河南省洛阳市偃师实验高级中学高三数学理联考试题含解析

河南省洛阳市偃师实验高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中,已知,,E,F为BC的三等分点,则=A． B．

C．

D．参考答案：B2.已知复数z的共轭复数为，若||=4，则z?=(

) A．4 B．2 C．16 D．±2参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：先设出复数z=a+bi（a、b∈R），再求出共轭复数，由已知||=4，则z?的答案可求．解答： 解：设则=a﹣bi，∵||=，∴z?=（a+bi）?（a﹣bi）=a2+b2=42=16．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念及共轭复数的求法，是基础题．3.已知不等式对任意且恒成立，则正实数a的最小值为（

）A、2

B、4

C、6

D、8参考答案：B4.设为△内一点，若，有，则△的形状一定是（

）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定参考答案：B5.已知，那么 （）A． B． C． D．参考答案：C6.已知抛物线y2=4x上一动点M（x，y），定点N（0，1），则x+|MN|的最小值是（）A． B． C．﹣1 D．﹣1参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的焦点坐标为（1，0），M到准线的距离为d，则x+|MN|=d+|MN|﹣1=|MF|+|MN|﹣1≥|NF|﹣1=﹣1，即可得出结论．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（1，0），M到准线的距离为d，则x+|MN|=d+|MN|﹣1=|MF|+|MN|﹣1≥|NF|﹣1=﹣1，∴x+|MN|的最小值是﹣1．故选D．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线定义的运用，属于中档题．7.某厂一月份、二月份、三月份、四月份的利润分别为2、4、4、6（单位：万元），用线性回归分析估计该厂五月份的利润为

A．6.5万元

B．7万元

C．7.5万元

D．8万元参考答案：B8.在不等式组，所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出满足条件的平面区域，分别求出满足条件的三角形的面积，从而求出其概率．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：P（，），不等式组所表示的平面区域为RT△，其面积为×3×=，点M恰好落在第二象限表示的平面区域为一直角三角形，其面积是×1×1=，∴点M恰好落在第二象限的概率为P=，故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查几何概型，是一道中档题．9.已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则=（）A．﹣6 B．12 C．6 D．﹣12参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】建立坐标系，求出两向量的坐标，再计算数量积．【解答】解：以A为原点建立坐标系，如图所示：则A（0，0），B（6，0），M（6，2），N（3，6），∴=（6，2），=（﹣3，6），∴=﹣18+12=﹣6．故选A．10.下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是（）A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，则在点（2，f（2））处的切线方程为

．参考答案：y=﹣2x+8考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到f′（0）=2，再求出f（0），由直线方程的点斜式得答案．解答： 解：∵f（x）=，∴，∴f′（2）=﹣2，又f（2）=4，∴函数f（x）=在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣4=﹣2（x﹣2），即y=﹣2x+8．故答案为：y=﹣2x+8．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．12.已知(2,3),=(-1,5)，则=_________.参考答案：(-1,18)略13.在等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则公比=_____________.参考答案：略14.若复数是实数，则x的值为

．参考答案：-3略15.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为

．

参考答案：1616.已知函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为

.参考答案：17.将函数y=sin（x﹣），x∈R的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的解析式为．参考答案：y=sin（x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（x﹣），x∈R的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x﹣）的图象；再向左平移个单位，所得函数的解析式为y=sin[（x+）﹣]=sin（x﹣），故答案为：y=sin（x﹣）．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对于无穷数列{an}，{bn}，若－…，则称{bn}是{an}的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知{an}为无穷数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是{an}的“收缩数列”.（1）若，求{bn}的前n项和；（2）证明：{bn}的“收缩数列”仍是{bn}；（3）若，求所有满足该条件的{an}.参考答案：（1）（2）证明见解析（3）所有满足该条件的数列为【分析】（1）由可得为递增数列，，，从而易得；（2）利用，，可证是不减数列（即），而，由此可得的“收缩数列”仍是.（3）首先，由已知，当时，；当时，，；当时，（*），这里分析与的大小关系，，均出现矛盾，，结合(*)式可得，因此猜想（），用反证法证明此结论成立，证明时假设是首次不符合的项，则，这样题设条件变为（*），仿照讨论的情况讨论，可证明．【详解】解：（1）由可得递增数列，所以，故的前项和为.（2）因为，，所以所以.又因为，所以，所以的“收缩数列”仍是.（3）由可得当时，；当时，，即，所以；当时，，即（*），若，则，所以由（*）可得，与矛盾；若，则，所以由（*）可得，所以与同号，这与矛盾；若，则，由（*）可得.猜想：满足的数列是：.经验证，左式，右式.下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.法1：由上述时的情况可知，时，是成立的.假设是首次不符合的项，则，由题设条件可得（*），若，则由（*）式化简可得与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；所以，则，所以由（*）化简可得.这与假设矛盾.所以不存在数列不满足的符合题设条件.法2：当时，，所以即由可得又，所以可得，所以，即所以等号成立的条件是，所以，所有满足该条件的数列为.【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查学生创新意识．第（1）（2）问直接利用新概念“收缩数列”结合不等关系易得，第（3）问考查学生的从特殊到一般的思维能力，考查归纳猜想能力，题中讨论与大小关系是解题关键所在．本题属于难题．19.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：对第（1）问，由离心率得a与c的等量关系，由椭圆的通径长为，得a与b有等量关系，结合c2=a2﹣b2，消去c，即得a2，b2，从而得椭圆C的标准方程．对第（2）问，联立直线l与椭圆C的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理及中点公式，得x0及y0的表达式，用k，t表示直线MN的垂直平分线的方程，将P点坐标（0，﹣）代入，得k与t的等量关系．由弦长公式，得|MN|，由点到直线距离公式，得△MON底边MN上的高，从而得△MON面积的表达式，即可探求其面积的最大值．解答： 解：（1）设F（﹣c，0），由离心率知，a2=3c2=3（a2﹣b2），得3b2=2a2．…①易知，过F且与x轴垂直的直线方程为x=﹣c，代入椭圆方程中，得，解得y=±由题意，得，得．…②联立①、②，得，b2=2，故椭圆C的方程为．（2）由，消去y，整理，得（3k2+2）x2+6ktx+3t2﹣6=0，…③有△=24（3k2+2﹣t2）＞0，得3k2+2＞t2，…④设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理，得x1+x2=，，则x0=，，∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣=﹣（x+），将P点的坐标（0，﹣）代入上式中，得﹣﹣=﹣（0+），化简得：3k2+2=4t，代入④式中，有4t＞t2，得0＜t＜4．

|MN|===．设原点O到直线MN的距离为d，则，∴S△MON=?|MN|?d=?．==，当t=2时，S△MON有最大值，此时，由3k2+2=4t知，k=±，∴△MON面积的最大值为，此时直线l的方程为y=±x+2．点评：本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a2，b2的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“a2=b2+c2”运用．2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．20.

（12分）质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。

（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率；

（2）设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求的分布列及期望E。参考答案：解析：（1）不能被4整除的有两种情影：①4个数均为奇数，概率为……2分（2）4个数中有3个奇数，另一个为2，概率为…………4分故所求的概率为P……6分（2）的分布列为01234