空间向量的数量积运算6种常见考法归类（解析版） - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题02空间向量的数量积运算6种常见考法归类

三解题策略

i.空间向量的夹角

(1)夹角的定义

B

已知两个非零向量a,b,在空间任取一点。，作a=a,OB=b,则乙4。8叫做向量a,的夹角，记

作(a,b).

(2)夹角的范围

空间任意两个向量的夹角6的取值范围是［0,河.特别地，当9=0时，两向量同向共线；当。=兀时,

7T

两向量反向共线，所以若。〃》，则(a,b)=0或兀；当〈a,b>=］时，两向量垂直，记作。J_6.

2.空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a,b,则⑷|b|cos(a,b)叫做。，一的数量积,记作〃•力.即。力=|。仙|cos〈a,

b).

规定：零向量与任何向量的数量积为0.

(2)常用结论(a,〜为非零向量)

①a_L〃s6=0.

®a-a=\a\\a\cos〈a,a)=|a|2.

③cos〈a,b)=献

(3)数量积的运算律

数乘向量与数量积的结合律

交换律ab=ba

分配律a(b+c)=ab+ac

思考：(1)若a仍=0,则一定有吗？

(2)若。方>0,则(a,b)一定是锐角吗?

［提示］(1)若。仍=0,则不一定有也可能a=0或b=0.

(2)当(a,b>=0时，也有ab>0,故当a为>0时，〈06〉不一定是锐角.

3.投影向量

(1)投影向量

在空间，向量。向向量6投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得

到与向量力共线的向量c,c=|a|cos<o,b)则向量c称为向量。在向量分上的投影向量，同理向量力

在向量。上的投影向量是出|cos〈Q,b｝高

(2)向量Q在平面夕上的投影向量

向量”向平面£投影，就是分别由向量a的起点A和终点8作平面夕的垂线，垂足分别为4,B',得

到向量加，，则向量加啾为向量a在平面/?上的投影向量.这时，向量。，泥，的夹角就是向量a所在直线

与平面夕所成的角.

［提醒］(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；

⑵向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律，即ab—ac^>b=c,ab=k^b=^,(ab)c

=a-("c)都不成立.

4.空间向量夹角定义的三个关注点

(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样.

(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起.

(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a,b)=(b,a).

5.空间向量的夹角与向量位置关系

(1)(.a,b)=0时，向量“，b方向相同.

(2)〈。，b〉=兀时，向量。方向相反.

7T

(3)〈a,b)=1时，向量a-L6.

6.对空间向量的数量积的两点说明

(1)运算结果：空间向量数量积的结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余

弦值的乘积.

(2)运算符“•”：其中〃为中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“X”代替.

7.对空间向量数量积性质的三点说明

(1)向量模的应用：式子团=而可以解决有关空间长度问题.

(2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而

求得.

(3)数量积的应用：两非零向量a,b,若a协=0则两向量对应的直线相互垂直.

8.空间向量数量积运算的两种方法

(1)利用定义：利用a3=|a||b|cos〈a,b)并结合运算律进行计算.

(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量

积公式进行运算.

9.在几何体中求空间向量的数量积的步骤

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.

(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.

(4)代入公式步|cos[a,b)求解.

10.用向量法证明垂直关系的步骤

(1)把几何问题转化为向量问题；

(2)用已知向量表示所证向量；

(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；

(4)将向量问题回归到几何问题.

11.利用空间向量解决垂直问题的方法

(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0

来判断两直线是否垂直.

(2)证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直的方法：先用向量a,b,c表示向量m,n,再求解

向量m,n的数量积判断是否垂直.

12.利用向量数量积求夹角问题的思路

(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意

向量夹角的范围；②先求。b,再利用公式cos〈a,b)=5后求出cos(a,b)的值，最后确定〈a,b)的

值.

图示如下:

(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：

①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；

②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；

③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；

④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值,

从而求出异面直线所成的角的大小.

注：求异面直线所成的角(或余弦值)时，易忽视向量的夹角与异面直线所成角的区别.

13.求两点间的距离或线段长的方法

(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模.

(2)因为°“=同2,所以同=[菽，这是利用向量解决距离问题的基本公式.另外，该公式还可以推广为

\a±b\—y](a+b)2--\Ja2±2a-b+b2.

(3)可用|a-e|=|a||cos"(e为单位向量，8为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影.

14.利用数量积解决立体几何问题

空间向量数量积的性质可以看作其定义的引申和拓展，空间向量数量积与向量的模和夹角有关，可以

以它为工具，解决立体几何中与夹角和距离有关的问题.

常有以下应用：

(1)求空间两点间的距离或线段长度转化为求相应向量的模；

(2)求空间两条直线的夹角转化为求两条直线方向向量的夹角，但要注意空间两条直线的夹角与方向向

量的夹角的范围限制；

(3)和垂直相关的问题可转化为向量的数量积为零的相关问题.

雷'高频考点

考点一空间向量数量积的概念辨析(二)利用空间向量数量积证明垂直

考点二空间向量数量积的运算考点四利用空间向量数量积解决夹角问题

考点三利用空间向量数量积解决垂直问题考点五利用空间向量数量积解决距离问题

(-)已知垂直求参数考点六利用空间向量数量积解决投影向量问题

第E看

考点精析

考点一空间向量数量积的概念辨析

1.（2023•江苏・高二专题练习）在正四面体ABC。中，BC与CD的夹角等于（）

A.30°B.60°C.150°D.120°

【答案】D

【分析】根据正三角内角为60°求解.

【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知，

<BC,CD>=180°-<CB,CD>=180°-60°=l20°

故选：D

2.（20223•高二课时练习）如图，已知正方体AfiCD-A'B'CZ）',设AB=n，AD=h，A4，=c，则（48,8'。'）=

nc兀「冗-2万

A.-B.-C.-D.—

6323

【答案】D

【分析】利用A'8-B'D'=^A'A+A孙(B'A'+A。')求出AB•8'。'=(A'A+(B'A'+A。')，再求出

.ABB，D'

,则根据cos(A'8,B7X)=西西可得答案.

【详解】设正方体的棱长为1,

A'B-B'D'=(A'A+AB^B'A'+A'。')=A'4•B'A'+A'AA'D'+AB-B'A!+AB-A'D'

因为A'A_LB'A',A'A1A'D',AB±A'D'

乂IAB卜VF+F=0MM=+F=0,

cos(/VR,&D)=A®B方1

,’8'8'必2,

又句,

故选：D.

3.（2023春•高二课时练习）如图，在正方体ABC。一AEC。中，求向量4c分别与向量A®，BA'AD-

CD18'。'的夹角•

【答案】45°；135°：60°；120°；90°

【分析】由图形特征求向量夹角.

【详解】连接B。，则在正方体A8CQ—AEC7y中，AC1BD,ZBAC=45°,AC=AD'=CD',

所以(AC,A'B')=(AC,AB)=45°,

AC,B'A')=180°-(AC,AB)=135°,

(AC,A£»)=N£MC=60。，

(AC,CD)=120。，

(AC,B'D)=(AC,BD)=90°.

4.（20223・高二课时练习）已知a,b是空间向量，根据下列各条件分别求也,3：

(1)a-b=-\a\\b\；

(2)\a\=\b\=\a-b\；

(3)\a\=]b\=\a+b\；

(4)\a+b\=\a-b\.

【答案】（1）〈凡力=兀

TT

(2)〈。]〉=]

2兀

(3)<«^)=y

(4)〈”,历

【分析】(1)利用空面向量的余弦夹角公式进行求解；(2)根据向量数量积的运算法则计算出cos〈a,6〉=；,

进而求出夹角；(3)根据向量数量积的运算法则计算出cos〈a/〉=-g,进而求出夹角；(4)根据向量数量

积运算法则计算出°力=0，得到夹角.

【详解】(1)cos{a,b)=-a-.-=-1,<a,i)e[0,7tl,故〈°,6〉=兀

(2)因为|a|=|6|=|a-b|,所以-彳4小双出切+忖,故cos〈a,力=g,因为力e[0,兀],所以

〈”,力=]

⑶因为|a|=U"=l“+/”，所以|。+6『=,『+2忖・阵0$(0,6〉+，，故8$〈4,3=-3，因为〈〃向€[0,可，所

以位为=年

(4)|a+'H，两边平方得:忖+2a包+忖=忖-2/6+忖~,故£力=0,故2_LB,因为位，〉«0,可,

所以3,力=]

5.(2023春•高二课时练习)设“，6，c都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是()

A.(a+人)+C=a+(b+C)

B.+/7j-c=a-c+b-c

C.(a/Jc=(/?.c).a

D.(«+/>)-(a+c)=|«|2+[^b+c^-a+b-c

【答案】C

【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可.

【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若d,C不共

线且a,6,6,c不垂直，则(a・6)・c=MWcos(a,6>cx®c>a=M|dcosk，cba,故C不一定正确.

故选：C.

6.（20223•高二课时练习）判断正误

（1）向量AB与C£»的夹角等于向量AB与DC的夹角.（）

（2）若〃力=0，则。=0或6=。.（）

（3）对于非零向量°,b，〈”,切与〈a,-力相等.（）

（4）a-b=b-c>且6=0，则a=c.（）

（5）若a，&均为非零向量，则a-b=|q||b|是“与/，共线的充要条件.（）

【答案】XXXXX

【详解】（1）向量4B与CD的夹角与向量4B与OC的夹角互补，错误；

⑵比如a_L6，错误；

（3）由非零向量“，人〈〃力〉与〈〃,_力互补，错误：

（4）a,c不一定相等，错误;

（5）若人均为非零向量，ab=\a^b\,则〈“涉〉=0,

若a与6共线，则〈a,b〉=0或"，错误.

考点二空间向量数量积的运算

7.（2023春•江苏徐州•高二徐州高级中学校考期中）在棱长为1的正方体A8C£>-AaGA中，用为C£上

任意一点，则用4出0=（）

A.-V2B.-1C.1D.72

【答案】B

［分析］根据空间向量的线性运算法则可得AM=MC+CB+CO，再根据数量积的运算律和运算公式结合图

形求

【详解】由图形可得MA=MC+CA=MC+CB+CD，

所以M4•8C=（MC+C3+C£>）•KG=MC•B©+CB-B,C,+CD-,

由正方体性质可得MC±B©,CD14G,所以用。4G=0,co-4G=0,

所以,

乂|CB卜1,,G卜1，CB与B£方向相反,

所以M4-4G=-!■

故选：B.

8.（2023,江苏•高二专题练习）设正四面体A-BCD的棱长为2,E,尸分别是BC,AO的中点，则

的值为()

A

R

A.1B.73

C.2D.4

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算以及数量积的定义即可求解.

【详解】依题意，由

网=图=同=2,<AB,AD>=<AC,AD>=60,

^AB-AD=AC-AD=^AB^AD^cos<AB,AD>=2x2xg=2,

11.1

所以AE-A尸=—(AB+AC>(-AC)=-(AB-AO+AC-AZ))

224

=^-[|AB||AD|cos<AB,AZ)>+|AC|网cos<AC,AD>]

=-(2+2)=l.

4

故选:A.

9.（2023春•高二课时练习）如图所示，已知正四面体OA8C的棱长为1,点£尸分别是。4,。。的中点.求

下列向量的数量积:

WOAOB

(2)EF-CB

⑶(OA+O6)(C4+C8)

【答案】⑴3

⑵-;

(3)1

【分析】（1）正四面体的每个面均为等边三角形，夹角为60。，再结合空:间向量数量积的运算法则，得解;

（2）由EF=gAC,代入运算，即可得解:

（3）取43的中点Z）,连接。O,DC,可推出（OA+O8A（CA+CB）=4OOC£>,再在一OCD中，利用余弦

定理求出cosN8C的值，从而得解.

【详解】(1)OAOB=\OA[\OB\cosNAOB=Ixlxcos60°=—

2

(2)EFCB=-ACCB=-xlxlxcosl20°=-

224

（3）取AB的中点£）,连接。。，DC.则04+08=2。。，CA+CB=2CD，

在工08中，DO=DC=—,OC=1,

2

+(9-i

由余弦定理知，COSN0DC=¥

2—若

22

所以(04+0或(6+0?)=40。。=4乂且乂正'』=1.

223

o

10.（2023春•江苏盐城•高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体ABC。-A8G，中，以顶点A为端

点的三条棱长都为1,且两两夹角为60,求3R-AC的值是.

【答案】1

【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出30,AC,再根据空间向量的数量积的运算，即可求得

答案.

【详解】由题意得8£>|=帖+4。+£）£）1=40-43+/141,AC=AB+AD，

则叫.AC=(AO-A8+A4,).(A8+A。)=AO?一而+的•A8+9•A。

=l-l+lxlxcos60+1x1xcos60=1,

故答案为：1.

11.（2023春•陕西西安,高一长安一中校考期末）在正三棱锥尸-A3c中，。是,ABC的中心，PA=AB=2,

则PO（PA+PB）等于（）

A.9B.巫C.晅D.3

9333

【答案】D

【分析】将承转化为「。+。4，方转化为尸。+O巨，由三棱锥是正三棱锥可知POJ_A。，POLBO,即

可将尸0-E4转化为I地|2，PO/A转化为|P0|2,结合勾股定理即可求解.

【详解】•'P—ABC为正三棱椎，。为认BC的中心,

:.P01平面ABC,AO、80u平面ABC,

：.POLAO,POLBO.

△ABC是等边三角形,

.II1\AB\273,,1AB2G

..POOA=Q,\AO\=——!~=,POOB=（）,\BO\=——!~L=」£

112sin603112sin603

222

故尸（？.PA=P0・（PO+OA）=|PO|=|PA|-|OA|=4-1=1

POPB=PO（PO+OB）=|PO|2=|PB2|-|OB|2=4-^=1,

则尸0（尸4+28）=/>0,4+/>0尸3=个.

故选：D.

P

12.(20223•高二课时练习)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，A8是一条侧棱，与(i=l，2,,8)

是上底面上其余的八个点，则片(i=l,2,,8)的不同值的个数为()

C.3D.4

【答案】A

【分析】根据向量的加法分解向量，结合线面位置关系，利用数量积性质，可得答案.

L

【详解】ABAPI=AB\AB+BP^=AB+ABBPI.

因为AB/平面即[乙，所以AB_L电，所以g期=0,所以=|何+0=1.

则A"A/i=l,2,,8）的不同值的个数为1.

故选：A.

13.（2023•江苏•高二专题练习）在三棱锥O-43C中，ZAOB=ZAOC=ZBOC=60,OB=OC=2OA=2,E

为OC的中点，则AE8c等于（）

A.-1B.0C.ID.3

【答案】C

【分析】由题意可得AE=[OC-OA,BC=OC-OB,再由数量积的运算律代入求解即可.

【详解】因为NAOB=ZAOC=NBOC=60,OB=OC=2OA=2,

所以OC-O8=|oC,Oqcos6（）o=2x2xg=2,

07\OB=|（?/l||OB|cos600=lx2xl=l,

OA<9C=|OA|-|OC|COS60°=1X2X1=1,

因为AE=goC-OA,BC=OC-OB,

AEBC=\^OC-OA^（OC-OB^=^OC-^OCOB-OAOC+OAOB

=：lx4--x2-l+l=2-l-l+l=l.

22

故选：C.

14.（2023•陕西西安•校考模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体A8CO-A8cA的表面上运动，则P4P8

的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】取AB中点。，连接P。，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得.

【详解】取AB中点。，连接PO,如图,

!)IIJP4PB=(PO+04MPO+OB)=POLOA2=P02-1,

当P在正方体表面上运动时，运动到R或G处时，尸。最大,

222

所以PoL=DtD+DA+AO=9.

所以PA•尸8的最大值为8.

故选：C

15.(20223秋・江西•高二校联考阶段练习)如图，球。为长方体ABCO-AMGR内能放入的体积最大的球，

EF是球0的一条直径，P为该长方体表面上的动点，且A4,=248=24。=4,则PE.PF的最大值为.

【答案】10

【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解.

【详解】根据题意，球。的半径为1,

…_e..一.-,，2

PEPF=(PO+OE)・(PO+OF)=PO~+POOF

.2.2

+POOE+OEOF=PO'+OEOF=PO~-\,

当球。与平面A与GR相切，点尸为四边形"8顶点时,

取得最大值,所以|叫-14“1-1=10,

故答案为:1().

考点三利用空间向量数量积解决垂直问题

（-）已知垂直求参数

16.（2023•全国•高一专题练习）在空间，已知q,6为单位向量，且q，/，若。=2q+3e2,a=ke[-4e2,

atb，则实数2的值为（）

A.-6B.6

C.3D.-3

【答案】B

（分析】由a和匕的数量积为0,解出k的值.

【详解】由题意可得〃力=0，//=（）,同=同=1,

所以（2q+招）・（如一他心。，即24—12=0,得k=6.

故选：B.

17.（20223•高二课时练习）已知。，匕是异面直线，且。_L6,e_e2分别为直线明匕上的单位向量，且

m-2et+3e2,n-ke}-4e2,mln>则实数k的值为（）

A.-6B.1C.3D.-3

【答案】B

【分析】根据%，得到《仁=0,再根据相，〃，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，异面直线a,方，且。_L力，e；,02分别为直线°力上的单位向量，所以'•6=（）,

因为,〃_L〃，可得"〃=0，即（2q一4%）=。，

可得2立2+（34一8鸠4-12622=0所以兼-12=0,解得左=6.

故选：B.

18.（20223秋•高二课时练习）已知a、b是相互垂直的异面直线，小6分别为取自直线。、人上的单位向量，

^d=2el+3e2,b=ke]—4e2,akb»则实数攵的值为（）.

A.-6B.6C.3D.-3

【答案】B

【分析】由己知得q,e2,人结合向量的数量积运算即可求;HZ的值.

【详解】因为〃、b是异面直线，且公1分别为取自直线。、。上的单位向量，

所以耳,有qe2=0

又4=2%+3«2，b=ke]—4e2,aVh,

得1为=0,即（2q+3电）.（攵6-4色）=0，

有2攵一12二0,所以上6.

故选：B

19.（20223秋・浙江•高二於潜中学校联考期中）在如图所示的平行六面体MCO-AH'C。中，已知

1,,,UUUUUUUU,.

AB=AA^AD>ABAD=ZBAA'=ZDAA'=60，BM=^BC,N为C'D上■一点、，且D'N=AD'C'，若DM上AN,

【答案】B

【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.

【详解】设AB=a,AO=b,A4'=c，

贝IJAN=AA'+A'D'+D'N=AA'+AD+AD'C=AA'+AD+AAB=Aa+h+c.

444

DM=DC+CM=AB+-CB=AB——AD=a——b,

555

AN•力用=(/ta+/，+c){a-g/7)=0,

-244-24

A,ci—九•a•b+a•b----b+c•a------c,b=0,

555

设AB=A4=AO=m,ZBAD=ZBAA,=ZDAA,=60,

匚二*>4.24221421八

)才以4•，疗^rnr—FW---m~+m----------•—=0,

5225252

解得2=(,

故选：B

(-)利用空间向量数量积证明垂直

20.(2023•北京・高三强基计划)已知空间有A,B,C,。四个点，满足AC/3。，空间中还有

四点，满足A3'=AB,A〃=AO,8'C'=BC,CZ>'=C£>,求证：A'C'IB'D'.

【答案】证明见解析.

【分析】利用空间向量的数量积可证明A'C'L377.

【详解】根据题意，^ACLBD=>AC(AD-AB)=()^ACAD=ACAB,

根据余弦定理，AC2+Alf-CI)=AB2+AC2-BC2=>AB2+CD2=AD2+BC2'

从而AB'2+C'D'2=AD'2+B'C21

故A'B'2-AD'1=B'C'1-CD'1即-AD'~=B'C'2-C'D'，

D'B'(A'B'+A'D'+B'C-C'D']=0,

A'C'-B'b'=0=>A'C'lB'D'

命题得证.

21.(2023春•高二课时练习)已知：如图，。8是平面a的斜线，。为斜足，ABVa,A为垂足，CDua,

且COLQ4.求证：CDLOB.

【答案】证明见解析

【分析】要证CDLOB,只要证a»J_08，即证C£>.08=0,结合空间向量分析运算.

【详解】因为CDLOA,所以CDQ4=0，

因为AB_La,CDua,所以ABLCO,CDAB=0.

又OA+AB=OB，所以COO8=C£>(OA+A3)=CDOA+COAB=0,

故CO_LO8.

22.(20223秋•重庆九龙坡•高二重庆实验外国语学校校考期末)如图，已知平行六面体ABCD-A4Gp中,

底面ABC£＞是边长为1的菱形，CC,=2,“CB=NBCD="CD=60

(1)求线段CA的长；

(2)求证：CA1B.O,.

【答案】(i)VH

(2)证明见解析

【分析】(I)CAt=CD+CB+CC],结合向量数量积运算，求模即可.

(2)BR=-CB+CD,由向量数量积关于垂直的表示即可判断.

【详解】⑴设CD=a,CB=6,Ct；=c,则卜卜忖=1,口=2,

VZC.CB=ZBCD=ZC.CD=60,则a?ch?c2创cos60?1,a?b1创cos60?

VCA,=CD+CB+CCt^a+b+c,：.

故线段CA的长为而.

(2)证明：VBtDt=BD=-CB+CD=a-h,：.

11

CA、-BQ=(a+b+c^-(a-h^=a-b-b-c+a-c=\-\----1----=0.

22

故

23.(2023春・江苏常州•高二常州市第一中学校考阶段练习)平行六面体A8CD-A4GA的底面ABCD是菱

CD

形，且/6(78=/购。。=/8。。=60。.当后的值为时，能使AC_L平面GBD

【答案】1

CD

【分析】设k=x，x>。，cc,=l,则CO=x,由AC_L平面GB。，可得所以

uuuuuuutun,air,tunturuuuur

/\CC1D=0,即G。-一cr>~+GC-AO+CDAO=0，根据向量的数量积得3/—x—2=0,求解即可.

【详解】解：如图所示:

因为ACJ•平面G8。，

GB,CQU平面GBQ,所以AC，C|B，AC，G。，

ULKMlUUUUUUUUUUUUUUUUUUUULUUUUUUUCLUl

CjZ)=CjC+CD，AyC=+0G+CJC=AD4-DC+C(C,

UUUUUUUUUUUUUUUUUUULUULU

由AC・GO=0,得(AQ+DC+GC)(GC+CQ)=O,

iur2tui2uuiinturuiruuir

即G。-。。“+”4。+8仞=。，

LULUuirturuirry

又因为GCAO+C»AO=1-X・COS60Q+X-”COS(180°—6()O)=5-E，

y一无2

则有1一3+=0,即3f7—2=0,

2

2

解得x=l或x=-((舍去)，

因此当黑=1时，能使AC，平面GBZ).

故答案为：1

考点四利用空间向量数量积解决夹角问题

24.(2023•江苏・高二专题练习)已知空间向量.，6，何=1,忖=夜，且〃_匕与°垂直，则0与6的夹角

为()

A.60B.30C.135D.45

【答案】D

【分析】根据已知可得«-6”=0,根据数量积的运算律即可求出cos(a,6)=等，进而求出结果.

【详解】因为a-b与一垂直，所以(a-b>a=0,

即m二,『_口.MCOS（a,^=1-5/2cosG，f=0,

所以COS<〃,/?）=

rr

又0<（«,*）<180,所以卜力）=45".

故选：D.

25.（20223秋•山东临沂•高二统考期中）四面体A8C£>中，AC=AD^2AB=2,ZBAD-60°,A3C£>=2,

则NBAC=（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】根据题意得

ABCD=AB（AD-AC）,由数量积公式计算即可.

【详解】由题知，AC=AD=2AB=2,ZBAD=60°

所以

ABCD=AB（AD-AC）=ABAD-ABAC=\AB\\AD\COSZBAD-\AB\\AC\COSZBAC=2,

所以1•2cos60°-1•2cosABAC=2,解得ZBAC=120°,

故选：C

26.（2023•全国•高二专题练习）空间四边形。WC中，OB=OC,ZAOBZAOC=^,则cos（OA,BC）的

值是（）

A.0B.C.JD.—

222

【答案】A

【分析】根据向量关系可得。4-8。=。4-（。。一。8）,再化简计算求得OA-BC=0即可求出.

【详解】因为。A8C=0A（。。-08）=0A0C-0A0B

=|（?A|•|（?c|.cos£-画•|（?B|.COS£

因为O8=OC,所以O4.3C=0,

所以c°s3,5C）=氤后=0,

故选：A.

27.（2023♦全国•高二专题练习）平行六面体A5C。—44GA,ABAD=ZBAA.=AA,AD=0,

AB=AD=AAi=1,若AC,=2,则cos0=.

【答案】I

6

【分析】由几何体中线段对应向量的数量关系有A£=45+M+AB,应用向量数量积的运算律、定义列

方程即可求cos。.

如上图知：A£=AD+A4,+AB，

2222

所以A£=M+A<+A3+2AD^+2ADAB+2ADAA,=3+6COS/9=4,

故COS6=L

6

故答案为：I

0

28.（2023春•甘肃金昌・高二永昌县第一高级中学校考期中）如图,在平行六面体ABCD-AgCQ中，AB=2,

AD=2>AA|=2,ABAA}=Z.DAA}=6(）°,ABAD=90°,则8G与CA,所成角的余弦值为（）

ATYC.一正D.与

44

【答案】B

【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.

【详解】设A8=a,AD=b，M=c,

因为a也c•向量不共面，故｛〃也4可构成空间的一组基底，

结合卜卜2,|/?|=2,卜|=2,ZBAAi=ADAA^=60°,ZBAD=90°,

所以。•匕=0，ac=2x2x—=2,b,c=2x2x-=2,

贝ijBC]=b+c,C\=-a-b+c,

可得BC}-CAy=(b+c).^—a—b+c)=_a.b—ac-b—b・c+cb+c

=0—2—4+4=一2,

8C|•CA__2V3

所以cos（BG，CA）=

\BC^CA,\~2yf3x2~6

乂因为异面直线所成角的范围是（0,^

所以即与室所成角的余弦值为正.

6

故选：B.

29.（2023・江苏•高二专题练习）如图：正三棱锥ABCD中，E尸分别在棱A&AO±,AE:EB=AF:FD=l:2,

且尸=0，则N54C的余弦值为.

11

【分析】设㈤。=/由AE:E8=AF:fD=l:2可得==乂CEB户=0，得

3

（CA+AE）（BA+AF）^O,利用数量积的运算律可得cos6=：

【详解】正三棱锥A3CD中，设N54C="且侧棱长相等，

因为A£:£B=AF:£0=1:2,

所以AE=gAB,AF=：A。，又CEB/=0，

所以（CA+4E）-（B4+AF）=0,

.-.CABA+CAAF+AEBA+AEAF=O

.■.|CA|x|BA|cos6>+|G4|xl|A£>|cos（7t-（9）--|AB|x|BA|+-|AB|xi|AZj|cos^=0

3333

艮|Jcos。一qcose—，+gcos夕=0,

33

解得cosO=,,即N84C的余弦值为

3

故答案为：—

30.（20223秋・广东江门•高二江门市棠下中学校考阶段练习）棱长为2的正方体中，E,尸分别是。R,DB

的中点，G在棱C。上，且CG=：CD,"是C©的中点.

⑴求cos（EF，CG）.

⑵求出的长.

【答案】（1）回

15

⑵叵

3

【分析】⑴将丽分别用以DC,皿表示,再根据数量积的运算律分别求出同,|C4丽再

根据c°s（EF，GG1向前

即可得解;

（2）将尸”用/%,DC即表示，再根据数量积的运算律即可得解.

【详解】（1）由题意,

11/

EF=ED+DF=--DDt+-(DA+

C.G=C,C+CG=-DD,--DC,

3

则网=JOR++£>C

1/2~22

=-^DDx+OA+OC-2DD,-DA-2D£>,-DC+2DC-DA

=—J4+4+4=>/3,

=卜叫℃）==当

EFCfi=_gOQ+；(DA+OCj].(_£>2_gOC)

121111124

=-DD,+-DD,DC——DD,■DA——DA-DC——DD,■DC——DC=-,

2162162163

4

所以cos(EF,CtG)==——^-7==—.

3

(2)FH=FB+BC+CCt+CtH=^DA+DC)-DA+DDt+；CQ

=g(£M+DC)-OA+D£)1+；(-£)q-；OC)

=-^DA+^DC+^DDt,

所以kM=J\--DA+-DC+-DD.

2321

”II2+1严工21产--1产.-I产皿+|严”

所以尸，的长为叵.

3

TT

31.（20223秋•河南洛阳•高二校联考阶段练习）已知不共面的三个向量〃,6,c都是单位向量，且夹角都是

则向量a-6-c和b的夹角为（）

兀C.生5TT

A.B.-D.

744

【答案】c

【分析】根据题意计算得卜-。-4=血，（。-6-。力=-1,进而计算夹角即可得答案.

【详解】解：由题意，得忖=恸=卜|=1,〃,。=4,。=6。=；,

所以,一/_,=J（a-〃-c）2=\la+b+c1-2a-b-2a-c+2b-c=>/2，

（a-h-c^-b=a-b-b-b-c=-\

\a-b-c\-b_iJ2

设向量a-〃-c和b的夹角为6，则cosdM'j----------n-r=-7=—=--—,

|a-&-c|.|Z?|V2xl2

又问0,司，所以。=手

故选：C.

32.（2023秋•贵州铜仁•高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量OAO&OC满足

OA±OB,OB1OC,OC±OA,则.A5C是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形

【答案】A

【分析】根据已知条件推出48.AC>0,得NC4B为锐角.同理可得ZABGZBC4也为锐角.由此可得答案.

【详解】因为OAJLOB,O31OC,OC1OA，

所以。4。8=0,。3"=0,00。4=0,

ABAC=(OB-OA)■(OC-OA)

2、

=OBOC-OAOB-OCOA+OA=|OA/>0,

ABAC

所以cos/CA3=>0

\AB\^\AC\

即知/CAB为锐角.同理可知ZA8CNBC4也为锐角.

故是锐角三角形.

故选：A.

33.（2023春・山东淄博・高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量询』=训=1,（谪=60。，则

使向量q+/lb与义“-2b的夹角为钝角的实数几的取值范围是.

【答案】(-1-石,7+6)

【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得3+孙(羽-2刀，卜+同，2d关于4的表达式,

再由两向量夹角为钝角得到关于2的不等式组，解之即可得解.

【详解】因为卜卜2,啊=1,〈感〉=60。，

所以〃/=卜卜忖8$(<7,/?)=2*1、；=1,a=|a|"=4,=|ft|'=1,

Ak(a+Ab)■(2«-lb)=Aa-2^a-b—2A.b=42.+—2^—2A.=A-+2A—2,

\ci+Ab\=ci+24。•/?+2"/?=A,+22+4,

,。-2目~=A2a~-44〃包+4月=422-42+4=4(22-2+1),

因为向量Q+"与彳〃-2b的夹角为钝角，

(a+4.)・(丸4—2.)<0(«+/iZ?)-(2(7-2Z?)<0

cosa+Ab,Aa-2b^-1*(〃+劝)-2/7)工一%+明卜〃一24

>+2A-2<0

则[几2+2/_2r-2&+2/1+4.力2一彳+1'

解?,-1—1—>/3<A<—1+^3»U|JAG(―1—\/3,—1+•x/^).

故答案为：(-1-瓜-1+6).

考点五利用空间向量数量积解决距离问题

34.(2004•全国・高考真题)已知d,〃均为空间单位向量，它们的夹角为60。，那么k+3可等于()