安徽省铜陵市大通中学高三数学理测试题含解析

安徽省铜陵市大通中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列{}的前5项和为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】数列的求和；等比数列的性质．【分析】首先根据等比数列的性质和题干条件9S3=S6，求出等比数列{an}的公比，即可求出该数列的前五项，数列的前5项和也就易求出．【解答】解：∵等比数列前n项和公式Sn=，而9S3=S6，∴列等式可知q=2，所以a1=1，a2=2，a3=4…其倒数列前五项为1、、、、，故前5项和为1++++=，故选B．2.参考答案：C3.设a，b，c∈R，则“1，a，b，c，16为等比数列”是“b=4”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据数列的第一项和第五项的值，求得公比q，进而通过等比数列的通项公式求得第三项b，再根据充分必要的条件的定义判断即可．【解答】解：依题意可知a1=1，a5=16，∴=q4=16，∴q2=4，∴b=a1q2=4，则“1，a，b，c，16为等比数列”可以推出“b=4”，但由b=4不能推出“1，a，b，c，16为等比数列”，故选：A．4.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn。则在此定义下，集合中的元素个数是

A．10个

B．15个

C．16个

D．18个参考答案：5.设是双曲线的左右焦点，P是双曲线C右支上一点，若，则双曲线C的渐近线方程是A． B． C． D．参考答案：A解析：因为P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，又∠PF1F2＝30°，由余弦定理，可得，cos30°＝＝＝.

则有c2＋3a2＝2ac，即c＝a，则b＝＝a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x，故选A.

6.已知,那么 （）A． B． C． D．参考答案：C略7.设随机变量服从正态分布，若，则A. B. C. D.参考答案：D略8.设向量，满足|+|=，|﹣|=，则?=（）A．1 B．2 C．3 D．5参考答案：A考点： 平面向量数量积的运算．

专题： 平面向量及应用．分析： 将等式进行平方，相加即可得到结论．解答： 解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2?+=10，﹣2?+=6，两式相减得4?=10﹣6=4，即?=1，故选：A．点评： 本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．9.实数满足,若的最大值为13,则实数的值为（

）A.2

B. C. D.5参考答案：C略10.设为的虚部，为的实部，则（

）A．-1

B．-2

C．-3

D．0参考答案：A因为，所以；因为，所以；因此，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则方程的实根个数为

.参考答案：4

4．考点：函数与方程，函数的零点．【名师点睛】本题考查方程根的个数问题，方程根的个数与函数的零点常常相互转化，也常与函数的图象联系在一起，这样通过数形结合思想得出结论．在函数的图象不能简单表示出时，我们可能研究函数的性质，研究函数的单调性，极值等，以确定函数图象的变化趋势，然后由数形结合思想得出结论．本题方程的实根个数可以转化为函数与两条直线的交点个数，因此要研究函数的性质，根据其解析式，分类讨论，在，，三个范围讨论的性质（这三个范围内都可以化云中的绝对值符号，从而可用易得出结论．12.已知；，若的充分不必要条件是，

则实数的取值范围是___________________参考答案：13.已知，，则

．参考答案：

14.计算__________________.参考答案：略15.设集合P={x|（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是

．参考答案：3考点：定积分；子集与真子集．专题：导数的概念及应用．分析：根据积分公式，求出集合P，即可得到结论．解答： 解：（3t2﹣10t+6）dt=（t3﹣5t2t+6t）|=x3﹣5x2+6x=0，即x（x2﹣5x+6）=0，解得x=0（舍去）或x=2或x=3，即集合P={2，3}．∴集合P的非空子集为{2}，{3}，{2，3}．故答案为：3．点评：本题主要考查积分的计算依据集合子集个数的判断，比较基础．16.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C相交于点M（点M位于第一象限），与它的准线相交于点N，且点N的纵坐标为4，，则实数________．参考答案：设准线与x轴交于点A，过点M作MB⊥AN，垂足为B.设|MN|=3m,|FM|=|BM|=m,由题得故填.

17.某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为

．参考答案：50三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=xex﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a，由导数的单调性，结合f′（1）=0，可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论①当b≤0时，求得f（x）的最小值，可得结论成立；②当0＜b≤e时，设g（x）=xex﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），求出导数，构造函数h（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，求得导数，判断单调性，可得g（x）最小值，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xex﹣alnx的导数为f′（x）=（x+1）ex﹣，x＞0，依题意得f′（1）=0，即2e﹣a=0，解得a=2e．所以f′（x）=（x+1）ex﹣，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值为e．又b（x2﹣2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x2﹣2x+2）；②当0＜b≤e时，设g（x）=xex﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），所以g′（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），令h（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，则h′（x）=（x+2）ex+﹣2b，当x∈（0，1）时，﹣2b≥0，（x+2）ex＞0，所以h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，（x+2）ex﹣2b＞0，＞0，所以h′（x）＞0．所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0．，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e﹣b≥0，所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x2﹣2x+2）．综上，当b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．19.（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=A1B1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；参考答案：【考点】：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】：证明题．【分析】：（I）由中位线定理得到B1C∥MD，再由线面平行的判定理理得到B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）先证明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1求再由线面垂直的判定理得到B1C1⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）证明：如图，连接AB1与A1B相交于M，则M为A1B的中点，连接MD，D又为AC的中点，∴B1C∥MD．又B1C不包含于平面A1BD，MD?平面A1BD，B1C∥平面A1BD∴B1C∥平面A1BD．（5分）（Ⅱ）∵AB=B1B∴四边形ABB1A1为正方形∴A1B⊥AB1又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，又在直棱柱ABC﹣A1B1C1中BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1（9分）【点评】：本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理以及三角形中位线定理．20.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an+1=Sn+2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知bn=log2an，求数列{}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意和an=Sn﹣Sn﹣1化简已知的式子，由等比数列的定义判断出数列{an}是等比数列，并求出公比和首项，由等比数列的通项公式求出an；（2）由（1）和对数的运算性质化简bn，代入化简后，利用裂项相消法求出前n项和Tn．【解答】解：（1）∵an+1=Sn+2，∴当n≥2时，an=Sn﹣1+2，两式相减得，an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an，则an+1=2an，所以（n≥2），∵a1=2，∴a2=S1+2=4，满足，∴数列{an}是以2为公比、首项的等比数列，则an=2?2n﹣1=2n；（2）由（1）得，bn=log2an=log22n=n，∴==，∴Tn=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1=．【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式，数列的前n项和与通项之间关系，以及裂项相消法求数列的和，考查化简、变形能力．21.已知动圆M在圆F1：（x+1）2+y2=外部且与圆F1相切，同时还在圆F2：（x﹣1）2+y2=内部与圆F2相切．（1）求动圆圆心M的轨迹方程；（2）记（1）中求出的轨迹为C，C与x轴的两个交点分别为A1、A2，P是C上异于A1、A2的动点，又直线l：x=与x轴交于点D，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：DE?DF为定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）由直线与圆相切，则|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|，则M点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，即可求得椭圆方程；（2）方法一：分别求得直线PA1的方程，直线PA2的方程，分别求得E和F坐标，则，即可求得DE?DF为定值；方法二：设E和F坐标，联立方程求得P的坐标，将P代入椭圆方程，即可求得，则为定值．【解答】解：（1）设动圆M的半径为r，由已知得，|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|，∴M点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，设椭圆方程：（a＞b＞0），则a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，方程为；（2）解法一：设P（x0，y0），由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0），则，直线PA1的方程为：，，直线PA2的方程为：，当时，，∴，又∵P（x0，y0）满足，∴，∴为定值．（2）解法二：由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0），设直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，由已知得，k1，k2存在且不为零．∴l1的方程为：y=k1（x+2），l2的