(初三)14角平分线、中点有关辅助线

角平分线、中点有关辅助线一、角平分线有关常见辅助线1、角平分线定理：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。2、角平分线逆定理：在一个角的内部〔包括顶点〕，且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。ABCMP∟Q12∟〔1〕假设∠1=∠2，那么MP=MQ〔2〕假设MP=MQ，那么∠1=∠2一、角平分线有关常见辅助线3、与角平分线垂直得等腰12∟ABCD假设∠1=∠2，AD⊥BC那么AB=AC，且点D为BC的中点4、角平分线+平行线得等腰A123BC假设∠1=∠2，AC//BD那么∠2=∠3∴∠1=∠3∴AB=ACD12D学以致用核心透析例1.如图，ΔABC中，过点A分别作∠ABC,∠ACB的外角的平分线的垂线AD,AE,D,E为垂足；求证：〔1〕ED//BC；〔2〕ED=〔AB+AC+BC〕；〔2〕∵DE=MN，BA=BM，CN=CA又∵MN=BM+BC+CN∴DE=〔BM+BC+CN〕=〔AB+BC+AC〕证明〔1〕延长AD，CB交于点M；延长AE，BC交于点N∵BD平分∠ABM，BD⊥AM∴BA=BM，点D为AM的中点同理可证：CA=CN，点E为AN的中点∴DE为△AMN的中位线∴DE//BC，DE=MN考查知识点：垂直角平分线得等腰以及三角形的中位线定理思维点拨：有与角平分线垂直→等腰三角形，中点例2.如图，在△ABC中，AB＞BC，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分线交于点G．〔1〕图中是否有相等的线段？假设有，请写出相等的线段，并证明．〔2〕图中线段AC是否等于其他两条线段的和？假设有，请写出等式，并证明；假设无，请说明理由．证线段相等又想到证三角形全等。题目中出现角平分线，我们就想到什么呢？就想到角平分线定理和逆定理，因此做出辅助线。∟∟NM证明〔1〕：过点G作GN⊥AB，GM⊥BC，垂足分别为点N，M∵点G是∠BAC，∠ACB的平分线的交点∴GM=GN∵∠B=60°∴∠1+∠3=∠2+∠3=120°∴∠1=∠2又∵∠GNF=∠GME=90°∴△GNF≌△GME〔ASA〕∴GE=GFABCFEG∟P过G点作GP⊥AC，垂足为点P

那么GP=GN，又∵AG公共，∴RT△AGN≌RT△AGP∴AP=AN同理可证：RT△GPC≌RT△GMC∴PC=MC∴AC=AP+PC=AN+CM=AF+FN+CE-EM又∵FN=EM∴AC=AF+CE学以致用231B例3.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．〔1〕求证：EO=FO；〔2〕当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．思维点拨：角平分线+平行线可以得到什么呢？等腰三角形〔1〕证明：∵CE平分∠BCA∴∠1=∠2∵MN//BC∴∠2=∠3∴∠1=∠3∴CO=EO同理可证：CO=FO∴EO=FO123思维点拨：证矩形，先证是平行四边形，再证一个角是直角或证对角线相等〔2〕当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形证明：∵点O为AC中点∴AO=CO，又∵EO=FO∴四边形AECF为平行四边形∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∠1=∠2，∠3=∠4∴∠1+∠4=90°即∠ECF=90°∴四边形AECF为矩形45考查知识点：角平分线+平行线得等腰三角形及矩形的证明学以致用6例5.〔2011黄冈中考〕如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，假设∠BPC=40°，求∠CAP．EFG∟∟∟思维点拨：由角平分线性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以作如图辅助线解：过P点作PE⊥BD，PF⊥BA，PG⊥AC垂足分别为点E，F，G∵∠1=∠2+∠BPC，∠ACD=∠ABC+∠BAC又∵∠1=∠ACD，∠2=∠ABC∴∠BPC=∠BAC，∴∠BAC=80°又由角平分线性质可知：PD=PF，PD=PG∴PG=PF，又∵PA=PA，∴RT△PGA≌RT△PFA〔HL〕∴∠3=∠4又∵∠3+∠4+∠BAC=180°∴∠3=∠4=50°即∠CAP=50°1234考查知识点：三角形外角定理，角平分线定理及全等三角形学以致用一、中点有关常见辅助线1、三线合一2、直角三角形斜边中线等于斜边一半3、中位线4、倍长中位线例4.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是的BC、AD中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，那么∠BME=∠CNE，〔不需证明〕．〔温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．〕问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC，AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，假设∠EFC=60°，连结GD，判断△ADG的形状并证明．思维点拨:由题目提示，利用三角形中位线，作如下辅助线，可证△OMN为等腰三角形G学以致用H思维点拨：由前面两问提示，我们仍然连接BD，取BD的中点H，连结HE，HF看看能得到什么?△AGD为RT△证明：连结BD，取BD的中点H，连结HF，HE∵点F为AD中点,∴HF//AB且HF=AB同理可证：HE//CD且HE=CD∵AB=CD∴HE=HF∴∠HFE=∠HEF=∠EFC=60°∴∠AFG=∠EFC=60°，∠AGF=HFE=60°∴△AFG为等边三角形∴GF=AF=DF,∴∠AGD=90°，即△AGD为RT△归纳小结：考查了三角形中位线，等边三角形的证明及在三角形中一边中线等于这一边一半的三角形为RT△学以致用例6．△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，BE的延长线交AC于F，且AF＝EF.求证：BE＝ACG321思维点拨:中点辅助线的常规作法，以及证两条线段相等的常规方法有哪些呢？证明：延长AD至点G，使AD=GD∵AD是BC边上的中线∴BD=CD∵∴△ADC≌△BDG〔SAS〕∴∠1=∠G，AC=BG∵AF=EF∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3∴∠G=∠3考查知识点：倍长中线，三角形全等及等腰三角形的等边对等角∴BE=BG∴BE=AC学以致用三、中垂线常见辅助线1、线段的垂直平分线定理2、线段垂直平分线逆定理线段垂直平分线上的点，到线段的两个端点距离相等到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上ABC思维点拨：由垂直平分线→DB=DA，而证线段相等那么想到证三角形全等。证明:连接AD∵DH垂直平分AB∴BD=AD∴∠DAB=∠B=22.5°∴∠ADE=45°又∵AE⊥BC，∴AE=DE∵DF⊥AC∴∠C+∠EDG=90°，又∵∠C+∠CAE=90°∴∠EDG