2024高考数学教材平面向量、数系的扩充与复数的引入

2024高考数学教材平面向量,数系的扩充与复数的引入

目录

1.平面向量的概念及线性运算........................................................................2

1.1.内容要求.....................................................................................2

1.2.考题举例......................................................................................2

1.3.考向规律......................................................................................2

1.4.核心素养：数学运算一一教材回扣基础自测....................................................2

1.4.1.自主学习•知识积淀—基础知识梳理.......................................................3

1.4.2.向量加法的多边形法则.....................................................................4

1.4.3.考点例析对点微练——互动课堂•考向探究..................................................6

1.4.4.考点一平面向量的概念自主练习.........................................................6

1.4.5.考点二平面向量的线性运算微专题......................................................7

2.平面向量的基本定理及坐标表示.....................................................................15

2.1.内容要求.....................................................................................15

2.2.考题举例.....................................................................................15

2.3.考向规律.....................................................................................15

2.4.核心素养：数学运算一一教材回扣基础自测....................................................16

2.4.1.自主学习•知识积淀——基础知识梳理....................................................16

2.4.2.课堂测试.................................................................................16

2.5.考点例析对点微练一一互动课堂•考向探究.....................................................18

2.5.1.考点一平面向量基本定理的应用.........................................................18

2.5.2.考点二平面向量的坐标运算.............................................................21

2.5.3.考点三平面向量共线的坐标表示.........................................................24

3.平面向量的数量积................................................................................29

3.1.内容要求.....................................................................................29

3.2.考题举例.....................................................................................29

3.3.考向规律.....................................................................................29

3.4.核心素养：数学运算一一教材回扣基础自测....................................................30

3.5.自主学习♦知识积淀一一基础知识梳理..........................................................30

3.6.考点例析对点微练一一互动课堂•考向探究.....................................................33

3.6.1.考点一平面向量数量积的运算自主练习.................................................33

3.6.2.考点二平面向量数量积的性质应用微专题...............................................35

3.7.考点例析对点微练一一互动课堂•考向探究....................................................43

3.7.1.考点一平面向量与平面几何.............................................................43

第1页共64页

3.7.2.考点二平面向量中的最值问题..........................................................45

3.7.3.考点三平面向量与解三角形............................................................48

4.数系的扩充与复数的引入...........................................................................55

4.1.内容要求....................................................................................55

4.2.考题举例....................................................................................55

4.3.考向规律....................................................................................56

4.4.核心素养：数学运算一一教材回扣基础自测..................................................56

4.4.1.自主学习•知识积淀——基础知识梳理....................................................56

4.5.考点例析对点微练一一互动课堂•考向探究....................................................58

4.5.1.考点一复数的有关概念.................................................................59

4.5.2.考点二复数的几何意义................................................................60

4.5.3.考点三复数的运算微专题.............................................................62

1.平面向量的概念及线性运算

1.1.内容要求

1.了解向量的实际背景

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义

3.理解向量的几何表示

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义

1.2.考题举例

2020•新高考^卷•T3（向量的线性运算）

2018•全国I卷•T6（向量的线性运算）

2017•江苏高考•T12（向量的线性运算）

1.3.考向规律

考情分析：主要考查平面向量的线性运算（加法、减法、数乘）及其几何意义、共线向量定理，

有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目。偶尔会在解答题中

作为工具出现

L4.核心素养：数学运算——教材回扣基础自测

第2页共64页

1.4.1.自主学习•知识积淀——基础知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量

两个方面：大小和方向。

其中，向量的大小，叫做向量的长度(或模)。

(2)零向量

长度为Oz方向是任意的。

(3)单位向量：长度等于1个单位;方向是确定的。

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量。平行向量又叫共线向量。规定:

0与任一向量平行。

(5)相等向量：长度相等;方向相同。

(6)相反向量：长度相等;方向相反。

•微提醒・

单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量。平行的单

位向量有两个，即向端和弋。

2.向量的线性运算

向量

定义法则(或几何意义)运算律

运算

二;

a

(1)交换律：a+b=

求两个向量和的b+a；

加法三角形法则

运算(2)结合律:(a+b)

y+c=a+(b+c)

a

平行四边形法则

第3页共64页

求a与b的相反

减法向量一b的和的a—b=a+(—b)

运算

三角形法则

(l)|Aa|=|A||a|；入(㈣=(入H)a；

求实数人与向量

数乘(2)当人＞0时，Aa的方向与a的方向相同；当入＜0时，入a的(A+p)a=Aa+|ia；

a的积的运算

方向与a的方向相反；当入=0时，Aa=0入(a+b)=M+入b

1.4.2.向量加法的多边形法则

多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a+》+c表示从起点指

向终点的向量，只关心起点、终点。

3.共线向量定理

。是非零向量，若存在一个实数九使得力=痴，则向量力与非零向量。共

线。

•微提醒・

1

1.若尸为线段的中点，。为平面内任一点，则0P=](OA+OB)。

2.0A=2QB+〃OCQ,〃为实数)，若A,B,。三点共线，则A+〃=1。

〜―一―__〜-

_II」Zj一

一、常规题

1.在平行四边形ABC。中，下列结论错误的是()

—►—►

A.H8|=|AO|一定成立

—►―►-►

B.AC=A3+A。一定成立

C.AO=8C一定成立

第4页共64页

D.8D=AO—A3一定成立

解析在平行四边形ABCD中，AC=AB+AQ一定成立,AD=3C一定成立,

—►—►—►—►-►

8D=AQ—A3一定成立，但|A8|=|AD|不一定成立。故选A。

答案A

2.如图所示，已知AC=38C,QA=G,OB=b,OC=c,则下列等式中成立

的是()

A.c=^b—^a

B.c—2b~a

C.c=2a—b

31,

D.c=^a~^b

-A-A-A—►—A-A-A-A0一A-A

角星析因为AC=33C,OA=a,OB=b,所以OC=OA+AC=OA+143=QA

3ff3f1-31

+/（Q8—。4）=]0吐,。4=/一呼。

答案A

3.设。与》是两个不共线向量，且向量。+劝与一(Z>—2a)共线，贝ljX—

解析依题意知向量。+劝与2a—b共线，设a-\-Ab=k(2a—b),则有(1—

1—2k=0,11

2女)。+(%+/1)。=0,所以‘-40,解得仁2,仁一于

答案-I

第5页共64页

二'易错题

-A-A-A-►

4.（对向量相等隐含条件认识不清）若四边形ABCD满足//BC^L\AB\^\DC

\,则四边形ABCO的形状是。

-A-A-A-A

解析当|AQ|=|BC|时，四边形ABC。是平行四边形；当时，四边

形ABCD是等腰梯形。

答案等腰梯形或平行四边形

5.（两向量的方向关系不清）已知同=2,固=5,则|。+"的取值范围是

__________________O

解析当a与办方向相同时，|a+Z>|=7;当a与办方向相反时，|a+"=3;

当。与力不共线时,3<|«+Z>|<7o所以|。+句的取值范围为［3,7］。

答案［3,7］

1.4.3.考点例析对点微练——互动课堂•考向探究

1.4.4.考点一平面向量的概念自主练习

1.下面说法正确的是（）

A.平面内的单位向量是唯一的

B.平面内所有单位向量的终点的集合为一个单位圆

C.所有的单位向量都是共线的

D.所有的单位向量的模相等

解析因为平面内的单位向量有无数个，所以选项A错误；当单位向量的起

点不同时，其终点就不一定在同一个圆上，所以选项B错误；当两个单位向量的

方向不相同也不相反时，这两个向量就不共线，所以选项C错误；因为单位向量

的模都等于1,所以选项D正确。

答案D

2.下列四个命题中，真命题为（）

A.若a//b,则a—b

B.若⑷=|力I，则a=Z>

C.若|a|=|Z>|,贝

第6页共64页

D.若a=Z>,则|a|=|例

答案D

3.下列四个命题中，正确的是（）

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

—►—►

B.若A,B,C,。是不共线的四点，且则四边形ABCD为平行

四边形

C.a=b的充要条件是|G|=|加且。〃力

D.已知九〃为实数，若痴=砂，则a与力共线

解析A错误，若两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个

—►—►-A-A

向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为AB=Z）C,所以|AB|=|QC

—►—►

|且A8〃OC,又A,B,C,D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；

C错误，当。〃〜且方向相反时，即使|。|=|例，也不能得到。=儿所以“|a|=|例且

a//b'y不是“a=b”的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当2=〃=0时，

a与8可以为任意向量，满足觞=油，但a与8不一定共线。

答案B

练后感悟

向量有关概念的关键点

1.向量定义的关键是方向和长度。

2.非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制。

3.相等向量的关键是方向相同且长度相等。

4.单位向量的关键是长度等于1个单位。

5.零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线。

1.4.5.考点二平面向量的线性运算微专题

微考向1：平面向量的加法、减法运算

【例1】（1）（多选）如图所示，在△ABC中，。是的中点，下列关于向

量CO表示不正确的是（）

第7页共64页

A.CD^CA+DB

—►—►-►

B.CD^BC+DA

f1ff

C.CD=^AB+AC

一1f1一

D.CD=^CA-\-^CB

—►—►—►—►-►

解析对于A,因为。是48的中点，所以AO=OB,因为CO=CA+AO,

-A-A-A-A-A-A->

所以CD=CA+DB,所以A正确；对于B,由三角形法则得，CD=CB+BD=CB

+DA=~BC+DA,所以B不正确；对于C,CD=CA+AD=^AB~AC,所以C

一1一1f

不正确；对于D,因为。是AB的中点，所以CQ=]CA+]CB,所以D正确。故

选BC。

答案BC

(2)(2021•东北育才学校模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中

点，尸为。石的中点，若AF=%AB+；AO,则％=()

3

-

4B.

A.

C11

--

2D.4

A]AAA

解析连接AE(图略)，因为b为DE的中点，所以A/=/LD+AE),而AE=

第8页共64页

~A-A—A।—A-—]-—-—1-**--1—>—>

AB+BE=AB+^BC=AB+^AD,所以24尸=5（4。+4£）=5AD+AB

乙乙乙乙

\

,又Ab=xA3+%。，所以％=g。

答案C

—一—____________—―—i

--二-II{——|i■-dJI

平面向量的线性运算技巧

1.不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解。

2.含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向

量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解。

微考向2：向量共线问题

【例2】设向量ei，02是平面内的一组基底，若向量a=-3ei—e2与b=ei

—M2共线，则2=（）

A.弓B,一行

C.-3D.3

解析因为。与力共线，所以存在〃£R,使得。="b,即一34一e2=〃（ei—

Xei）,即一3ei—e2=〃ei—比较系数,得〃=—3,—。=-1,故2=一亨

答案B

—一————♦“一.

-~一'II'8——I7・"L」|

两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反，因此共线包含两种情况：同

向共线或反向共线。

一般地，若。=劝（8力0）,则。与办共线：

1.当A>0时，a与）同向；

2.当2<0时，0与8反向。

微考向3：三点共线问题

-A

【例3】（1）（2021•郑州模拟）设约与改是两个不共线的向量,AB=3ei+2e2,

第9页共64页

CB^ke}+e2,CD=3el~2ke2,若A,B,。三点共线，则％的值为

解析因为A,B,。三点共线，所以必存在一个实数九使得AB="Q。又

AB=3e]-\-2e2,CB=ke\+e2,CD=3e\~2ke2,所以8D=CD—CB=3e]一2%4一(kei

+e2)=(3—k)e\—(2&+1)02,所以3ei+2e2=%(3—k)e\—%(2%+l)e2,又ei与e2不

3=2(3.%),9

共线,所以，解得上=一笳

2=T(2Z+1),

9

答案

(2)设。A,。8不共线，求证：P,A,3三点共线的充要条件是：OP=AOA+

且2+〃=1,九〃WR。

证明充分性：因为2+〃=1,

-►-A—►—►—►—A-►—>—►­►

所以0尸=7OA+〃O8=(1-")OA+〃OB=OA+〃(O8—OA)=OA+〃AB。

—►—►-►

所以0尸一。4=储瓦

-A—►—►—►

所以AP=〃AB,所以AP,A6共线。

因为两向量有公共点A,所以A,P,8三点共线。

必要性：若尸，A,3三点共线，

—►—►―►—►

则AP=RAB=〃(03—0A)。

—►—►—►-►

所以QP—QA=〃OB—〃QA。

-►-A->

所以0P=(l—〃)0A+〃03。

—►—►-►

令2=1—〃，则0夕=为9A其中〃+2=1。

—►—►-►

综上，P,A,3三点共线的主要条件是：0P=2。4+〃03且2+〃=1,九〃

第10页共64页

eRo

总结反思

1.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共

线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C

-A-►

三点共线台AB,AC共线。

―►—>—►

2.A,B,。三点共线的一个充要条件是。4=203+〃0。（2+〃=1）（0是平面

内任意一点），此结论在解决三点共线问题时非常方便。

【题组对点练】

―►—►—►—►-►

1.（微考向1）设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,若

贝ij2——〃=（）

A--3B--3

C,3D,3

—►—►

解析由3C=3CD,可知"C,。三点在同一直线上，如图所示。根据题

————ff-4-1

意及图形，可得AD=AC+CO=AC+w（AC—AB）=—?4B+wAC,所以丸=一号

4145

〃=,，所以丸_〃=_1一耳=_亨故选A。

答案A

—►―►—►—►-►

2.（微考向1）（多选）已知平面向量04,OB,0C为三个单位向量，且0408

—►—►-►

=0,若OC=xQA+yQB（%,y£R）,则％+y的可能取值为（)

第11页共64页

A.0B.1

C.也D.2

-A—>-A

解析依题意，OA,QB是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量

-A

08作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C(cos0,sin。)(。表示由工

-►-A

轴非负半轴旋转到0C所形成的角)构成的向量。C,6>G[0,2TC),因为04=(1,0),

-A-A-A-A-A

(95=(0,1),(?C=(cos3,sin6),OC=xOA+yOB,所以％=cosd,j=sin3,故工

+y=cos夕+sin9=啦sin6+彳，。£[0,2兀)，故％+y£[—啦，A/2],可以取0,1,

亿故选ABC。

答案ABC

3.(微考向3)如图所示，在△A5C中，。是的中点，过点。的直线分别

-►—>•—►—►

交A8,AC所在直线于点M,N,^AB=mAM,AC=nAN,则根+〃的值为()

C.3D.4

第12页共64页

Imn

解析解法一：连接AO,则AO=5（AB+AC）=5AAf+5AN,因为M,0,N

mn

三点共线，所以3+5=1,所以m+〃=2。

解法二：连接AO。由于。为5。的中点，故AO=}AB+AC）,MO=AO-

f1ff1-Ui1一1-fi-nr）f

AM=^（AB+AC）—AB=QAB+^AC,同理，NO=^AB+\^—-O由于向

乙in—~TYI）/zn,AC

量MO,NO共线，故存在实数A使得MO=/INO,即不一二A8+*4C=

riLjZ

|AB+^-^C0由于A3,AC不共线，故得且;=年一[消掉九

得（m—2）（n—2）=mn,化简即得加+〃=2。

答案B

4.（微考向2）设两个非零向量。与力不共线。若Za+b与a+心共线，则k

——o

解析因为&[+》与a+攵。共线，则存在实数%，使人。+》=%（。+妨），即（女

一2）4=（族一1）瓦又G,8是两个不共线的非零向量，所以左一2=2左一1=0。消去

九得产一1=0,所以攵=±1。

答案±1

区教师备用题

【例1】（配合例1使用）在3c中，D为边BC上一点,后是线段A。的

第13页共64页

—►—►—►1—►—►

中点，若3Q=ZDC,CE^AB+fiAC,则2+〃=()

A.§B.

12+1J1I

解析CE=-CA)+//AC=^CB+CD-\-\—^—IA\CA,

因为E是AO的中点，所以外」=；,一：—〃=；,解得4=；,//=—1,故2+〃=

J乙J乙乙U

一；。故选B。

答案B

【例2】（配合例1使用）已知数列｛“〃｝是正项等差数列，在△A8C中，BD

=/BC（/£R）,若AD=sA8+a5AC,则的的的最大值为（）

A.1B.5

11

-1

c-

4D.8

解析因为BD=tBC,所以3,C,。三点共线。又因为4。=的48+。5人。,

所以。3+。5=1。由数列｛&"｝是正项等差数列，得13>。，〃5>0,所以1=。3+。5、

27a3a5,解得a3a5W；,当且仅当的=的=；时取等号。故选C。

答案C

【例3】（配合例3使用）如图，在△ABC中，。为BC的中点，AE=2EC,

—►—►—►-►

AQ与8石相交于点G,若AG=%GQ,BG=yGE,则%+y=（）

第14页共64页

A

A.4B.弓C.1D.?

―►—►—►—►-►

解析由题意得向量AG=%G。，。为3C的中点，^AE=2EC,可得AG=

―———r-

x►x►x►x►5x►

T+X，AD=2(1+X)，AB+2(1+X)，AC=2(1+X)，AB+4(1+X)AE°因为G'E二点

x3rff

共线，所以，解得。由旦。为的中点，且

2。(1十x)\+4(1十%)、=1x=43G=,yGBC

AE=2EC,可得86=出•跖=由［，4+5&=奇］，4+争D|=^^^A

、BD。因为A,G,。三点共线，所以笳—+歹去式=1,解得尸白。

3(1+y)3(1+y)3(1+y)-2

所以无+>=号。故选D。

答案D

2.平面向量的基本定理及坐标表示

2.1.内容要求

1.了解平面向量的基本定理及其意义

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件

2.2.考题举例

2018•全国III卷•T13(向量共线的坐标表示)

2017•全国III卷•T8(平面向量的坐标运算)

2015•江苏高考•T6(平面向量的坐标运算)

2.3.考向规律

第15页共64页

考情分析：平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减法和实数与向量的积完全代

数化，也是学习向量数量积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也是高考中命题的热点内

容。在这里，充分体现了转化和数形结合的思想

2.4.核心素养：数学运算——教材回扣基础自测

2.4.1.自主学习•知识积淀一一基础知识梳理

1.平面向量基本定理

(1)基底：不共线的向量仍,02叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

(2)定理：如果白，62是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内

的任意向量有且只有一对实数九，怒，使。=衣1土&也。

2.平面向量的坐标表ZF

在平面直角坐标系中，分别取与兀轴、y轴方向相同的两个单位向量i,/作

为基底，该平面内的任一向量a可表示成a与数对(%,y)是对应

的，把有序数对(%,y)叫做向量。的坐标，记作“=(%,y),其中。在％轴上的坐

标是％,。在y轴上的坐标是y。

3.平面向量的坐标运算

向量的加法、减法设a=(xl,yl),b=(x2,y2),则a+b=(xl+x2,yl+y2),a-b=(xl—x2,yl—y2)

向量的数乘设a=(x,y),入£R,则入a=(Ax,Ay)

—>

向量坐标的求法

设A(xl,yl),B(x2,y2),则AB=(x2—xl,y2-yl)

4.平面向量共线的坐标表示

若a=(%i，y)，b=&2,竺)，则。〃40%1丫2一%2丫1=0。

•微提醒・

1.平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，反之亦然。

2.若a与8不共线，2a+=0,则/1=〃=0。

3.已知a=(%i,y),。=(%2,㈤，如果％2W0,小力0,贝以〃、台器=1。

2.4.2.课堂测试

一、常规题

1.已知点Pi(l,3),P2(4,0),若尸是线段P1P2的一个三等分点，则点尸的坐

标为()

第16页共64页

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3/)

-A1~~»2-A~~»

解析由题意得P/=wPiP2或尸1尸=可尸上2,P1P2=(3,-3)O设P(%,y),则

ff1f1

PiP=(x-l,y-3),当PiP=§P]P2时,(x-1,y—3)=g(3,-3),所以％=2,y=

-2一2

2,即P(2,2)0当B尸=罚1尸2时,2—即厂3)=1(3,-3),所以％=3,y=l,

即4(3,1)。故选D。

答案D

-A-►-►

2.如图，在正方形ABCD中，石为QC的中点，若AE=148+〃AC,则A+

〃的值为()

A.2B.—2

C.1D.-1

角翠析因为石为。。的中点，所以4。=48+4。=13+夕3+4。=夕3+

fLf->Lf11

DE-\~AD=^AB+AE,即Af=—yljB+AC,所以％=—5,〃=1,所以2+〃=5。

答案A

3.已知向量a=(l,2),力=(2,—2),。=(1")。若。〃(2°+5),则/1=。

解析由题意可得2a+b=(4,2)。因为。〃(2。+力，c=(l,幻，所以42一2=

0,即2=20

套素-

口水2

第17页共64页

二'易错题

.、fl3)

4.(忽视基底不共线)给出下列三个向量:—3),c=(—2,6)。

从三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为o

解析这三个向量中，b//c,a与九c不平行，所以可以构成基底的是a与

b,a与c,所以能构成两组基底。

答案2

-A

5.(忽视共线的两种情况)已知点A(—1,3),BQ,-1),则与向量AB共线的单

位向量是o

-►-►—>

解析AB=(3,-4),一引=寸32+(一守=5,所以与AB共线的单位向量是

(34V,f341

5一寸或〔一予5)0

u案,(3一541V或7卜予3三41

6.(向量共线的坐标公式掌握不牢)已知点4(1,1),3(4,2)和向量a=(2,A),

—►—►

若。〃AB,则实数丸=；若a="A3,则〃=o

——2

解析由题意得48=(3,1),因为所以“一2=0,解得％=号由a=

-(3〃=2,2

RAB,得(2,A)=(3/z,〃)，所以彳,故〃=可。

，，5=九J

22

答案35

2.5.考点例析对点微练——互动课堂•考向探究

2.5.1.考点一平面向量基本定理的应用

【例1】⑴(2021•郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2QC,

—►—►-►

石为BC边上一点，BC=3EC,厂为A石的中点，则3尸二()

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解析如图，取AB的中点G,连接。G,CG,易知四边形。CBG为平行四

-A-A-A-A-A1-A-A-A-A-A--A-A

边形，所以BC=GO=AO—AG=AO—；AB,所以AE=AB+8E=A8+'BC=AB+

、

|AE-AB=^|AB+|AD

ZA一D=轴+汕,于是尸一A3=—AB=

l-7

o故选C。

答案c

21

(2)在aABC中，点P是A3上一点，且。尸=缶。1+9。3,。是5C的中点,

AQ与CP的交点为M,又CM=tCP,则实数/的值为o

解析因为CP=Q+Q,所以3cp=2C4+CB,即2cp—2CA=CB—CP,

所以2Ap=尸8。即尸为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A,M,。三点

第19页共64页

共线，1殳AM=14Q。所以011=4"_4。=140—40=2348+440_40=制5+

122Jz

A-2^f一一一(一］,一一I2-3

~5~AC,又CAf=/C尸=/(AP—24。=力白3—AC=^AB~tACo故彳.。

乙(3J。4—2

<-2-：

r3

尸不3

解得J1故t的值是笳

?=2°

3

答案J

总结反思

平面向量基本定理的实质及应用思路

1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形

法则进行向量的加法、减法或数乘运算。

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用

该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。

【变式训练】（1）在梯形A3CO中，AB〃CD,AB=2CD,M,N分别为CD,

8C的中点。若AB=2AM+〃AN,则丸+〃等于。

-A-►—A-A-A—►—A-A-A-A-A

解析因为AB=AN+NB=AN+CN=AN+(CA+AN)=2AN+CM+MA=

2AN—^AB—AM,所以AB=*4N—所以丸=一去所以2+〃=|:。

4

答案5

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(2)如图，已知平行四边形ABCD的边3C,CD的中点分别是K,L,且AK

~C\fAL~e2f试用e1，02表示3C,CDo

解设3C=x,CD=y,

11

则BK=/,DL=—^yo

由AB+3K=AK,AD+DL=AL,

〃1

—j+p=ei①,

得5

x~^y=e2②，

①+②X(—2),得;％—2x=e\—2e2,

即X=—|(约-202)=一m1++2,

24

所以BC=—于1+；02。

42

同理可得y=—gei+于2,

42

即C£)=-161+；62。

2.5.2.考点二平面向量的坐标运算

【例2】(1)如图，原点。是△ABC内一点，顶点A在％轴上，NAQB=

150°,ZBOC=9Q°,\OA\=2,\OB\=1,\OC\=3,^OC=AOA+fiOB,则〃=()

第21页共64页

A._3B.

C.一小D.仍

解析由题意可得A(2,0),B—4，5,C-f,o因为0C=704+

、乙乙)tz

/旦=—3

乙A2〃2，X——3,

/nOB,所以由向量相等的坐标表示得＜解得厂所

4_3小产一3事,

、2=_2，

吟=小。故选Do

答案D

—►—►-►

(2)在平行四边形A8C。中，AC=(2,3),BO=(—1,4),则A8=

AD=o

—►—►—►—►—►—►-►

解析AB+AD=