北京回民中学高三数学理期末试题含解析

北京回民中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（07年全国卷Ⅰ文）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A解析：曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是(，0)，(0，－)，围成的三角形面积为，选A。2.已知集合，，则

（

）

A．

B．

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C．

D．

参考答案：D略3.设集合，在上定义运算：，其中为被3除的余数，，则使关系式成立的有序数对总共有A．１对B．２对C．３对D．４对参考答案：C4.的图象大致是下面的

（

）参考答案：B5.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当﹣1≤x＜0时，f（x）=log2（﹣3x+1），则f（2017）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；对数函数的图象与性质．【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及f（2﹣x）=f（x）分析可得f（2+x）=﹣f（x），进而可得f（4+x）=f（x），则函数f（x）的周期为4；则f（2017）=f（5×504+1）=f（1）=﹣f（﹣1），由﹣1≤x＜0时，函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2﹣x）=f（x），则有f（2+x）=﹣f（x），则f（4+x）=f[2+（2+x）]=﹣f（2+x）=f（x），则函数f（x）的周期为4，f（2017）=f（5×504+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣log2[（﹣3）×（﹣1）+1]=﹣2，即f（2017）=﹣2；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，关键是求出该函数的周期．6.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是A.

2个

B.

3个

C.4个

D.多于4个参考答案：C略7.已知全集，集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：A8.设，函数的图像向左平移个单位后与原图重合，则的最小值是（

）A．

B．

C.

D．3参考答案：D∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3所以最小是3

9.已知是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，A. B.C. D.参考答案：D10.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=(

)A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10参考答案：B【考点】等差数列；等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1?a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=,则b=

。参考答案：4 因为若a=2,b+c=7,cosB=,所以由余弦定理得：，解得b=4.12.当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是_____▲____参考答案：略13.动点在区域上运动，则的范围是

参考答案：略14.已知向量满足，，.若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是_____________.参考答案：略15.已知单位向量的夹角为，若，如图，则叫做向量的坐标，记作，有以下命题：①已知，则；②若，则；③若，则；④若，，且三点共线，则。

上述命题中正确的有．（将你认为正确的都写上）参考答案：②④略16.函数在处有极值10,则点为______.参考答案：

;提示：由题意得，（1）x=1满足，（2）（1，2）是函数图象上的点，由（1）（2）可求a,b.17.设函数f（x）的定义域为D，若任取x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x2；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为

．参考答案：①④【考点】函数的值．【分析】根据定义分别验证对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使f（x1）+f（x2）=4成立的函数即可．【解答】解：首先分析题目求对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使f（x1）+f（x2）=4成立的函数．①y=x，f（x1）+f（x2）=4得x1+x2=4，解得x2=4﹣x1，满足唯一性，故成立．②y=x2，由f（x1）+f（x2）=4得x12+x22=4，此时x2=，x2有两个值，不满足唯一性，故不满足条件．③y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x2∈D，使成立．故不满足条件④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2∈D，使成立．故成立．⑤y=2x定义域为R，值域为y＞0．对于x1=3，f（x1）=8．要使成立，则f（x2）=﹣4，不成立．故答案为：①④．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？参考答案：略19.已知矩阵，求圆在矩阵的变换下所得的曲线方程.参考答案：设是圆上任意一点，则，设点在矩阵对应的变换下所得的点为，则，即，解得，

………………5分代入，得，即为所求的曲线方程.

………………10分20.设等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，且，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn．参考答案：（1）（2）【分析】（1）根据题意可得，，联立解方程可得数列的通项公式；（2）通过分组求和法可得数列的前n项和.【详解】解：（1）因为，，所以，，依题意可得，，，故；（2）由（1）可知，，故.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.21.（本小题满分13分）已知椭圆的右焦点为F2（1，0），点在椭圆上。（1）求椭圆方程；（2）点在圆上，M在第一象限，过M作圆的切线交椭圆于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由。参考答案：（1）右焦点为，左焦点为，点在椭圆上，所以椭圆方程为----------------5分（2）设，------------------------8分连接OM，OP，由相切条件知：----------------------------------11分同理可求所以为定值。-------------13分22.已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可．（2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可．【解答】解：（1）因为侧棱AA′⊥底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA′的长，而底面三角形ABC的面积S=AC?BC=6，周长c=4+3+5=12，于是三棱柱的表面积S全