四川省成都市高新区大源学校高三数学理下学期期末试卷含解析

四川省成都市高新区大源学校高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}满足：an=，且Sn=，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：C【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】对通项拆项，利用并项法相加即可．【解答】解：∵an==﹣，∴Sn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，又∵Sn=，∴1﹣=，解得n=9，故选：C．【点评】本题考查数列的前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，属于中档题．2.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足，给出下列结论：①；②最小；③；④.其中一定正确的结论是（

）A．①②

B．①③④

C．①③④

D．①②④参考答案：C，所以，，正确；，错误；，，所以，正确；，错误。所以正确的是①③.

3.圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程可以是A．B．C．D．参考答案：答案：D4.若实数x,y满足，则S=2x+y－1的最大值为

A．6

B．4

C．3

D．2参考答案：A5.对实数和，定义运算“”：

设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：B本题是一个新定义运算型问题，考查了同学们处理新知识的能力，难度中等。由条件可知，的图象与x轴恰有两个公共点即y=f(x)的图象与y=c的图象有两个交点，结合图象易知当c或时成立。6.已知函数满足：对定义域内的任意，都有，则函数可以是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a=14，b=21，则输出的a=（）A．2 B．3 C．7 D．14参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a、b的值，即可得出结论．【解答】解：由a=14，b=21，不满足a＞b，则b变为21﹣14=7，由b＜a，则a变为14﹣7=7，由a=b=7，则输出a=7．故选：C．【点评】本题考查算法和程序框图以及赋值语句的运用，是基础题．8.若命题“，使得”是假命题，则实数取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：C9.已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（1，2] C．（1，] D．（1，3]参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用均值不等式建立关系式，==+4a+m≥8a，最后求出结果．【解答】解：设|PF2|=m，（m≥c﹣a）则：根据双曲线的定义：|PF1|=2a+m，所以==+4a+m≥8a当且仅当m=2a时成立．所以：c﹣a≤2a即解得：1＜e≤3故选：D．【点评】本题考查的知识要点：双曲线的定义的应用．双曲线的离心率，均值不等式的应用，属于中等题型．10.已知定义在复数集上的函数满足，则等于(

)

A．

B．

C.

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若== 参考答案：45°略12.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B=．参考答案：{x|﹣1≤x≤3}【考点】1D：并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．∴A={x|﹣1≤x≤2}，又集合B={x|1＜x≤3}，∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}，故答案为：{x|﹣1≤x≤3}，13.已知=（2，﹣1），=（1，3），则（2﹣）?=

．参考答案：11【考点】平面向量数量积的运算．【分析】进行向量坐标的数乘和减法运算求出向量的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可．【解答】解：；∴．故答案为：11．14.已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R，则函数f（x）的单调递增区间是．参考答案：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式，两角和的正弦函数公式化简，然后利用复合函数的单调性可求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣1+cos2x=2（sin2x+cos2x）﹣1=2sin（2x+）﹣1．由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．故答案为：[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．15.的展开式中的系数是

参考答案：略16.已知函数有零点，则的取值范围是___________．参考答案：17.设公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则.

参考答案：1；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，且是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值的大小.

参考答案：解：（1）解法一：取的中点，连接.在中，是的中点，是的中点，所以，又因为，所以且.………………２分所以四边形为平行四边形，所以，………………４分又因为平面平面，故平面.………………５分解法二：因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，设平面的一个法向量是.由得令，则.又因为，所以，又平面，故平面.（2）由（1）可知平面的一个法向量是.………………６分易得平面的一个法向量是………………９分所以，又二面角为锐角，………………１１分故二面角的余弦值大小为.………………１２分19.某射击比赛规则如下，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知某射手在100米处击中目标的概率为，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是相互独立的（1）求这名射手在射击比赛中命中目标的概率；（2）若这名射手在射击比赛中得分记为，求的分布列与数学期望．参考答案：解：记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A，B，C，，则，

......3分（1）“该射手射中目标”为事件D， ......5分（2）射手得分为，则

......6分，

，，

......10分0123

略20.已知椭圆C：的离心率，短轴的一个端点到焦点的距离为.（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点在直线上，求直线l与y轴交点纵坐标的最小值.参考答案：(1)(2)【分析】（1）根据离心率及短轴一个端点到焦点的距离为，可得的值，进而得椭圆方程。（2）设出点、及直线方程，并将直线方程与椭圆方程联立，可得韦达定理表达式，根据判别式可得，根据线段的中点在直线上可得，进而用k表示出m，结合基本不等式可求得m的最小值。【详解】（1）由已知得椭圆的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为，解得，所以椭圆的方程为（2）设直线的方程为，则直线与轴交点的纵坐标为设点，，将直线的方程与椭圆方程联立化简得，由韦达定理得，，，化简得.由线段的中点在直线上，得，故，即，所以，当且仅当，即时取等号，此时，满足，因此，直线与轴交点纵坐标的最小值为.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，属于中档题。21.过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。参考答案：解析：设直线为，代入曲线并整理得则所以当时，即，的最小值为，此时。22.已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，则直线QM的方程为y=﹣3kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件，能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，设A（x1，y1），由，得