹角的余弦值为-.

3

16.已知椭圆C:3+(=l,可，尸2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点.

(1)若|P用-|P工|=1,求鸟的面积；

(2)是否存在着直线/，使得当经过椭圆左顶点A且与椭圆相交于点B,点。与点5关于X

轴对称，满足OB-OE>=-2,若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

\PF\+\PF1=4

【解答】解：(I由题意可知X2

IPFt\~\PF21=1

解得：Ia"=|，3

1^1=2>

又I桃1=2,

2『+|耳玛『，即

IPF,|=|PF2PFXLF.F2,

133

•.,△尸朋的面积为-X片］.

(2)由题意可知A(-2,0),

直线/的斜率显然存在，设直线/的方程为：y=k(x+2),

y=k(x+2)

联立方程2,消去y得：(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,

--F--=1

43

c16k2-126-8k2

-2X=------，/.x=------，

RB3+4k2BR4k2+3

皿霖，瑞)

OBOD=——，

7

2

z6-8k\2-144k20

(--3-----)H-------;--------=------,

4k2+3(4k?+3)27

整理得：16k4-25k2+9=0,

解得：k=±l或k=±—,

4

3

.,.^=±。+2)或丫=土一(x+2)，

4

即存在直线/满足题意，直线/的方程为：x—y+2=0或x+y+2=0或3x—4y+6=0或

3x+4y+6=0.

17.已知数列｛〃,,｝是等差数列，其前"项和为S"，数列出”｝是等比数列，且4=a=2,

a4+b4=21,s4-Z>4=10

（1）求数列｛%｝与｛4｝的通项公式;

（2）设勿，求数列｛0｝的前"项的和7；.

【解答】解：（1）设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛4｝的公比为q.

由4=a=2,得4=2+3d,i>4=27,S4=8+6d.