湖南省长沙市第五中学高三数学文上学期摸底试题含解析

湖南省长沙市第五中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的图象与函数的图像的交点个数是

（

）

A．2

B．3

C．4

D．多于4参考答案：C

2.已知数列{αn}的前n项和sn=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，5）参考答案：A【考点】数列的函数特性．【分析】由已知求出an利用为单调递减数列，可得an＞an+1，化简解出即可得出【解答】解：∵sn=3n（λ﹣n）﹣6，①∴sn﹣1=3n﹣1（λ﹣n+1）﹣6，n＞1，②①﹣②得数列an=3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）（n＞1，n∈N*）为单调递减数列，∴an＞an+1，且a1＞a2∴﹣3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）＞3n（2λ﹣2n﹣3），且λ＜2化为λ＜n+，（n＞1），且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范围是（﹣∞，2）．故选：A．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力．3.已知集合，，则A.[0,7)

B.[0,1)

C.[0,1]

D.[－1,1]参考答案：D4.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是内（不含边界）的一个动点，若，则线段A1P的长的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先判断是正四面体，可得正四面体的棱长为，则的最大值为的长，的最小值是到平面的距离，结合不在三角形的边上，计算可得结果.【详解】由正方体的性质可知，是正四面体，且正四面体的棱长为，在内，的最大值为，的最小值是到平面的距离，设在平面的射影为,则为正三角形的中心，，，的最小值为，又因为不在三角形的边上，所以的范围是，故选C.【点睛】本题主要考查正方体的性质及立体几何求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.5.若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率是

(

)A．

B．

C．或

D．或 参考答案：D6.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则的值为()A．3

B.

C．2

D.参考答案：B7.已知向量，的夹角为，且，，则=（）A． B．61 C． D．7参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】可求出，进而求出，从而可求出的值，这样即可得出的值．【解答】解：，且；∴；∴=25+20+16=61；∴．故选A．8.函数f（x）=1+log2x与g（x）=2x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(

)

参考答案：C9.若函数f（x）=在区间内有极大值，则a的取值范围是（）A． B．（1，+∞） C．（1，2） D．（2，+∞）参考答案：C【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，问题转化为f′（x）在（，1）先大于0，再小于0，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：f′（x）=ax﹣（1+2a）+=，（a＞0，x＞0）若f（x）在（，1）有极大值，则f′（x）在（，1）先大于0，再小于0，则，解得：1＜a＜2，故选：C．10.已知数列{an}是等差数列，Sn是它的前n项和，若，则（

）A.24 B.20 C.16 D.10参考答案：B【分析】根据等差数列的前项和公式化简，将代入求出公差的值，然后由首项和公差，利用等差数列的前项和公式求出即可。【详解】由得解得所以故选B.【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，属于基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，如果，则的取值范围是

。参考答案：12.设函数，其中是给定的正整数，且。如果不等式在区间上有解，则实数的取值范围是

。参考答案：略13.

若复数为纯虚数，则

参考答案：答案：

14.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

▲

．参考答案：15.（+）9的展开式中常数项为672，则展开式中的x3的系数为．参考答案：18【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于672求得实数a的值，再根据通项公式，可得展开式中的x3的系数【解答】解：（+）9的展开式的通项公式为Tr+1=a9﹣r?，令﹣9=0，求得r=6，故展开式中常数项为?a3=672，求得a=2．令﹣9=3，求得r=8，故展开式中的x3的系数×2=18，故答案为：18．16.右图的程序运行后，输出的结果是 参考答案：717.对于函数，有下列5个结论：①，，都有；②函数在[4,5]上单调递减；③，对一切恒成立；④函数有3个零点；⑤若关于x的方程有且只有两个不同的实根，，则.则其中所有正确结论的序号是.参考答案：①③⑤.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.参考答案：（1）；（2）或试题分析：（1）由题意可设，所求椭圆的方程为，且其离心率可由椭圆的方程知，因此，解之得，从而可求出椭圆的方程为.19.定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数；．（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（3）若m＞0，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）当a=1时，易知f（x）在（﹣∞，0）上递减，有f（x）＞f（0）=3，再有给出的定义判断；（2）由函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，结合定义则有|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，再转化为在[0，+∞）上恒成立即可；（3）据题意先研究函数g（x）在[0，1]上的单调性，确定函数g（x）的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，T（m）不小于最大值，从而解决．解：（1）当a=1时，因为f（x）在（﹣∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（﹣∞，0）的值域为（3，+∞）故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立所以函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．（2）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．﹣3≤f（x）≤3，∴在[0，+∞）上恒成立（6）∴设2x=t，，，由x∈[0，+∞）得t≥1，设1≤t1＜t2，所以h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=﹣5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1所以实数a的取值范围为[﹣5，1]．（3），∵m＞0，x∈[0，1]∴g（x）在[0，1]上递减，∴g（1）≤g（x）≤g（0）即（13分）①当，即时，，此时，（14分）②当，即时，，此时，综上所述，当时，T（m）的取值范围是；当时，T（m）的取值范围是[﹣，+∞）（16分）【点评】本题主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，本题主要体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，要求学生在学习中要有恒心和毅力．20.（12分）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.参考答案：解：（1）由题设得，即．又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．由题设得，即．又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，，．所以，．

21.已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）把消去θ化为普通方程，由极坐标方程ρ=﹣4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2=﹣4x，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；（2）画出两圆，数形结合得到A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案．【解答】解：（1）由，得，两式平方作和得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1