山西省太原市重机中学高三数学理期末试题含解析

山西省太原市重机中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式成立的充分不必要条件是（

） A．x>-1

B．x>l

C．-l<x<0或x>l

D．x<-1或0<x<l参考答案：【知识点】充分、必要条件A2B解析：由不等式得，得－1＜x＜0或x＞1，所以选B.【思路点拨】由充分不必要条件的含义可知所求的选项为不等式解集的真子集，进行判断即可.2.己知函数f(x)的定义域是，对任意的，有.当时，.给出下列四个关于函数的命题：①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)是周期函数；③函数f(x)的全部零点为，；④当算时，函数的图象与函数f(x)的图象有且只有4个公共点.其中，真命题的个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】由周期函数的定义得到②正确；，可以得到函数不是奇函数，故①错误；，又是周期为2的函数，可得③正确；求出的根即可判断④错误，从而得解.【详解】∵对任意的，有，∴对任意的，，∴是周期为2的函数，∴，又∵当时，，∴，∴函数不是奇函数，故①错误，②正确.当时，，∴，又∵是周期为2的函数，∴函数的全部零点为，，故③正确.∵当时，，令，解得（舍）或；当时，，令，则，解得或（舍）；当时，，令，则，解得或（舍），∴共有3个公共点，故④错误.因此真命题的个数为2个.故选：【点睛】本题主要考查函数性质的综合运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是()A.c≥b>a

B.a>c≥b

C.c>b>a

D.a>c>b参考答案：A4.设函数的定义域A，函数y=ln(1－x)的定义域为B，则A∩B=（A）（1,2）

（B）(1，2]

（C）（-2,1）

（D）[-2,1)参考答案：D由得，由得，故，选D.5.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围为（

）A．B．C．D．参考答案：D6.函数的图象大致是A. B.C.

D.参考答案：A本题主要考查函数的图像与性质，考查了分析问题与解决问题的能力.由函数的奇偶性的定义可知，函数是奇函数，故排除C；令x=2，y>0,排除D；令,y<0,排除B，故答案为A.7.“”是“”

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略8.设是虚数单位，则等于（

）A、0

B、

C、

D、参考答案：D略9.cos300°=

(

）A．-

B．-

C．

D．参考答案：C10.已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比q是小于1的正有理数。若，且是正整数，则q的值可以是（

）

A.

B.-

C.

D.-参考答案：C由题意知，，所以，因为是正整数，所以令，为正整数。所以，即，解得，因为为正整数，所以当时，。符合题意，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若在区间[0,1]上存在实数x使2x（3x+a）<1成立,则a的取值范围是

。参考答案：（-∞，1）【知识点】函数的单调性与最值B32x（3x+a）＜1可化为a＜2-x-3x，

则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2-x-3x）max，

而2-x-3x在[0，1]上单调递减，∴2-x-3x的最大值为20-0=1，∴a＜1，

故a的取值范围是（-∞，1）.【思路点拨】2x（3x+a）＜1可化为a＜2-x-3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2-x-3x）max，利用函数的单调性可求最值．12.数列满足的前80项和等于___________参考答案：略13.已知，，则与的夹角为

.参考答案：（）

本题考查了平面向量数量积的运算，难度较小。根据已知条件，去括号得：，

14.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有30人，则的值为．参考答案：100略15.双曲线的渐近线方程为_____；离心率为______.参考答案：由双曲线的方程可知双曲线的焦点在轴，，所以，即，所以双曲线的渐近线为，离心率。16.设函数fa（x）=|x|+|x﹣a|，当a在实数范围内变化时，在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一fa（x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得函数fa（x）=|x|+|x﹣a|（当a在实数范围内变化）的图象，进而可得在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一fa（x）的图象上的点单位圆的，由圆的面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数fa（x）=|x|+|x﹣a|，当a变化时，其图象为在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一fa（x）的图象上的点单位圆的，则其面积S=×π=；故答案为：．【点评】本题考查函数的图象，关键是分析函数fa（x）=|x|+|x﹣a|（当a在实数范围内变化）的图象．17.若复数满足：，则在复平面内，复数z对应的点坐标是_____________.参考答案：(4，－2)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数

（1）若函数上为单调增函数，求a的取值范围；

（2）设参考答案：解：（I） 因为上为单调增函数，所以上恒成立.所以a的取值范围是 即证只需证 略19.（14分）已知函数（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若存在单调递减区间，求的取值范围；(Ⅲ)当时，设函数的图象与函数的图象交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，则是否存在点R，使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行？如果存在，请求出R的横坐标，如果不存在，请说明理由.

参考答案：解析：（I）解：当时，则，的定义域为，令＝0，得

………2分当时，，在上是单调递增；当时，，在上是单调递减；所以，函数的单调递增区间为；单调递减区间为.

…………

4分（II）b=2时，则因为函数存在单调递减区间，所以＜0有解.即当x＞0时，则.

…………5分①当a＝0时，为单调递增的一次函数，＞0在（0，+∞）总有解.②当a＞0时，为开口向上的抛物线，＞0在（0，+∞）总有解.③当a＜0时,为开口向下的抛物线,而＞0在（0，+∞）总有解.则△=4+4a＞0，且方程=0至少有一个正根，此时，－1＜a＜0综上所述，a的取值范围为（－1，+∞）

…………9分（III）证：设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1点在M处的切线斜率为C2点N处的切线斜率为

………………10分假设C1点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2即则

.设，则①

…………

12分令则因为t>1时，，所以r(t)在上单调递增.故则.这与①矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

…………14分

20.（04年全国卷Ⅱ）(12分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝，若∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．参考答案：解析：（I）C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1+x2=6,x1x2=1，=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.cos<>=所以与夹角的大小为-arccos.(II)由题设知得：(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1)，即由(2)得y22=λ2y12,∵y12=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1…………(3)联立(1)(3)解得x2=λ.依题意有λ>0.∴B(λ,2)或B(λ,-2)，又F(1,0),得直线l的方程为(λ-1)y=2(x-1)或(λ-1)y=-2(x-1)当λ∈[4,9]时，l在y轴上的截距为或-由=，可知在[4，9]上是递减的，∴，--直线l在y轴上截距的变化范围是21.（12分）一张半径为4的圆形纸片的圆心为F1，F2是圆内一个定点，且F1F2=2，P是圆上一个动点，把纸片折叠使得F2与P重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与半径PF1的交点为Q，当P在圆上运动时，则Q点的轨迹为曲线E，以F1F2所在直线x为轴，F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与x轴的交点为A1，A2（A1在A2左侧），与x轴不重合的动直线l过点F2且与E交于M、N两点（其中M在x轴上方），设直线A1M、A2N交于点T，求证：动点T恒在定直线l′上，并求l′的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可知：丨QF1丨+丨QF2丨=丨PF1丨＞R＞丨F1F2丨，由椭圆的定义及性质，即可求得曲线E的方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得xT，即可求得l′的方程．【解答】解：（1）由题意CD垂直平分PF2，则丨QF1丨+丨QF2丨=丨QF1丨+丨QP丨=丨PF1丨＞R＞丨F1F2丨，∴Q的轨迹为以F1，F2为焦点，长轴长2a=4的椭圆，焦距2c=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴动点Q的轨迹方程为：；（2）由A1（﹣2，0），A2（2，0），设直线l方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），T（xT，yT），由，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由M在x轴上方，y1＞0＞y2，则y1﹣y2==，则A1M，A2N的方