湖南省岳阳市城南中学高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省岳阳市城南中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数,是的共轭复数,则等于(

)A.16

B.4

C.1

D.参考答案：C2.已知向量的形状为

(

)A．直角三角形 B．等腰三角形

C．钝角三角形

D．锐角三角形参考答案：C，所以为钝角

答案C3.函数的图象可能是下面的图象(

)A. B. C. D.参考答案：C因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B．当时，，所以，排除D．选C．4.命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0参考答案：C略5.，复数=

(

) A. B. C. D.参考答案：A因为，可知选A6.点P在边长为2的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【专题】应用题；数形结合；综合法；概率与统计．【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】解：满足条件的正方形ABCD，如图示其中满足动点P到定点A的距离|PA|＜1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积S正方形=4阴影部分的面积S阴影=故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P=故选：B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．7.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用正弦函数的周期性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx=sin（2x++φ）的图象，∴+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）．由于当x=时，函数f（x）=0，故A不满足条件，而C满足条件；令x=，求得函数f（x）=sin=，故B、D不满足条件，故选：C．8.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，且这两点的横坐标之和为，则满足条件的直线（

）（A）有且只有一条

（B）有两条

（C）有无穷多条

（D）必不存在参考答案：B【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准的方程和几何性质.【正确选项】C【试题分析】由已知得抛物线的焦点坐标为，当轴时，不符合题意，故直线的斜率为k,则，联立，设，因为，所以，故答案为B.9.如图，在矩形OABC内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为()A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据定积分的应用，得到阴影部分的面积为，再由题意得到矩形的面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果.【详解】由题意，阴影部分的面积为，又矩形的面积为，所以在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为.故选B【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型.10.已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与M的交集，即可确定出交集中元素的个数．【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即P={x|﹣1≤x≤2}，∵M={﹣1，0，3，4}，∴P∩M={﹣1，0}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.公差为1的等差数列满足，则的值等于

。参考答案：1812.观察下图：则第________行的各数之和等于20132参考答案：、1007略13.已知函数f（x）=2lnx+bx，直线y=2x﹣2与曲线y=f（x）相切，则b=

．参考答案：0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，把切点横坐标分别代入曲线和直线方程，由纵坐标相等得一关系式，再由切点处的导数等于切线的斜率得另一关系式，联立后求得b的值．【解答】解：设点（x0，y0）为直线y=2x﹣2与曲线y=f（x）的切点，则有2lnx0+bx0=2x0﹣2

（*）∵f′（x）=+b，∴+b=2（**）联立（*）（**）两式，解得b=0．故答案为：0．14.已知是抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中点为，则的面积为

参考答案：215.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中．如图，点F0,F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2，分别是“果圆”与x，y轴的交点． （I）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则“果圆”的方程为

;（II）当|A1A2|>|B1B2|时，的取值范围是

. 参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）16.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.参考答案：617.某班级54名学生第一次考试的数学成绩为，其均值和标准差分别为90分和4分，若第二次考试每位学生的数学成绩都增加5分，则这54位学生第二次考试数学成绩的均值与标准差的和为

分参考答案：99三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，（其中是自然对数的底，）．求的解析式；设，求证：当时，且，恒成立；是否存在实数，使得当时，的最小值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．（参考公式：（））参考答案：（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以故函数的解析式为

…2分（2）证明：当且时，，设因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以

…4分

又因为，所以当时，，此时单调递减，所以

…5分所以当时，即

…6分（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，因为

…7分（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，，不满足最小值是３

…8分（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３

…9分（ⅲ）当，由于，则，故函数是上的增函数．所以，解得（舍去）…10分（ⅳ）当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，此时函数是增函数．所以，解得

…12分综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３……………13分19.（12分）已知函数。（I）若函数在处有极值-6，求的单调递减区间；（Ⅱ）若的导数对都有求的范围。参考答案：解析：（I）

依题意有

………2分

即

解得

…………4分

由，得

的单调递减区间是

………6分

（Ⅱ）由

得

………8分

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：

由

得

………8分

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：

由

得

点的坐标为（0，-1）．

………………10分

设则表示平面区域内的点（）与点

连线斜率。

由图可知或，

即……………12分20.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123Pab

（1）求m，n的值；（2）求X的数学期望．参考答案：解（1）由题意，得

又，解得，（2）由题意，

21.在斜三棱柱中，，，又顶点在底面上的射影落在上，侧棱与底面成角，为的中点.（1）求证：；（2）如果二面角为直二面角，试求侧棱与侧面的距离.参考答案：⑴……4分

(2)为二面角的平面角，故，又为与底面所成的角，从而，设侧棱长为，由于，则，类似地.在中，，即.

……………………8分这样为等边三角形，取的中点，以为原点，如图建立空间直角坐标系.易知，故，设面的法向量为，则，可取，又，，故点到侧面的距离为，而侧面，故与侧面的距离为.…12分（本小题也可利