山东省烟台市鲁东大学附属中学高三数学理上学期摸底试题含解析

山东省烟台市鲁东大学附属中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数 ②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根③f(x)的图象关于(0，c)对称 ④方程f(x)＝0至多两个实根

其中正确的命题是A．①④

B．①③ C．①②③ D．①②④参考答案：C2.已知直线ax－by－2=0与曲线y=x3在点P(l，1）处的切线互相垂直，则的

值为

（

）

A．

B．

C．－

D．－参考答案：D3.若（为虚数单位），则使的值可能是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案:A4.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)．参考答案：B5.以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（

）

（

）

A．

B．（2，0）

C．（4，0）

D．参考答案：B6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的外接球的体积是（）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A． B．5 C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．【解答】解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（﹣，﹣），联立渐近线方程和椭圆C1：+y2=1，可得交点C（，），D（﹣，﹣），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c==a，则离心率为e==．故选A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．8.已知a，b，c∈R，且满足2a＜2b＜2c＜1，则（）A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac）B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc）C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab）D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc）参考答案：B【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】2a＜2b＜2c＜1，可得a＜b＜c＜0．ab＞ac＞bc＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵2a＜2b＜2c＜1，∴a＜b＜c＜0．∴ab＞ac＞bc＞0，∴log（ab）＜log（ac）＜log（bc），故选：B．9.已知是方程的解,是方程的解,函数，则(

)A.

B.C.

D.参考答案：A略10.抛物线的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线上的任意一点，令，当取得最大值时，直线的斜率是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：如图，抛物线上一点到焦点的距离等于抛物线上一点到准线的距离，根据抛物线的对称性，所以设点P在第一象限,当最小时，最大，所以当直线与抛物线相切时，最小，设直线：与抛物线方程联立，，，解得，故选B.考点：抛物线的几何性质【一题多解】本题主要考察了抛物线的几何性质，属于中档题型，抛物线有一条重要的性质：抛物线上任意一点到焦点的距离和其到准线的距离相等，这样就将到焦点的距离转化为到准线的距离，根据数形结合，可得本题就是求过点的抛物线的切线的斜率，法一，可以设直线，与抛物线联立方程，令，求斜率，或者设切点，根据，求切点，再求切线的斜率.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为

．参考答案：由题意，圆的圆心在圆上运动，当变化时，该圆在绕着原点转动，集合表示的区域如下图所示的环形区域，直线恰好与环形的小圆相切，所以所以表示的是直线截圆所得弦长，又原点到直线的距离为，所以弦长为．

12.设全集设的展开式中的常数项等于 .参考答案：-160，，由，所以，所以展开式中的常数项等于-160.13.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为

▲

。参考答案：略14.设函数在R上存在导数，对任意实数x有，当x时若，则实数m的取值范围是_____参考答案：解：∵∴构造函数则∴是奇函数∵∴∴在x时为减函数∵是奇函数∴为减函数∴R上为减函数∴可化为∴.15.在钝角△ABC中，∠A为钝角，令=，=，若=x+y（x，y∈R）．现给出下面结论：①当x=时，点D是△ABC的重心；②记△ABD，△ACD的面积分别为S△ABD，S△ACD，当x=时，；③若点D在△ABC内部（不含边界），则的取值范围是；④若=λ，其中点E在直线BC上，则当x=4，y=3时，λ=5．其中正确的有

（写出所有正确结论的序号）．参考答案：①②③【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①设BC的中点为M，判断是否与相等即可；②设，，将△ABD，△ACD的面积转化为△APD，△AQD的面积来表示；③求出x，y的范围，利用线性规划知识求出的范围；④用表示出，根据共线定理解出λ．【解答】解：①设BC的中点为M，则=，当x=y=时，=，∴D为AM靠近M的三等分点，故D为△ABC的重心．故①正确．②设，，则S△APD=S△ABD，S△AQD=S△ACD，∵，∴S△APD=S△AQD，即S△ABD=S△ACD，∴，故②正确．③∵D在△ABC的内部，∴，作出平面区域如图所示：令=k，则k为过点N（﹣2，﹣1）的点与平面区域内的点（x，y）的直线的斜率．∴k的最小值为kNS=，最大值为kNR=1．故③正确．④当x=4，y=3时，，∵，∴=，∵E在BC上，∴=1，λ=7，故④错误．故答案为：①②③．16.函数的图象过点(2,3),则函数的图象必过点 参考答案：(4,2)17.复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．参考答案：4考点： 复数代数形式的乘除运算．专题： 数系的扩充和复数．分析： 化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．解答： 解：=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．点评： 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记的面积为，求的最大值.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（I）设圆心的坐标为，半径为由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切………2分圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，故圆心的轨迹：…………4分（II）设，直线，则直线由可得：，……………6分由可得：………………8分和的比值为一个常数，这个常数为……9分（III），的面积的面积到直线的距离…………11分令，则（当且仅当，即，亦即时取等号）当时，取最大值……………………14分19.设命题P：关于x的不等式（a＞0且a≠1）的解集为{x|﹣a＜x＜2a}；命题Q：y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”将两部分合并，即可得出实数a的取值范围．解：对于不等式其解得情况如下：当a＞1时，即为x2﹣ax﹣2a2＞0，解得x＜﹣a，或x＞2a当0＜a＜1时即为x2﹣ax﹣2a2＜0，解得﹣a＜x＜2a当命题Q：y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R为真命题时，易知a≠0，∴a＞0，且△=1﹣4a2＜0，即a＞∵P或Q为真，P且Q为假

∴P，Q中一真一假，若P真Q假，则有0＜a＜1且a≤，∴0＜a≤若P假Q真，则有

a＞1且

a＞，∴a＞1综上所述，P或Q为真，P且Q为假，a的取值范围是0＜a≤，或a＞1．【点评】本题考查含参数的不等式的解法，对数函数性质，复合命题真假的判断，以及逻辑思维能力．本题的关键是转化为时P，Q真假的条件．注意分类讨论．20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线上，求△OAB的面积S的最大值(其中O为坐标原点)．参考答案：21.（本小题满分12分