广东省揭阳市古溪中学高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省揭阳市古溪中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对任意实数，定义运算“⊙”：设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是（A） （B）

（C）

（D）参考答案：D2.函数的最小正周期为，且．当时，那么在区间上，函数的零点个数是（

）A. B. C. D.参考答案：D3.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知则（

）A．B．

C．D．参考答案：C5.已知ω＞0，在函数y=4sinωx与y=4cosωx的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则ω的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据正弦线，余弦线得出交点（（k1π+，2），（（k2π+，﹣2），k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可．【解答】解：∵函数y=4sinωx与y=4cosωx的图象的交点，∴根据三角函数线可得出交点（（k1π+，2），（（k2π+，﹣2），k1，k2都为整数，∵距离最短的两个交点的距离为6，∴这两个交点在同一个周期内，∴36=（﹣）2+（﹣2﹣2）2，ω=，故选：D．6.若，且，则下列不等式成立的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略7.等比数列{an}的前n项和为Sn，且、、成等差数列，若，则（

）A.15 B.16 C.31 D.32参考答案：C【分析】设等比数列的公比为，根据题意得出关于的二次方程，求出的值，然后利用等比数列求和公式可求出的值.【详解】设等比数列的公比为，由于、、成等差数列，且，，即，即，解得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是计算出等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础题.8.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量=(m,n),=(3,6),则向量与共线的概率为（） A． B． D．参考答案：D略9.数列满足，，则的整数部分是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B考点：数列的裂项相消法及运用.【易错点晴】数列的通项和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以数列的递推关系式为背景考查的是数列的有关知识和不等式的性质及运用.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,依据题设与已知将其化为,进而求得,借助不等式的性质求得,使得问题获解.10.在直三棱柱ABC—ABC中，分别为棱AC、AB上的动点（不包括端点），若则线段DF长度的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为．参考答案：﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；对数的运算性质．【分析】要求log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014，需求x1?x2?…?x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：对y=xn+1（n∈N*）求导，得y′=（n+1）xn，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），不妨设y=0，，则x1?x2?x3…?xn=×…×=，从而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015（x1?x2…x2014）=．故答案为：﹣1．12.已知f（x）=4x+1，g（x）=4﹣x．若偶函数h（x）满足h（x）=mf（x）+ng（x）（其中m，n为常数），且最小值为1，则m+n=．参考答案：考点：函数最值的应用；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数是偶函数，确定m=n，利用基本不等式求最值，确定m的值，即可得到结论．解答：解：由题意，h（x）=mf（x）+ng（x）=m4x+m+n4﹣x，h（﹣x）=mf（﹣x）+ng（﹣x）=m4﹣x+m+n4x，∵h（x）为偶函数，∴h（x）=h（﹣x），∴m=n∵h（x）=m（4x+4﹣x）+m，4x+4﹣x≥2∴h（x）min=3m=1

∴m=∴m+n=故答案为：点评：本题考查函数的奇偶性，考查基本不等式的运用，考查函数的最值，属于中档题．13.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记。当为钝角时，则的取值范围是

。参考答案：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则有，，，，则，得，所以，显然不是平角，所以为钝角等价于，即，即，解得，因此的取值范围是。14.已知定义在R上的函数满足，当时，，则

．参考答案：4考点：周期性和对称性因为

所以函数的周期为2．

所以

故答案为：415.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝________.参考答案：－316.已知向量，且，则实数

．参考答案：解：．由17.．给出下列等式：观察各式：，则依次类推可得

；参考答案：18观察各式得出规律：第n个式子右边的数是第n-1个和第n-2个式子右边的数的和，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分13分）已知｛｝是等差数列，其前项和为，｛｝是等比数列，且==2,,-=10（I）求数列｛｝与｛｝的通项公式；（II）记=+，（n,n>2）。参考答案：19.(本题12分)已知椭圆C:（）的离心率=，且过点M（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C长轴两端点分别为A、B,点P为椭圆上异于A、B的动点，定直线与直线PA、PB分别交于M、N两点，又E(7，0)，过E、M、N三点的圆是否过轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.参考答案：(1)(2)过定点（1,0）【知识点】椭圆及其几何性质直线与圆锥曲线解析：（1）………5分(2)设PA,PB的斜率分别为,，则………7分则PA:，则

PB:,则又，………10分设圆过定点F(m,o),则，则m=1或m=7(舍)故过点E、M、N三点的圆是以MN为直径的圆过点F（1,0）………12分【思路点拨】(1)由已知条件易求a,b值，从而得方程.（2）由题意分析即直线的斜率之间满足关系，即可求解.20.选修4-1：几何证明选讲如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M,N是圆上两点，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM＝MN＝NC＝1，求AB的长和⊙O的半径．

参考答案：解析：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，∴∠BAC＝90°，AB2＝BM·BN.∵BM＝MN＝NC＝1，∴2BM2＝AB2，∴AB＝.………4分∵AB2＋AC2＝BC2，∴2＋AC2＝9，AC＝.∵CN·CM＝CD·CA，∴2＝CD·，∴CD＝.∴⊙O的半径为(CA－CD)＝.………10分

略21.函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3），（0＜a＜1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求a的值．参考答案：【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的结构，真数大于零求两部分交集．（2）根据对数函数的单调性判断函数取得最小值时x的值，列出关于a的方程，解出即可．【解答】[解析]（1）要使函数有意义：需满足，解得：﹣3＜x＜1，所以函数的定义域为（﹣3，1）．（2）因为0＜a＜1，﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，所以f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）=loga[﹣（x+1）2+4]≥loga4，由loga4=﹣2，得a﹣2=4，∴a=．【点评】本题考察函数定义域的求法、对数的运算性质、对数函数的单调性，考察较多，但较为简单，属基础题．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a2﹣b2=c2求解a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程是；（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设A（x1，y