2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-第三章　函数的概念与性质复习提升

2023人教版新教材高中数学必修第一册

本章复习提升

易混易错练

易错点1忽视函数的定义域导致错误

1.(2021北京八中期中)给出下列三个函数:①丫=三六②y=f^；③丫仆必.

其中与函数y=x是同一个函数的序号是.

2.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)是减函数，若f(m-2)+f(2m-3)>0,

则实数m的取值范围是.

3.设函数f(x)*"'若f(a)=4,则实数a=

4.(2022重庆南开中学期中)函数f(x)=x-&与的值域为.

5.(2020河南洛阳一高月考)函数f(x)=，％2+x-6的单调递增区间是.

易错点2忽略分段函数自变量的范围一一分段点处的情况导致

错误

6.(2022山西大同期中)若函数f(x)=1¥+ax,x<1,在R上单调递增,则实数a

(.(4-a)x,x>1

的取值范围为.

7.对任意x£R,函数f(x)=max1-x+3,|x+g,x2-4x+3),则f(x)的最小值

是.

易错点3忽视对参数取值范围的讨论导致错误

8.(多选)(2022广东实验中学期中)下列图象中,可能是f(x)=ax+工(a£R)的图象

X

的是()

9.已知函数f(x)=x、kx-8在定义域［5,10］内是单调函数.

⑴求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k,使函数f(x)的最小值为7?若存在,求出k的值;若不存在,说

明理由.

10.(2020山西长治二中期末)已知函数f(x)=［X'°<x<2，其中a

-x2+(a+2)x-2a,x>2,

为实数.

(1)若函数f(x)为定义域上的单调函数,求a的取值范围；

⑵若a〈7,使不等式f(x)-a>0成立的正整数解有且仅有一个,求a的取值范围.

思想方法练

一、数形结合思想在函数中的运用

1.(2021山东省实验中学期中)在同一坐标系中，函数f(x)=ax+工与g(x)=ax?的图

a

象可能是()

AR

2.(2022河北张家口期中)若关于x的方程|x2-l|-x-m有4个不相等的实数根,则

实数m的取值范围是.

二、分类讨论思想在函数中的运用

3.(2022北师大实验中学期中)如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,则不等

式f(x)-g(x)<0的解集为()

A.(-«=,-1)U(-1,0)B.(—,-1)U(0,1)

C.(-1,0)U(1,+8D.(0,1)U(1,+8

4.(2022天津耀华中学期中)已知函数y=f(x)(x£R)是偶函数.当xNO

时，f(x)=x2-2x.

⑴求函数f(x)的解析式；

⑵若函数f(x)在区间［a,a+2］上单调,求实数a的取值范围；

(3)当a>-l时,记f(x)在区间［a,a+2］上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.

三、转化与化归思想在函数中的运用

5.(2021山西太原期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当xNO时,

f(x)=x+V%+l,贝I」f(X)<3的解集是()

A.[0,1]

B.[-1,1]

C.[-2,1]

D.(-°°,-1]U[1,+8)

6.已知函数f(x)=ax3-bx+l,若f(2)=5,贝I]f(一2)=.

7.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2设函2),且当xG[-2,0)

时,f(x)=-2x(x+2).若对任意x£[m,+8),都有f(x)求m的取值范围.

四、方程思想在函数中的运用

8.(2020江西临川一中月考)已知函数f(x)满足2f(x)=xfP)+-,则f(3)=()

\xJX

3B1

23一

A.C.9D.3-

9.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=2+14/(%)-[/(%)]2,则f(2

021)二

答案全解全析

易混易错练

1.答案②

解析易知y=x的定义域为R.

①的定义域为｛x|x#2｝,定义域不同,与y=x不是同一个函数；

x-2

3

②%二2+1x与y=x的对应关系相同，定义域也相同,故两函数是同一个函数；

③y=V^=|x|,对应关系不同，与y=x不是同一个函数.

易错警示研究两个函数是不是同一个函数时,应先求定义域,看定义域是否相

同,若定义域不同，则不是同一个函数;若定义域相同,则再判断对应关系是否相

同.

2.答案(1,|)

解析:f(x)是定义在(T,1)上的奇函数，

f(-x)=-f(x),Z.f(m-2)+f(2m-3)>0可化为f(m-2)>-f(2m-3)=f(-2m+3),Vf(x)是

-1<m-2<1,

减函数，T<2m-3<1,

,m-2<-2m+3,

易错警示解题时若只考虑单调性，忽视了函数的定义域,则会得到的错误结

果.

3.答案-4或2

解析因为函数且f(a)=4,

所以踮=°；或｛：2：°4解得a=-4或a=2.

4.答案(-8,2]

解析根据题意，可知2-xN0,则xW2,

令t=，2-％,贝ljtNO,x=2-11

贝I］y=2_t2_t=_(t+3+［(t，0),

可知当t=0时,y取得最大值2,无最小值，

所以函数f(x)=x-V^7的值域为(-8,2］.

易错警示解题时利用换元得到新的函数后,应注意新函数的定义域.

5.答案［2,+8)

解析由x2+x-6^0得x，2或x<-3,设t=x2+x-6,贝|g(t)=Vt(t^O)^［0,+°°)

上单调递增,t=x2+x-6在(-8,一3］上单调递减,在［2,+8)上单调递增,所以

f(X)=7x2+X-6的单调递增区间是［2,+8).

解后反思求解函数的单调区间时,首先要考虑函数的定义域.

6.答案［2,|'

解析若函数、)=匕父?区］<1,在R上单调递增

(4-a>0,

则，之1,解得2WaW/

则实数a的取值范围是［2,|1

易错警示与分段函数有关的问题,解题时应注意分段点及分段点处的函数值.

7.答案2

解析在同一直角坐标系中画出y=-x+3,y=|x+|,y=x?-4x+3的图象,则f(x)的图

象如图中实线部分所示.

由图可得，f(X)min=f(1)=2.

8.ACD当a=0时,f(x)为反比例函数,A选项满足；

X

当a>0时，f(x)=ax+%为奇函数，易知f(x)在(0,区)上单调递减,在(区，+-U

单调递增,D选项满足；

当a〈0时，f(x)=ax+三为奇函数,且函数y=ax与y」在(0,+8)上均单调递减,故f(x)

XX

在(0,+8)上单调递减,C选项满足.故选ACD.

易错警示当参数的取值对函数的性质及图象产生影响时,应注意对参数进行分

类讨论.

9.解析(1)易知函数y=x2-kx-8的图象的对称轴方程为x=*

因为函数f(x)=x2-kx-8在定义域［5,10］内是单调函数,所以或geio,即

kWIO或k220,

所以实数k的取值范围是(-8,io］u［20,+8).

⑵当k<10时，函数f(x)=x2-kx-8在区间［5,10］上单调递增，

因此函数在区间［5,10］上的最小值是f(5)=17-5k=7,解得k=2;

当k220时，函数f(x)=x2-kx-8在区间［5,10］上单调递减，

因此函数在区间［5,10］上的最小值是f(10)=92-10k=7,解得k岑(舍去).

综上,存在k=2,使函数f(x)的最小值为7.

10.解析(1)当0〈xW2时，f(x)=±-x,为减函数，若f(x)为定义域上的单调函数，

X

则当x>2时，f(x)=-x2+(a+2)x-2a也为减函数,且f(x)Wf(2)=0,

“+22

故尸一’解得aW2.

t-22+2(a+2)-2a<0,

故a的取值范围为(-8,2］.

(2)易得f⑴=3,f(2)=0.

当a〈0时，f(2)=0>a,f(l)=3>a,不符合题意；

当0WaW2时，由⑴知f(x)为定义域上的减函数，仅有f(l)=3>a成立,符合题意;

当2<a<3时,在(0,2］上，仅有f(1)=3>a,

2

在(2,+8)上，f(x)的最大值为f(等)=处了<3a不存在X满足f(x)-a>0,符合

题意；

当3<a<7时,在(0,2］上,不存在整数x满足f(x)-a>0,

在⑵+8)上,不存在x满足f(x)-a>0,不符合题意.

444

综上所述,0<a<3.

思想方法练

1.A在函数f(x)=ax+工中，由a与工同号,可排除B、D,

aa

根据函数解析式的特点分析图象特点.

在选项A、C中，由f(x)的图象可知a>0,此时g(x)的图象应为开口向上的抛物线,

故选A.

2.答案Km<f

4

解析关于X的方程IX2-1l-x-m有4个不相等的实数根=函数y=|x2-l|的图象和

直线y=x+m有4个交点.

方程解的个数转化为直线与函数图象交点的个数，通过作图解决问题.

作出函数y=Ix2-l|的图象如图所示：

直线y=x+m过点(-1,0)时,m=l;

直线y=x+m与y=l-x?的图象相切时,x+m=l-x?有两个相等的实数根，即

A=1-4(m-l)=0,解得m=-.

4

由“形”一定性地确定直线y=x+m与y=|x2-l|的图象有4个交点时的位置，由“数”

定量地计算边界直线中m的值.

故1x2-l-x=m有4个不相等的实数根时,实数m的取值范围是Kmd

4

思想方法在解决函数问题时要注意数形结合思想的运用，利用函数图象直观地

研究函数的有关性质，可避免复杂的计算和推理,实现解题快速准确.

3.D由于f(x)・g(x)〈0,因此可就其中一个函数的符号进行分类讨论，如分

£(戏-W-和-工-(冬)22两种情况过论

当f(x)<0时,x£(-8,-1)u(0,1),此时需满足g(x)>0,则xe(-1,1),故

xe(0,1)；

当f(x)>0时,x£(-1,0)U(1,+8),此时需满足g(x)〈0,则

x£-1)U(1,+°°),故xQ(1,+8).

综上所述,不等式f(X)•g(x)<0的解集为(0,1)U(1,+℃).故选D.

4.解析⑴当x<0时，-x>0,可得f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,

又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),

所以当x<0时，f(x)=x?+2x,

所以

Lx2+2x,x<0.

(2)作出函数f(x)的图象如图：

\01/,,

34

Lx=i

可得f(x)的增区间为［1,+8),［-1,0］,减区间为(-8,—1］,［0,1］.

若函数f(X)在区间［a,a+2］上单调，

则［a,a+2］旦(-8,一1］或［a,a+2］&［1,+°°),即a+2WT或a21,解得a<-3或

a21,

故实数a的取值范围是{aa<-3或a21}.

⑶由于a的取值范围不同会影响函数f(x)的单调性，进而影响f(x)的最小值，故

应对a的取值范围进行分类讨论.

当T〈aW1时，l〈a+2W3,此时g(a)=f(1)=12-2Xl=-1；

当a>l时，f(x)在区间［a,a+2］上单调递增，所以g(a)=f(a)=a2-2a.

1,~1<a<1,

综上可知,g(a)=■

2a,a>1.

思想方法在含参函数中,参数的取值不同，函数的图象、性质可能有不同的变化,

解题时要依据题意对参数进行分类讨论.涉及分段函数时,要注意自变量的取值

范围对解题的影响.

5.B当x三。时,f(x)=x+y+l,则f(x)在[0,+8)上为增函数，且f(1)=1+1+1=3,

又函数f(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(x)W30f(|x|)⑴o|x|W1,

利用特殊值、函数的奇偶性、单调性，将不等式脱去“f”,进而解决问题.…

解得TWxWl,故f(x)W3的解集为[-1,1吊故选B.

思想方法转化与化归思想在函数中常见的运用：利用函数的奇偶性、单调性对

自变量的范围进行转化，将不等式恒(能)成立等问题转化为函数的最大(小)值问

题等.

6.答案-3

解析设g(x)=f(x)-l=ax3-bx,则g(x)的定义域为R,g(-x)=-ax3+bx=-g(x),故

g(x)为奇函数，

构造奇函数，利用奇函数的性质进行转化求值.

故g(-2)=-g(2),即f(-2)-l=-[f(2)-l],

即f(-2)=-f(2)+2=-5+2=-3.

7.解析由f(x)=2f(x+2)得f(x+2)=|f(x),则f(x)=|f(x-2).

当x£[-2,0)时，f(x)=-2(x+l)2+2,其最大值为2.

当x£[0,2)时,x-2G[-2,0),f(x)=|xf(x-2)=|x[-2(x-2+1)2+2]=-(x-1)2+l,

其最大值为1,

将x£[0,2）转化到已知解析式的自变量的取值范围，根据条件求出解析式.

同理，当x£⑵4)时，f(x)max=|,f(x