四川省成都市温江中学高三数学文联考试题含解析

四川省成都市温江中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1=1．在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长．则当点P运动时，|HP|2的最小值是(

) A．21 B．22 C．23 D．25参考答案：B考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：建立空间直角坐标系，过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP，得出HP2=HM2+MP2；当MP最小时，HP2最小，利用空间直角坐标系求出MP2的最小值即可．解答： 解：建立空间直角坐标系，如图所示，过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP，则HM⊥PM，∴HP2=HM2+MP2；当MP最小时，HP2最小，过P作PN⊥CC′，垂足为N，设P（x，4，z），则F（1，4，3），M（4，4，3），N（0，4，z），且4≥x≥0，4≥z≥0；∵PN=PF，∴=x，化简得2x﹣1=（z﹣3）2；∴MP2=（x﹣4）2+（z﹣3）2=（x﹣4）2+2x﹣1=x2﹣6x+15≥6，当x=3时，MP2取得最小值，此时HP2=HM2+MP2=42+6=22为最小值．故选：B．点评：本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了空间中的距离的最值问题，是较难的题目．2.有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为A．

B．

C．

D．42参考答案：3.设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝

A．

B．

C．－

D．－参考答案：D略4.等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．10参考答案：C【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故选：C．5.已知某批电子产品的尺寸服从正态分布，从中随机取一件，其尺寸落在区间(3,5)的概率为(）（附：若随机变量X服从正态分布，则A.0.3174 B.0.2718 C.0.1359 D.0.0456参考答案：C【分析】由已知可得，再由求解．【详解】解：由已知，得，所以．故选：C．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于简单题．6.设集合，则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.已知平面向量夹角为，且，，则等于

A.

B.

C.

D.参考答案：8.在区间上随机取一个，则的值在到之间的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：几何概型，，答案A9.若复数在复平面内对应的点在第三象限,其中，i为虚数单位，则实数a取值范围为（

）A． B． C． D．参考答案：B在复平面内对应的点在第三象限，∴，解得a＜0．

10.已知过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点F（﹣c，0）和虚轴端点E的直线交双曲线右支于点P，若E为线段EP的中点，则该双曲线的离心率为（）A．+1 B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，P（c，2b），代入双曲线方程，即可转化求出该双曲线的离心率．【解答】解：由题意过双曲线的左焦点F（﹣c，0）和虚轴端点E的直线交双曲线右支于点P，若E为线段EP的中点，可得P（c，2b），由双曲线方程，可得=1，∴e=，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，则

=__________.参考答案：12.若复数满足（是虚数单位），则

.参考答案：13.若集合，集合,,,,，则

.参考答案：由得，即，所以，即，所以。14.设x，y满足约束条件，则的取值范围为

.参考答案：[－1，6]15.如右图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为____．

参考答案：

略16.在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是

．参考答案：{}【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，先由双曲线的方程分析可得m的取值范围，进而又由该双曲线的焦距为6，则有c=3，即=3，解可得m的值，结合m的范围可得m的值，用集合表示即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，则有，解可得m＞0，则有c=，又由该双曲线的焦距为6，则有c=3，即=3，解可得：m=﹣3或，又由m＞0，则m=；即所有满足条件的实数m构成的集合是{}；故答案为：{}．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意焦距是2c．17.已知向量,的夹角为45°，且||=1，||=，则|－|=____________．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，-1），设H是E上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。参考答案：解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

因此即

①

另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

MQ为线段OP的垂直平分线，

又

因此M在轴上，此时，记M的坐标为

为分析的变化范围，设为上任意点

由

（即）得，

故的轨迹方程为

②

综合①和②得，点M轨迹E的方程为

（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：

；

当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E1于。

再过H作垂直于的直线，交

因此，（抛物线的性质）。

（该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）。

当时，则

综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为

（3）由图3知，直线的斜率不可能为零。

设

故的方程得：

因判别式

所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。

又由E2和的方程可知，若与E2有交点，

则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。

因此，直线的取值范围是19.对于数列,若存在常数M>0,对任意,恒有，则称数列为数列.求证：⑴设是数列的前n项和,若是数列，则也是数列.⑵若数列都是数列，则也是数列.参考答案：证明：(1)∵｛Sn｝为数列，∴存在M>0,使

∴，又.

∴｛an｝也是数列.

(2)∵数列｛an｝｛bn｝都是数列，∴存在M,M'使得：

，对任意都成立.考虑

∴

同理，

∴

∴｛anbn｝也是数列.

20.（本小题满分12分）已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，，得到三棱锥，如图所示．（1）当时，求证：；（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．参考答案：解：（1）证明：根据题意，在中，，，所以，所以．因为是正方形的对角线，所以．因为，所以．（2）解法1：由（1）知，，如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，则有，，，．设，则，．又设面的法向量为，则即

所以，令，则．所以．因为平面的一个法向量为，且二面角的大小为，所以，得．因为，所以．解得．所以．设平面的法向量为，因为，则，即令，则．所以．设二面角的平面角为，所以．所以．所以二面角的正切值为．解法2：折叠后在△中，，在△中，．所以是二面角的平面角，即。在△中，，所以．如图，过点作的垂线交延长线于点，因为，，且，所以平面．因为平面，所以．又，且，所以平面．过点作作，垂足为，连接，因为，，所以平面．因为平面，所以．所以为二面角的平面角．在△中，，，则，，所以．在△中，，所以在△中，．所以二面角的正切值为．略21.（本题满分12分）已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线．(Ⅰ)求,,,的值；(Ⅱ)若时，≤，求的取值范围．参考答案：(Ⅰ)由已知得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,设函数==(),==,有题设可得≥0,即,令=0得,=,=-2,(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,(2)若,则=,∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,(3)若,则==<0,∴当≥-2时,≤不可能恒成立,综上所述,的取值范围为[1,].22.（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF.（1）求证：BD⊥平面AED；（4分）（2）求二面角F-BD-C的余弦值.（8分）参考答案：解析：

（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，∴又CB=CD,∴∴,即:BD⊥AD

………2分

又BD⊥AE