导数在研究函数中的应用 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学高二数学第页导数在研究函数中的应用一、函数的单调性1.函数的单调性与导函数的关系：问题1：图1是跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象,图2是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象,,是函数的零点.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学角度刻画这种区别？图1图2问题2：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系。一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，（1）如果，则f(x)在这个区间内单调递增；（2）如果，则f(x)在这个区间内单调递减．方法总结利用导数判断函数的单调性的一般步骤：（1）确定函数y＝f(x)的定义域；（2）求导数y′＝f′(x)的零点；（3）用的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出在各个区间上的正负，由此得出函数函数y＝f(x)在定义域内的单调性。特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系：一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)【例1】利用导数判断下列函数的单调性（1）（2）（3）【例2】已知函数（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间．【练习1】判断下列函数的单调性（2）【练习2】求函数的单调区间【练习3】判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）（2）【例3】已知导函数的下列信息：①当时，；②当或时，；③当或时，，试画出函数图象的大致形状.【练习4】已知函数的导函数有下列信息：①时，；②时，或；③时，或．则函数的大致图像是图中的（）．A．B．C．D．【例4】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为()【例5】已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是()【练习5】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中是函数的图象的是（）A．B．C．D．【练习6】已知函数的导数的图象如图,那么函数的图象最有可能是 ()B.C. D.二、函数的极值与最大（小）值1.函数的极值问题1：观察图，我们发现，当时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变换规律？可以看出，；当时，函数单调，；当时，函数QUOTEh𝑡单调，QUOTEℎ'𝑡<0．这就是说，在附近，函数值先（当QUOTE𝑡<𝑎时，QUOTEℎ'𝑡>0）后（当QUOTE𝑡>𝑎时，QUOTEℎ'𝑡<0）．这样，当在附近从小到大经过QUOTE𝑎时，先后，且QUOTEℎ'𝑡连续变化，于是有QUOTEℎ'𝑎=0．问题2：观察下图，函数y=f(x)在x=a，b，c，d，e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律？以x=a，b两点为例，可以发现，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都______，f'(a)___0；而且在点x=a附近的左側f'(x)____0，右侧f'(x)____0.函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都____，f'(b)___0；而且在点x=b附近的左侧f'(x)___0，右侧f'(x)___0.我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值，极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。方法总结如何区分极大值与极小值呢？一般地，可按如下方法求函数的极值，解方程，当时：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．【例1】函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点．【例2】求函数的极值.【练习1】求下列函数的极值：； （2）；； （4）．【练习2】已知函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是()A．函数f(x)在(1,2)上单调递增B．函数f(x)在(3,4)上单调递减C．函数f(x)在(1,3)上有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点【练习3】若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．2.函数的最大（小）值问题1：观察图5.3-13，它是函数QUOTEy=𝑓𝑥的图象，你能找出它的极小值，极大值吗？观察图象，我们发现是函数QUOTEy=𝑓𝑥的极小值，QUOTE𝑓𝑥6是函数QUOTEy=𝑓𝑥的极大值．问题2:进一步地，你能找出函数在区间上的最小值、最大值吗？从图可以看出，函数在区间上的最小值是，最大值是．问题3：在图1、图2中，观察上的函数和的图象，它们在上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？问题4：从上面三个图中，你是如何判断有没有最大最小值的？你又是如何判断最大最小值？一般地，如果在区间上函数的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．不难看出，只要把函数的所有连同进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值．方法总结用导数求函数y=f(x)最值的步骤：第1步，求出函数的极值。第2步，求定义域内端点值，并将其与极值一一比较即可求得最值。【例1】求函数在区间的最大值与最小值【练习1】求下列函数在给