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文档简介
山东省临沂市文星实验中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.下列函数在区间上是增函数的是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B2.设定义域、值域均为的函数的反函数,且,则的值为
A.2
B.0
C.
D.参考答案:B3.函数在闭区间上有最大值4,最小值3,则的取值范围是(
)A.
B.
C.D.参考答案:D略4.若直线y=x+b与曲线(x﹣2)2+(y﹣3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3)有公共点,则实数b的取值范围是()A.[1﹣2,3] B.[1﹣,3] C.[﹣1,1+2] D.[1﹣2,1+2]参考答案:A【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意,圆心到直线的距离d==2,b=1±2,(0,3)代入直线y=x+b,可得b=3,即可得出结论.【解答】解:由题意,圆心到直线的距离d==2,b=1±2,(0,3)代入直线y=x+b,可得b=3,∵直线y=x+b与曲线(x﹣2)2+(y﹣3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3)有公共点,∴实数b的取值范围是[1﹣2,3],故选A.【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,属于中档题.5.下列各组函数中,表示同一函数的是(
) A.与
B.与 C.与
D.与参考答案:C略6.如图,在三棱锥S﹣ABC中,底面是边长为1的等边三角形,侧棱长均为2,SO⊥底面ABC,O为垂足,则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值为()A.B.C.D.参考答案:D7.函数的部分图像如图所示,则的值为(
)A.1 B.4 C.6 D.7参考答案:C【分析】根据是零点以及的纵坐标值,求解出的坐标值,然后进行数量积计算.【详解】令,且是第一个零点,则;令,是轴右侧第一个周期内的点,所以,则;则,,则.选C.【点睛】本题考查正切型函数以及坐标形式下向量数量积的计算,难度较易.当已知,则有.8.下列幂函数在(﹣∞,0)上为减函数的是()A.y=x B.y=x3 C.y=x2 D.y=x参考答案:C【考点】函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明.【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用.【分析】利用函数的单调性判断求解即可.【解答】解:y=,y=x3,y=x在(﹣∞,0)上都是增函数,故选:C.【点评】本题考查函数的奇偶性的应用,是基础题.9.根据表中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是(
)-101230.3712.727.3920.09 A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)参考答案:C10.某船从A处向偏北30°方向航行千米后到达B处,然后朝西偏南60°的方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为(
)A.千米 B.千米 C.3千米 D.6千米参考答案:B【分析】通过余弦定理可得答案.【详解】设处与处之间的距离为千米,由余弦定理可得,则.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用,难度不大.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率是___________.参考答案:试题分析:如图,,为它的三等分点,若要使剪得两段的长都不小于1m,则剪的位置应在之间的任意一点处,则该事件的概率为.考点:几何概型中与长度有关的概率计算.12.已知且,则__________.
参考答案:略13.在平面直角坐标系xOy中,在x轴、y轴正方向上的投影分别是–3、4,则与平行的单位向量是_______.参考答案:±【分析】首先由题意可得,再除以向量的模,再考虑反向的情况即可.【详解】∵在x轴、y轴正方向上的投影分别是–3、4,∴=(–3,4),||5.则的单位向量±.故答案为±.【点睛】本题考查单位向量,与的平行的单位向量为,考查了运算能力.14.已知-7,,,-1四个实数成等差数列,-4,,,,-1五个实数成等比数列,则=
.参考答案:-1
略15.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于
.参考答案:试题分析:由题意得,不妨设棱长为,如图,在底面内的射影为的中心,故,由勾股定理得,过作平面,则为与底面所成角,且,作于中点,所以,所以,所以与底面所成角的正弦值为.考点:直线与平面所成角.16.设a>0,b>0,若是与3b的等比中项,则的最小值是__.参考答案:4由已知,是与的等比中项,则则,当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质,其中熟练应用“乘1法”是解题的关键.17.若,且,则向量与的夹角为.参考答案:
解析:,或画图来做三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知数列{an}中,,().(1)求证:数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设,,求Sn.参考答案:(1)解:∵,(),∴,即.∴是首项为,公差为的等差数列.从而.(2)∵,由(1)知.∴()∴,即.19.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,且截距不为零,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.参考答案:解:(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则,所以k=2±,即切线方程为y=(2±)x.当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,则,所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
综上知,切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0;
(2)因为|PO|2+r2=|PC|2,所以x12+y12+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.
要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.
当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,
此时P点即为两直线的交点,得P点坐标.略20.(本小题满分16分)已知圆的方程为,直线,设点.(1)若点在圆外,试判断直线与圆的位置关系;(2)若点在圆上,且,,过点作直线分别交圆于两点,且直线和的斜率互为相反数;①若直线过点,求的值;②试问:不论直线的斜率怎样变化,直线的斜率是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.参考答案:(1)当点在圆外时,得,即∴圆心到直线的距离,∴直线与圆相交.…………5分(2)①由点在圆上,且,,得,即.记直线的倾斜角为,则,…………………7分又∵,
∴直线的倾斜角为,∴.…………10分②记直线的斜率为,则直线的方程为:.将代入圆的方程得:,化简得:,∵是方程的一个根,
∴,
∴,由题意知:,同理可得,,…………………13分∴,∴,∴不论直线的斜率怎样变化,直线的斜率总为定值.………16分21.(12分)已知函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数.(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;(2)若g(x)=loga[f(x)﹣ax](a>0且a≠1),是否存在实数a,使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.参考答案:考点: 复合函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.专题: 函数的性质及应用.分析: (1)由幂函数在(0,+∞)上为增函数且m∈Z求出m的值,然后根据函数式偶函数进一步确定m的值,则函数的解析式可求;(2)把函数f(x)的解析式代入g(x)=loga[f(x)﹣ax],求出函数g(x)的定义域,由函数g(x)在区间[2,3]上有意义确定出a的范围,然后分类讨论使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2的a的值.解答: 解:(1)由函数在(0,+∞)上为增函数,得到﹣2m2+m+3>0解得,又因为m∈Z,所以m=0或1.又因为函数f(x)是偶函数当m=0时,f(x)=x3,不满足f(x)为偶函数;当m=1时,f(x)=x2,满足f(x)为偶函数;所以f(x)=x2;(2),令h(x)=x2﹣ax,由h(x)>0得:x∈(﹣∞,0)∪(a,+∞)∵g(x)在[2,3]上有定义,∴0<a<2且a≠1,∴h(x)=x2﹣ax在[2,3]上为增函数.当1<a<2时,g(x)max=g(3)=loga(9﹣3a)=2,因为1<a<2,所以.当0<a<1时,g(x)max=g(2)=loga(4﹣2a)=2,∴a2+2a﹣4=0,解得,∵0<a<1,∴此种情况不存在,综上,存在实数,使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2.点评: 本题考查了幂函数的
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