高工数学4省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

化工问题建模 与数学分析方法——ModellingandAnalyticalMethodsforProblemsinChemicalEngineering1/82第四章二阶偏微分方程与分离变量法

1、二阶方程分类2、分离变量法3、特征值理论4、特殊函数应用5、经典问题分析2/82第四章二阶偏微分方程——概述化学工程中常见PDE对流－扩散－反应方程常微分方程：求通解，初值定积分常数；一阶偏微分方程：求通解，初值定任意函数；二阶偏微分方程：从问题出发确定求解方法。3/82第四章二阶偏微分方程——概述二阶导数项占优时，普通采取以下两种方法求解 分离变量法：适合用于有限空间区域； 积分变换法：适合用于无限空间区域； 均化为常微分方程求解。4/82第四章二阶偏微分方程——方程分类§1

二阶偏微分方程分类令得

5/82第四章二阶偏微分方程——方程分类由线性代数，可经过线性变换将特征二次型化为对角型

6/82第四章二阶偏微分方程——方程分类二阶方程分类：当b2－ac＜0时，曲线为椭圆，方程称为椭圆型方程当b2－ac=0时，曲线为抛物线,方程称为抛物型方程当b2

－ac＞0时，曲线为双曲线，方程称为双曲型方程7/82第四章二阶偏微分方程——方程分类标准形式： 椭圆型方程 抛物型方程 双曲型方程8/82第四章二阶偏微分方程——方程分类物理意义：椭圆型方程——位势方程，描述与时间无关定常分布；抛物型方程——热传导方程，描述不可逆发展演变；双曲型方程——波动方程，描述可逆双向波动。9/82第四章二阶偏微分方程——方程分类定解问题提法——方程与初、边值组合 初值问题(Cauchy问题)

边值问题 混合问题10/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法§2分离变量法

——试探问题变量分离形式解例1

设11/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法变量分离，得求X(x)非零解，经过调整参数

值12/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法

ⅰ)当

＜0时，方程通解

c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡0

ⅱ)当

=0时，方程通解

c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡013/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法

ⅲ)当

＞0时，方程通解含有以下形式

由边界条件X(0)=0知c1=0,再由 为了有非零解c2≠0，必须sin=0，由此确定出参数

14/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法由此得变量分离解15/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法为满足初值，将解叠加由初值得解。16/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法17/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法例2矩形区域Laplace方程

令18/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法得特征值问题非平凡解

由零边界条件定出c2=019/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法得

为满足y方向普通边界条件，结构级数

由y方向边值，得20/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法得

得解21/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法例3圆形区域Laplace方程

令22/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法特征值问题解得＝n23/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法由边值24/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法得 得解。25/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法26/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法小结：分离变量法

1、假设变量分离形式解

2、导出并求解特征值问题

3、叠加成级数，满足初值或边值关键问题——特征值问题 能否经过调整不定参数取得齐次方程非零解。

27/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法§3分离变量法

——非齐次方程与边界条件：化齐与展开1、非齐边值处理：迭加边值问题特解，化齐例128/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法

令

特解v(x)要求满足边值，有没有穷各种选择，规范为

29/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法于是，问题化为w(x,t)齐次边值问题方程化齐关键点，是要求叠加特解v(x)既要满足边值，又要满足原微分方程，使得化齐后问题最简单。 30/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法例2

令

31/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法

解出 问题化齐为

32/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法33/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法方程与边值同时化齐

34/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法2、非齐方程处理：级数展开 难以直接分离变量，受常微分方程常数变易法启发，可将函数u(x,t）及全部函数均按特征函数展开

35/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法

代入方程，得

36/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法

37/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法小结：分离变量法关键 特征函数 级数展开 问题——

特征函数存在性？ 特征函数正交性？ 特征函数完整性？ 在普通条件下需要从理论上给予回答。38/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法分离变量法历史发展1700’s——弦振动方程三角函数试探解(Tayler)39/82第四章二阶偏微分方程——分离变量法1800～1900’s——Fourier方法 无穷级数解 特征值问题

Fourier级数理论

Fourier变换1800’s——Strum－Liouville特征值理论 分离变量法理论基础 特殊函数应用40/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论§4

特征值问题

1、正交性定义

Fourier展开41/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论 2、特征值理论定理一存在着无穷多个实特征值定理二当q(x)≥0时,全部特征值非负定理三不一样所对应特征函数带权ρ(x)正交定理四任意函数f(x)可展开为特征函数yn(x)级数42/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论说明

1、S-L特征值方程含有普通性；

2、四个定理只回答了特征函数存在性、正交性、完整性问题，可据此判断分离变量法可行性，给出解结构。但没有给出特征值方程求解方法。43/82第四章二阶偏微分方程——特殊函数§5特殊函数应用

1、极坐标系与Bessel函数 令44/82第四章二阶偏微分方程——特殊函数得到

判断：特征值存在，特征函数Rn(r)正交，完整45/82第四章二阶偏微分方程——特征函数解结构 由正交性46/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论47/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论求特征函数R(r)，令，将特征值问题化为 上式是0阶Bessel方程，可用级数解法得到其解 式中，J0和Y0分别为第一类和第二类Bessel函数48/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论49/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论

由边界条件确定特征值和特征函数

得解50/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论2、球坐标系与Legendre函数 问题——球形区域稳态传热与传质分离变量，令u(r,

)=H(

)R(r)得到51/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论特征值问题为H，作变换x=cos

,化为Legendre方程

52/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论自然边界条件由特征值理论，特征函数存在，分离变量法可行。

Legendre方程解为无穷级数，若边界上有限，必须对应特征函数为n阶Legendre多顶式53/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论于是，问题分离变量解为其中系数B＝0，A由边界条件确定54/82第四章二阶偏微分方程——特征值理论55/82第四章二阶偏微分方程——经典问题1、圆柱体传热

令 u(r,z)=R(r)Z(z)

得56/82第四章二阶偏微分方程——经典问题特征值问题 及

有Z″－λnZ

=0

57/82第四章二阶偏微分方程——经典问题由z=b处边值可确定常数An

58/82第四章二阶偏微分方程——经典问题另一个做法——

选择Z(z)

为特征函数，化齐Z(z)边值，令59/82第四章二阶偏微分方程——经典问题得

令w(r,z)=R(r)Z(z),分离变量后得到60/82第四章二阶偏微分方程——经典问题特征函数R(r)方程为0阶变形Bessel方程，解为61/82第四章二阶偏微分方程——经典问题2、球形催化剂颗粒瞬态响应化齐边值，令62/82第四章二阶偏微分方程——经典问题S=2时，特解 令

得63/82第四章二阶偏微分方程——经典问题再求齐次边值问题64/82第四章二阶偏微分方程——经典问题令w(x,t)=X(x)T(t),得到特征值问题

作变换得65/82第四章二阶偏微分方程——经典问题于是66/82第四章二阶偏微分方程——经典问题67/82第四章二阶偏微分方程——经典问题3、管式反应器动态行为

问题68/82第四章二阶偏微分方程——经典问题为化齐边值，令v(x)为固定床反应器稳态解69/82第四章二阶偏微分方程——经典问题齐次边值问题分离变量w=X(x)T(t)

，得特征值问题70/82第四章二阶偏微分方程——经典问题化为Sturm－Liouville型方程非零解Xn(x)存在，带权exp(-Pex)正交71/82第四章二阶偏微分方程——经典问题特征函数欲得非零解，要求72/82第四章二阶偏微分方程——经典问题

令 得 由x=1处边界条件确定特征值73/82第四章二阶偏微分方程——经典问题74/82第四章二阶偏微分方程——经典问题4、管道中层流换热Graetz问题75/82第四章二阶偏微分方程——经典问题无量纲化后分离变量法求解,令

76/82第四章二阶偏微分方程——经典问题

得特征值问题幂级数解77/82第四章二阶偏微分方程——经典问题由x=１处边值确定特征值λ

解得78/82