专题4.5因式分解的应用与阅读分析大题专练（重难点培优30题）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】（解析版）

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题4.5因式分解的应用与阅读分析大题专练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•江干区校级期中）【方法呈现】我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：x2+4x+5＝（x2+4x+4）﹣4+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1．【尝试应用】（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为3；（2）求代数式x2+10x+32的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．【拓展提高】（3）用长12m的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由．【分析】（1）由（x﹣1）2≥0，即可得出答案；（2）把x2+10x+32化为（x+5）2+7，即可得到答案；（3）设长方形的长为xm，则宽为（6﹣x）m，围成的长方形的面积是x（6﹣x）＝﹣x2+6x，通过上面的方法即可求出．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+3≥3，当（x﹣1）2＝0时，（x﹣1）2+3有最小值3．故答案为：3．（2）x2+10x+32＝（x2+10x+25）﹣25+32＝（x+5）2+7，∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7，∴当（x+5）2＝0即x＝﹣5时，（x+5）2+7的值最小，最小值是7．（3）设长方形的长为xm，则宽为（6﹣x）m，围成的长方形的面积是x（6﹣x）＝﹣x2+6x，∵﹣x2+6x＝﹣（x2﹣6x+9）+9＝﹣（x﹣3）2+9，又∵﹣（x﹣3）2≤0，∴﹣（x﹣3）2+9≤9，∴当﹣（x﹣3）2＝0即x＝3时，﹣（x﹣3）2+9的值最大，最大值是9，答：当围成边长为3m的正方形时面积最大，最大面积是9m2．2．（2021春•奉化区校级期末）因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，所以（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3，这说明x2+x﹣6能被x﹣2整除，同时也说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2时，因式x﹣2为0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：（1）多项式A能被x+4整除，商为2x﹣1，求多项式A；（2）已知x﹣2能整除x2+kx﹣14，求k的值．【分析】（1）根据被除式、除式、商的关系，可得算式（x+4）（2x﹣1），然后计算即可得到答案；（2）根据上面得出的结论，当x＝2时，x2+kx﹣14＝0，再求出k的值即可．【解答】解：（1）由题意，得，A＝（x+4）（2x﹣1）＝2x2﹣x+8x﹣4＝2x2+7x﹣4；（2）∵x﹣2能整除x2+kx﹣14，∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0，当x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，解得：k＝5．3．（2022春•婺城区期末）在当今“互联网+”的时代，密码与我们生活已经紧密联系在一起．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：先将一个多项式分解因式，再计算各因式所得的值，最后将各因式的值进行组合．如：将多项式x（x2﹣9）+2（x2﹣9）因式分解的结果为（x+2）（x+3）（x﹣3），当x＝15时，x+2＝17，x+3＝18，x﹣3＝12，此时，可获得密码171812或171218或181712等．根据上述方法，解答以下问题：（1）对于因式分解结果为（x+2）（x﹣1）的多项式，当x＝21时，用“因式分解”法获得的密码为2320，2023．（2）当x＝20，y＝2时，对于多项式x3﹣xy2，用“因式分解”法可以产生哪些数字密码（求出四个即可）？（3）已知多项式x3+ax2+bx+3因式分解成三个一次式，当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202224，求a，b的值．【分析】（1）把x＝21直接代入x+2和x﹣1，将两个数排序，从而获得密码．（2）先提公因式，然后用平方差公式将多项式因式分解，然后把x和y的值代入求得3个因式的值，然后把这3个数进行组合得出密码．（3）由密码得出三个一次因式的值分别为20，22，24，它们分别可以看成x﹣3，x﹣1，x+1，然后计算这3个因式的乘积，其结果与x3+ax2+bx+3相同，其多项式的二次项系数＝a，一次项系数＝b．【解答】解：（1）当x＝21时，x+2＝23，x﹣1＝20，此时，可获得密码2320，2023．故答案为：2320，2023．（2）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），当x＝20，y＝2时，x+y＝22，x﹣y＝18，此时，可获得密码202218，201822，182022，182220，222018，221820．（3）当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202224，∴x3+ax2+bx+3用“因式分解”法可以分解出的三个一次因式分别位（x﹣3），（x﹣1），（x+1），（x﹣1）（x+1）（x﹣3）＝（x2﹣1）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣x+3，∴a＝﹣3，b＝﹣1．4．（2022春•西湖区期末）（1）化简：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2．（2）利用（1）中的结果，计算a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，其中a＝98，b＝100，c＝102．（3）若a﹣b＝1，b﹣c＝2，a2+b2+c2＝7，求ab+bc+ac的值．【分析】（1）根据完全平方公式化简即可；（2）根据题意可得a﹣b＝﹣2，b﹣c＝﹣2，a﹣c＝﹣4，代入（1）中的等式，求值即可；（3）根据a﹣b＝1，b﹣c＝2，可得a﹣c的值，再运用（1）中的等式求值即可．【解答】解：（1）（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；（2）∵a＝98，b＝100，c＝102，∴a﹣b＝﹣2，b﹣c＝﹣2，a﹣c＝﹣4，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝4+4+16＝24，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝12；（3）∵a﹣b＝1，b﹣c＝2，∴a﹣c＝3，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝1+4+9＝14，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝7，∵a2+b2+c2＝7，∴ab+bc+ac＝0．5．（2022春•西湖区校级期中）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．请用配方法解决以下问题．（1）试说明：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数；（2）分解因式：a4+a2+1；（3）已知实数a，b满足﹣a2+5a+b﹣3＝0，求a+b的最小值．【分析】（1）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；（2）先利用配方法再利用平方差公式进行因式分解即可；（3）先表示出b＝a2﹣5a+3，再表示出a+b＝a2﹣4a+3，再利用配方法求解即可．【解答】解：（1）x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数；（2）a4+a2+1＝a4+2a2+1﹣a2＝（a2+1）2﹣a2＝（a2+a+1）（a2﹣a+1）；（3）∵﹣a2+5a+b﹣3＝0，∴b＝a2﹣5a+3，∴a+b＝a2﹣4a+3＝（a﹣2）2﹣1，∴当a＝2时，a+b有最小值为﹣1，∴a+b的最小值为﹣1．6．（2022春•拱墅区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”．（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？【分析】（1）按照新概念的定义，进行验证即可；（2）应用因式分解，把（2k+2）2﹣（2k）2化成4与整数的积的形式．【解答】解：（1）∵36＝102﹣82，2020＝5062﹣5042，∴36和2020是“和谐数”；（2）这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．理由如下：∵（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．7．（2021春•浦江县校级期末）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：x2+2x+2＝（x+1）2+1，在x＝﹣1时，取最小值1．（1）求代数式x2﹣4x的最小值．（2）﹣2x2﹣4x+5有最大还最小值，求出其最值．（3）求x2+的最小值．【分析】（1）直接用配方法即可；（2）二次项系数化1，然后用配方法；（3）注意＝1即可．【解答】解：（1）x2﹣4x＝x2﹣4x+4﹣4＝（x﹣2）2﹣4，在x＝2时，取最小值﹣4．（2）﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣2（x+1）2+7，在x＝﹣1时，取最大值7．（3）x2+＝x2+﹣2+2＝（x﹣）2+2．当时，取最小值2．8．（2021春•婺城区校级期中）阅读理解：对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如：n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字则得到132，这三个新三位数的和为213+321+132，值等于666，而666÷111＝6，所以F（123）＝6．（1）F（256）＝13；（2）若F（n）＝9，且300＜n＜330，求n的值；（3）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x+43，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k＝，当F（s）+F（t）＝20时，求k的最小值．【分析】（1）根据F（n）的定义计算即可；（2）设n＝100a+10b+c，根据F（n）的定义得a+b+c＝9，再根据“相异数”定义与n的取值范围，即可求出n的值；（3）先表示F（s）和F（t），根据F（s）+F（t）＝20，列方程，即可求出x和y的值，进一步求出k的值即可．【解答】解：（1）F（256）＝（526+265+652）÷111＝13，故答案为：13．（2）设n＝100a+10b+c，则F（n）＝（110c+10b+a+100b+10a+c＝100a+10c+b）÷111＝a+b+c＝9，∵300＜n＜330，∴a＝3，∴b+c＝6，根据“相异数”定义，∴b＝1，c＝5或b＝2，c＝4，∴n＝315或324．（3））∵s，t都是“相异数”，其中s＝100x+43，t＝150+y，∴F（s）＝（403+10x+340+x+100x+34）÷111＝x+7，F（t）＝（510+y+100y+51+105+10y）÷111＝y+6，∵F（s）+F（t）＝20，∴x+7+y+6＝20，得x+y＝7，根据“相异数”定义，x≠4，x≠3，y≠1，y≠5，∴x＝1，y＝6或x＝5，y＝2，∴F（s）＝1+7＝8，F（t）＝6+6＝12，或F（s）＝5+7＝12，F（t0＝2+6＝8，∴k＝＝或，∴k的最小值为．9．（2021春•吴兴区期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．实验目的：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．探索问题：（1）选取图①所示的正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图②的长方形，计算图②的面积，并写出相应的等式；（2）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内．（3）小明同学又用了x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a，b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（18a+45b）的长方形，那么x+y+z的值为2016．【分析】（2）正方形、长方形硬纸片共8块的面积等于长为a+3b，宽为a+b的矩形面积，所以a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）；（2）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为a+2b，宽为2a+b的矩形面积，则2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）；（3）利用多项式的乘法将该式展开，再对应找x，y和z的值，相加即可．【解答】解：（1）正方形、长方形硬纸片共8块的面积等于长为a+3b，宽为a+b的矩形面积，∴a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；（2）如图，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．（3）∵（25a+7b）（18a+45b）＝450a2+1251ab+315b2，∴用了450张边长为a的正方形，1251张边长为b的正方形，315张边长为a，b的长方形，∴x＝450，y＝1251，z＝315，∴x+y+z＝2016．故答案为：2016．10．（2021春•宁波期末）阅读理解并解答：【方法呈现】（1）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．则这个代数式x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1．【尝试应用】（2）求代数式﹣x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．【拓展提高】（3）将一根长300cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．【分析】（1）由题意不难看出其最小值为2，相应的x的值为﹣1；（2）根据（1）中的方法，不难求得结果；（3）可设一段铁丝长为xcm，则另一段长为（300﹣x）cm，然后列出式子进行求解即可．【解答】解：（1）∵x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴其最小值为2，这时相应的x的值为﹣1．故答案为：2，﹣1；（2）﹣x2+14x+10＝﹣（x2﹣14x+49﹣49）+10＝﹣（x﹣7）2+59，∵﹣（x﹣7）2≤0，∴﹣（x﹣7）2+59≤59，故代数式﹣x2+14x+10的最大值为59，相应的x的值为7，（3）有最小值，设一段铁丝长为xcm，则另一段长为（300﹣x）cm，由题意得：，当x＝150，两个正方形的面积之和有最小值．则另一段铁丝的长度为300﹣150＝150（cm）．11．（2021春•拱墅区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；则8、16、24这三个数都是奇特数．（1）填空：32是奇特数，2018不是奇特数．（填“是”或者“不是”）（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据32＝92﹣72，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，而2018＝2×1009，不是8的整数倍，进行判断．（2）利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数；（3）利用阴影部分面积为：S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12，进而求出即可．【解答】解：（1）∵32＝8×4＝92﹣72，∴32是奇特数，∵因为2018不能表示为两个连续奇数的平方差，∴2018不是奇特数，故答案为：是，不是；（2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．（3）S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）＝（99+97+95+…+3+1）×2＝×2＝5000．12．（2021春•镇海区期末）我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如（a+b）2＝a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证．（1）写出图2中所表示的数学等式：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2．（2）请你写出图3所能验证的数学等式，并利用你所学的多项式的乘法写出验证过程．（3）利用（2）得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式；（2）利用多项式法则即可求解；（3）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38作为整式代入即可求出．【解答】解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b）（3a+b），各小矩形部分的面积之和＝3a2+4ab+b2，故答案为：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；（2）等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（a+b+c）2＝（a+b+c）•（a+b+c）＝a2+ab+ac+ba+bc+ca+cb＝b2+c2+2ab+2ac+2bc＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（3）由（2）得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝112﹣2×38＝45．13．（2022春•鄞州区期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．现在用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为a2+2ab+b2＝（a+b）2（用含a，b的代数式表示）；（2）小敏用图1中的A、B、C三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；（3）如图3，C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，记正方形ACDE和正方形BCFG的面积分别为S1，S2，且S1+S2＝20，利用（1）中的结论求图中三角形ACF的面积．【分析】（1）图②的正方形的边长为（a+b），是由1张A卡片，1张B卡片，2张C卡片拼成的，根据面积法可得答案；（2）计算（2a+b）（a+2b）的结果可得答案；（3）设AC＝a，BC＝b，可得出a+b＝6，a2+b2＝20，由（1）的结论可求出ab，进而求出三角形的面积．【解答】解：（1）根据题意得，a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张；（3）设AC＝a，BC＝CF＝b则a+b＝6，∵S1+S2＝20，∴a2+b2＝20，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，∴S阴影＝ab＝4．14．（2022春•东阳市期末）教材中的探究：通过用不同的方法计算同一图形面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取图①中的正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）请根据图③写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算（x﹣2y﹣3）2；（2）若x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3，求x+y+z的值．（3）试借助图①的硬纸片，利用拼图的方法把二次三项式3a2+7ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内．【分析】（1）利用大正方形的面积＝3个小正方形的面积+6个矩形的面积可列出代数恒等式，再根据所写恒等式计算（x﹣2y﹣3）2；（2）将x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3代入（1）中所得结论．计算即可求得x+y+z的值；（3）画出图形，再分解即可．【解答】解：（1）由题意可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，则（x﹣2y﹣3）2＝x2+4y2+9﹣4xy﹣6x+12y；（2）由（1）得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，把x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3代入上式，得：（x+y+z）2＝1+2×3＝7，∴x+y+z＝±；（3）如图所示：3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）．15．（2022•柯城区校级开学）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图①，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，求ab+bc+ac的值．（3）如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．【分析】（1）图2大正方形的面积通过两种不同的方法计算，即可解答；（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答；（3）根据题意可得阴影部分的面积＝△BCD的面积+正方形ECGF的面积﹣△BGF的面积，进行计算即可解答．【解答】解：（1）图2大正方形的面积＝（a+b+c）2，图2大正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）由（1）可得：ab+bc+ac＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，∴ab+bc+ac＝×（102﹣38）＝×62＝31；（3）∵a+b＝10，ab＝20，∴阴影部分的面积＝a2+b2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab﹣b2＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2）﹣ab＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab＝×（102﹣2×20）﹣×20＝×60﹣10＝30﹣10＝20．16．（2022秋•鄞州区月考）学习材料：对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异位数”，将一个“异位数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．问题解决：（1）计算：F（243）＝9；F（617）＝14；（2）若n为“异位数”，则F（n）的最大值与最小值的差为18；（3）若m＝为“异位数”，且满足a＜b＜c，若F（m）＝8，则m＝125或134；（4）若s，t都是“异位数”，其中s＝100x+32，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是整数），规定：k＝，当F（s）+F（t）＝16时，k的值为．【分析】（1）根据定义进行计算即可；（2）当n的三位数字分别是9.8，7时，F（n）的值最大，当n的三位数字分别是1，2，3时，F（n）的值最小，分别求出相应的值即可求解；（3）根据题意可得a+b+c＝8，再由a＜b＜c，确定a、b、c的具体值即可；（4）由题意可得F（s）＝5+x，F（t）＝6+y，再由已知条件可得x+y＝5，根据x、y的取值范围确定具体的值后即可求解．【解答】解：（1）F（243）＝（234+423+342）÷111＝999÷111＝9，F（617）＝（671+716+167）÷111＝1554÷111＝14，故答案为：9，14；（2）当n的三位数字分别是9.8，7时，F（n）的值最大，此时F（n）＝7+8+9＝24，当n的三位数字分别是1，2，3时，F（n）的值最小，此时F（n）＝6，∴24﹣6＝18，∴F（n）的最大值与最小值的差为18，故答案为：18；（3）∵F（m）＝8，∴a+b+c＝8，∵a＜b＜c，∴a＝1，b＝2，c＝5或a＝1，b＝3，c＝4，∴m＝125或，mm＝134，故答案为：125或134；（4）∵s＝100x+32，∴F（s）＝x+3+2＝5+x，∵t＝150+y，∴F（t）＝1+5+y＝6+y，∵F（s）+F（t）＝16，∴11+x+y＝16，∴x+y＝5，∵x≠2，x≠3，y≠1，∴x＝1或x＝4，y＝2或y＝3或y＝4，∴x＝1，y＝4，∴s＝132，t＝154，∴F（s）＝6，F（t）＝10，∴k＝，故答案为：．17．（2021春•奉化区校级期末）现有足够多的甲、乙、丙三种卡片，如图1所示．（1）选用其中若干张卡片拼成一个长方形（图2）．①请用两种不同的方法表示长方形（图2）的面积（用含有a，b的代数式表示）．②若b＝a，且长方形（图2）的面积是35，求一张乙卡片的面积．（2）若从中取若干张卡片拼成一个面积为4a2+4ab+b2的正方形，求出拼成的正方形的边长．【分析】（1）①用大长方形的长乘以宽表示或用图中6个图形的面积和表示．②根据题意得（2a+b）（a+b）＝35，再代入b＝a，求得ab便可．（2）根据完全平方公式分解因式便可求得结果．【解答】解：（1）①大长方形的长是（2a+b），宽是（a+b），面积为（2a+b）（a+b）；大长方形面积等于图中6个图形的面积和为2a2+3ab+b2；②根据题意得，（2a+b）（a+b）＝35，∵b＝a，∴a（a+a）＝35，∴a＝2或﹣2（舍弃）∴b＝3，∴ab＝6，∴一张乙卡片的面积为6；（2）∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴拼成的正方形的边长为2a+b．18．（2021春•奉化区校级期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（只要写出一个即可）；（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②若三个实数x，y，z满足2x×4y×8z＝，x2+4y2+9z2＝40，求2xy+3xz+6yz的值．【分析】（1）根据图形，由面积的不同表示方法得出等式即可；（2）①先根据公式进行变形，再代入求出即可；②先求出x+2y+3z＝﹣4，再根据（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz）求出即可．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）＝112﹣2×38＝45；②∵2x×4y×8z＝，∴2x×22y×23z＝，∴2x+2y+3z＝2﹣4，∴x+2y+3z＝﹣4，∵（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz），x2+4y2+9z2＝40，∴（﹣4）2＝40+2（2xy+3xz+6yz），∴2xy+3xz+6yz＝﹣12．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．19．（2021春•奉化区校级期末）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2（1）写出由图2所表示的数学等式；（2）写出由图3所表示的数学等式；（3）已知实数a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1．求①ab+bc+ca的值；②a3+b3+c3﹣3abc的值．【分析】（1）大正方形的面积等于9个长方形的面积和；（2）图中阴影部分面积为正方形等于阴影部分面积等于大正方形面积减去8个长方形面积；（3）①将（1）式子变形ab+bc+ca＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再结合已知条件，将式子逐步代入，得到1＝3（a+b+c）﹣2（a3+b3+c3）+6abc，即可求解．【解答】解：（1）大正方形的面积为（a+b+c）2，9个长方形的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）图中阴影部分面积为正方形，则有（a﹣c﹣b）（a﹣b﹣c）＝（a﹣b﹣c）2，阴影部分面积等于大正方形面积减去8个长方形面积，即a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc，∴（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc；（3）①由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得ab+bc+ca＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，∴ab+bc+ca＝0；②∵（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，∴1＝a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc＝a3+b3+c3+3[b（1﹣b2）+a（1﹣a2）+c（1﹣c2）]+6abc1＝3（a+b+c）﹣2（a3+b3+c3）+6abc，∴1＝3﹣2（a3+b3+c3）+6abc，∴a3+b3+c3﹣3abc＝1．20．（2020秋•镇海区校级期中）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”．再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出2个四位“和谐数”，并猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由．（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字是x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字是y，用含x的代数式表示y．【分析】（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：，根据和谐数的定义得到a＝d，b＝c，则＝91a+10b为正整数，易证得任意四位“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：，则＝9x+y+为正整数．故y＝2x（1≤x≤4，x为自然数）．【解答】解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意四位“和谐数”形式为：，则满足：最高位到个位排列：a，b，c，d．个位到最高位排列：d，c，b，a．由题意，可得两组数据相同，则：a＝d，b＝c，则＝91a+10b为正整数．∴四位“和谐数”能被11整数，（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：，则满足：个位到最高位排列：z，y，x．最高位到个位排列：x，y，z．由题意，两组数据相同，则：x＝z，故，故为正整数．故y＝2x（1≤x≤4，x为自然数）．21．（2022秋•金凤区校级月考）阅读理解并解答：【方法呈现】（1）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．则这个代数式x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1．【尝试应用】（2）求代数式﹣x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．【拓展提高】（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．【分析】（1）利用非负数的性质确定代数式的最值；（2）先提出负号，再变形，最后确定最值；（3）变形等式，利用非负数的性质，求出a、b的值，再利用三角形的三边关系确定c边长的取值范围．【解答】解：（1）代数式x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1，故答案为：2，﹣1；（2）﹣x2+14x+10＝﹣（x2﹣14x﹣10）＝﹣[（x﹣7）2﹣49﹣10]＝﹣[（x﹣7）2﹣59]＝﹣（x﹣7）2+59，∵﹣（x﹣7）2≤0，∴﹣（x﹣7）2+59≤59，∴代数式﹣x2+14x+10有最大值59，相应的x的值为7；（3）∵a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2+b2﹣10a﹣8b＝﹣41，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2﹣25﹣16＝﹣41，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝﹣41+41，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，∵a﹣b＜c＜a+b，∴1＜c＜9，∵c是△ABC中最长的边，∴5＜c＜9．答：c的取值范围为5＜c＜9．22．（2022秋•九龙坡区校级期中）阅读下面材料：能被7整除的数的特征为：数字去掉个位数，减去原个位数的2倍，计算得到的差能被7整除；如126，因为12﹣6×2＝0，0能被7整除，所以126能被7整除：又如1001，因为100﹣1×2＝98，9﹣8×2＝﹣7，﹣7能被7整除，所以1001能被7整除；根据阅读材料的方法，解答下列问题：（1）如何判断364能否被7整除？（2）一个三位数的百位数字是2，个位数字是7，如果这个三位数能被7整除，那么这个三位数是多少？（3）说明为什么满足材料中特征的三位数可以被7整除．【分析】（1）根据能被7整除的数的特征即可求解；（2）设三位数的十位数字是x，可得方程20+x﹣7×2＝6+x，解方程即可求解；（3）设三位数为100a+10b+c，可得10a+b﹣2c＝7d（d为素数），得到100a+10b+c＝70d+21c＝7（10d+3c），从而求解．【解答】解：（1）因为36﹣4×2＝28，28能被7整除，所以364能被7整除；（2）设三位数的十位数字是x，∵20+x﹣7×2＝6+x，而这个三位数能被7整除，∴6+x＝7，或6+x＝14，解得x＝1，或x＝8，故这个三位数是217或287；（3）设三位数为100a+10b+c，依题意有10a+b﹣2c＝7d（d为素数），则100a+10b﹣20c＝70d，100a+10b+c＝70d+21c＝7（10d+3c），则100a+10b+c能被7整除．23．（2021秋•桐柏县月考）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为（2m+n）（m+2n）；（2）若每块小长方形的面积为20cm2，四个正方形的面积和为162cm2．①试求图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和；②求（m﹣n）2的值．【分析】（1）运用十字相乘即可．（2）①能够看懂图，数清楚虚线个数即可．②明白完全平方和与完全平方差的关系即可．【解答】解：（1）由图可知2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n），故答案为：（2m+n）（m+2n）；（2）①由题意知mn＝20，2m2+2n2＝162，解得：m2+n2＝81，nm＝20，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝121，∴m+n＝11，图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为6（m+n）＝66（cm）；②（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝81﹣40＝41．24．（2021秋•隆昌市校级月考）（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式．利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1．分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）．（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式；（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式；（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由；（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．【分析】（1）仿照题中例题进行配方求解；（2）仿照题中例题进行配方分解因式；（3）先仿照题中例题进行配方，再根据非负数的性质求出a，b，c的值进行判断；（4）先仿照题中例题进行配方，再根据非负数的性质进行判断．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9；（2）原式＝x2﹣2x+1﹣1﹣35＝（x﹣1）2﹣62＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6）＝（x+5）（x﹣7）；（3）△ABC为等边三角形，理由如下：∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+b2﹣2b+1+3（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，∴a＝b，b＝1，c＝1，∴a＝b＝c，△ABC为等边三角形；（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．25．（2021春•萧山区校级月考）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，ab+bc+ac＝27，求a2+b2+c2的值；（3）如图3，有足够多的边长为a的大正方形纸片、边长为b的小正方形纸片以及长为a宽为b的长方形纸片，取若干张（三种图形都要取到）拼成一个长方形．①若面积为（2a+b）（a+3b），则取了边长为b的小正方形纸片3张；②若用6张边长为a的大正方形纸片，3张边长为b的小正方形纸片，11张长为a宽为b的长方形纸片恰好拼成一个正方形，求实数a，b满足的关系式．【分析】（1）本题结合给出的图形，利用长方形的面积公式和因式分解即可．（2）结合（1）中的结论，代入数据即可．（3）①求边长为b的小正方形的张数即求b2的系数．②将面积和利用十字相乘法进行分解因式，让两个括号内的值相等即可．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）由（1）可知，a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc），又∵a+b+c＝10，ab+bc+ac＝27，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）＝102﹣2（ab+ac+bc）＝100﹣2×27＝46；（3）①（2a+b）（a+3b）＝2a2+6ab+ab+3b2＝2a2+7ab+3b2，∴取了边长为b的小正方形纸片3张，故答案为：3；②由题意可知，6a2+11ab+3b2＝（3a+b）（2a+3b），∵拼成的是正方形，∴3a+b＝2a+3b，∴a＝2b．26．（2021春•鼓楼区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以，F（123）＝6．（1）计算：F（243），F（761）的值；（2）已知一个相异数p，且p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均为小于10的正整数），则F（p）＝a+b+c，（3）若m，n都是“相异数”，其中m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数），若k＝，当F（m）+F（n）＝16时，求k的值．【分析】（1）利用已知条件及方法代数求解（2）百位数的表示方法（3）利用前两问的方法表示F（m），F（n）．利用F（m）+F（n）＝16，求解不定等式中x与y的值．进而求出F（m），F（n）的值．【解答】解：（1）F（243）＝（423+342+234）÷111＝9，F（761）＝（671+167+716）÷111＝14．（2）∵相异数p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均为小于10的正整数），∴F（p）＝[100（a+b+c）+10（a+b+c）+（a+b+c）]÷111＝a+b+c故答案为：a+b+c（3）∵m，n都是“相异数”，且m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数），∴F（m）＝[100（x+2+3）+10（x+2+3）+（x+2+3）]÷111＝x+5，F（n）＝（51y+y51+1y5）＝[100（1+5+y）+10（1+5+y）+（1+5+y）]÷111＝6+y又∵F（m）+F（n）＝16∴x+y＝5．又∵1≤x≤9，1≤y≤9∴当x＝1，y＝4当x＝2，y＝3当x＝3，y＝2当x＝4，y＝1．又∵m，n都是“相异数”，∴x≠2，x≠3，y≠1∴x＝1，y＝4∴F（m）＝6，F（n）＝10∴k＝6÷10＝0.6故k＝0.627．（2020秋•天元区期中）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝（m+1）（m﹣5）．（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．【分析】（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．故答案为（m+1）（m﹣5）；（2）2a2+3b2﹣4a+12b+18＝2（a2﹣2a）+3（b2+4b）+18＝2（a2﹣2a+1）+3（b2+4b+4）+4＝2（a﹣1）2+3（b+2）2+4，当a＝1，b＝﹣2时，2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，最小值为4；（3）∵a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27＝a2﹣4a（b+1）+4（b+1）2+（b﹣2）2+19＝（a﹣2b﹣2）2+（b﹣2）2+19，∴当a＝6，b＝2时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值19．28．（2022秋•密云区期末）阅读材料，解决问题．数学活动课上，晓文同学提出一个猜想：一个两位数，其十位数字大于个位数字，且个位数字不为0．将它的十位数字和个位数字交换位置之后，得到一个新的两位数．那么原数与新数的差