湖南省常德市陬市中学高三数学理月考试题含解析

湖南省常德市陬市中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则下列结论正确的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C2.角α的终边过点（﹣2，4），则cosα=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先求出角α的终边上的点（﹣2，4）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义求出结果．【解答】解：角α的终边过点（﹣2，4），，所以，故选：B．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用．3.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A．

B．

C．

D．

参考答案：C由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.4.已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为(

)

A．

B．

C．

D．（2，4）参考答案：D略5.如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计的结果，则图中空白框内应填入A.

B.C.

D.参考答案：C6.已知数列{an}为等差数列，且满足a1+a5=90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{an}的第三项，则m的值为（）A．6 B．8 C．9 D．10参考答案：D【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】利用等差数列的性质，求出a3=45，利用（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{an}的第三项，可得=45，即可求出m．【解答】解：数列{an}为等差数列，且满足a1+a5=2a3=90，∴a3=45，∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{an}的第三项，∴=45，∴m=10，故选D．7.在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点，点Q为PF的中点，点M满MQPF，且.过点M作圆的切线，切点分别为S，T，则的最小值为

A．

B．

C．

D.参考答案：【知识点】曲线与方程；距离最值问题.

H9A

解析：设M(x,y)，，则Q(0,b),由QM⊥FP得.由得y=2b,所以点M的轨迹方程为，M到圆心距离d=，易知当d去最小值时取最小值，此时，由三角形面积公式得：,故选A.

【思路点拨】先求得点M的轨迹方程，分析可知当M到圆心距离最小时最小，所以求M到圆心距离d得最小值，再用三角形面积公式求得的最小值.

8.已知正数a,b满足4a＋b=30，使得取最小值的实数对(a,b)是A．(5，10）

B．(6，6)

C．(10，5) D．(7，2)参考答案：A因为正数a,b满足4a＋b=30，所以，当且仅当且4a＋b=30时等号成立，即a=5,b=10.因此选A。9.若函数的图像向右平移个单位后与原函数的图像关于轴对称，则的最小正值是（）A． B．1 C．2 D．3参考答案：D略10.直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列个命题：①若函数R）为偶函数，则；②已知,函数在上单调递减，则的取值范围是；③函数（其中）的图象如图所示，则的解析式为；④设的内角所对的边为若，则；⑤设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是.其中正确的命题为____________.参考答案：略12.在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为______________.参考答案：略13.已知数列{an}中，a1=2，且an+1﹣4an=22n+1，则数列{}的前n项和为．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】根据数列的递推公式得到{an+22n}是以6为首项以4为等比的等比数列，即可求出an的通项公式，继而得到数列{}为常数列，问题得以解决．【解答】解：∵an+1﹣4an=22n+1，∴an+1+22n+1=4（an+22n），∵a1+22=2+4=6，∴{an+22n}是以6为首项以4为等比的等比数列，∴an+22n=6×4n﹣1，∴an=6×4n﹣1﹣22n=×4n，∴=∴数列{}的前n项和Tn=++…+=，故答案为：．【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的通项公式，以及前n项和公式，属于中档题．14.若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为

.参考答案：215.已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x）且当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），则f（31）=

．参考答案：﹣1【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为4的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x+1）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），即有f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，∵当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），∴f（31）=f（32﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1，故答案为：﹣1．16.右图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出y的值是

参考答案：－2由题意，故答案为－2．17.在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则=

.参考答案：-19三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知.（Ⅰ）若，求的单调增区间；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求a的取值范围.参考答案：(Ⅰ)依题意，若时，，由得，又，解得，所以函数的单调递增区间为．(Ⅱ)依题意得即，∴，∵，∴，∴，∴.设，，

令，解得，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；∴=，∴

即．

19.（本小题满分12分）

已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设m=（a-b，c），n=（a-c，a+b），且m∥n．

（1）求∠B;

（2）若a=1，b=，求△ABC的面积．参考答案：(1)解：∵m∥n，∴ 2分

∴ 3分

由余弦定理得： 5分

又． 6分(2)解：∵，由正弦定理得

，∴ 8分

∵a<b，∴A<B，∴ 10分

故 11分

∴． 12分20.已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m﹣2|x﹣11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t（1）求实数t（2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是，求a的值．参考答案：【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【分析】（1）若2f（x）≥g（x+4）恒成立，可得m≤2（|x+3|+|x﹣7|），而由绝对值三角不等式可得2（|x+3|+|x﹣7|）≥20，可得m≤20，由此求得m的最大值t．（2）由柯西不等式可得（2x2+3y2+6z2）?（）≥（x+y+z）2，即a×1≥（x+y+z）2，即x+y+z≤，再根据x+y+z的最大值是=1，可得=1，从而求得a的值．【解答】解：（1）由题意可得g（x+4）=m﹣2|x+4﹣11|=m﹣2|x﹣7|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，∴2|x+3|≥m﹣2|x﹣7|，即m≤2（|x+3|+|x﹣7|）．而由绝对值三角不等式可得2（|x+3|+|x﹣7|）≥2|（x+3）﹣（x﹣7）|=20，∴m≤20，故m的最大值t=20．（2）∵实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），由柯西不等式可得（2x2+3y2+6z2）?（）≥（x+y+z）2，∴a×1≥（x+y+z）2，∴x+y+z≤．再根据x+y+z的最大值是=1，∴=1，∴a=1．21.几何证明选讲如图，是直角三角形，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点.（1）求证：、、、四点共圆；（2）求证：参考答案：略22.(本题满分15分)如图，椭圆C:x2＋3y2＝3b2

(b＞0).(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且|AB|＝，求△AOB面积的最大值.参考答案：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。(Ⅰ)解：由x2＋3y2＝3b2

得，所以e＝＝＝＝．

…………5分(Ⅱ)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面积为S．如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(，)，此时S＝＝；如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y＝kx＋m，由

得x2＋3(kx＋m)2＝3，