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文档简介

2.2

直线与圆的位置关系情境问题复习与基础练习．（1）直线

kx－y＋1＋2k＝0

过定点？

（2）圆心为点（2，3），半径为

3

的圆的标准方程？一般方程？（3）点（－2，1）与此圆的位置关系？数学建构判断直线与圆的位置关系的方法：直线

l：Ax＋By＋C＝0；圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2．方法

1：直线与圆的位置关系的判定方法：几何法．利用圆心到直线的距离

d

与半径

r

的大小关系判断：数学建构

方法

2：利用直线与圆的公共点的个数进行判断：代数法

设方程组

的解的个数为

n，则有

△＞0

n＝2

相交；

△＝0

n＝1

相切；

△＜0

n＝0

相离．数学应用

例1

求直线

4x＋3y＝40

和圆

x2＋y2＝100

的公共点坐标，并判断它们的位置关系．

解

直线

4x＋3y＝40

和圆

x2＋y2＝100

的公共点的坐标就是方程组

的解，解这个方程组，得，．所以公共点的坐标为（10，0），（，）．因为直线

4x＋3y＝40

和圆

x2＋y2＝100

有两个公共点，所以直线和圆相交．数学应用例2

自点

A(－1，4)

作圆

(x－2)2＋(y－3)2＝2

的切线

l，求切线

l的方程．解法1：当直线

l

垂直于

x

轴时，直线

l：x=－1与圆相离，不满足条件．当直线

l

不垂直于

x

轴时，可设直线

l

的方程为

y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0．如图，因为直线与圆相切，所以圆心(2，3)到直线

l

的距离等于圆的半径．从而解得k＝0

或

k＝

．因此，所求直线

l

的方程是

y＝4

或

3x＋4y－13＝0．数学应用因为直线

l

与圆相切，所以方程组

仅有一组解．由方程组消去

y，得到关于

x

的一元二次方程

(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0．依题意，这个一元二次方程有两个相等的实数根，所以判别式△＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0．解得

k＝0

或

k＝－0.75．因此，所求直线

l

的方程是

y=4

或

3x＋4y－13＝0．小结1

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