福建省龙岩市连城县联溪中学高三数学理期末试题含解析

福建省龙岩市连城县联溪中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则中所含元素的个数为(

)A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：B略2.已知集合，若是整数集合)，则集合B可以为()A. B.C. D.参考答案：C【分析】从选项出发，先化简集合，然后判断是否等于，即可判断出正确的答案.【详解】A选项：若，则，不符合；B选项：若，则，不符合；C选项：若，则，符合；D选项：若，则集合的元素为所有整数的平方数：，则，不符合.故答案选C.【点睛】本题主要考查了集合的化简和集合的运算，属于基础题.对于数集的化简，一般用列举法表示，或者化为范围的形式.3.设集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M,或x∈P”是“x∈M∩P”的

（

）

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条参考答案：A略4.设为平面，为直线，以下四组条件，可以作为的一个充分条件的是A． B．C． D．参考答案：D5.已知函数的零点，其中常数a，b满足，，则n等于(

)

A．-1

B．-2

C．1

D．2参考答案：A6.设函数f（x）=﹣x2+14x+15，数列{an}满足an=f（n），n∈N+，数列{an}的前n项和Sn最大时，n=（）A．14 B．15 C．14或15 D．15或16参考答案：C【考点】二次函数的性质．【分析】由题意，﹣n2+14n+15≥0，得﹣1≤n≤15，即可得出结论．【解答】解：由题意，﹣n2+14n+15≥0，∴﹣1≤n≤15，∴数列{an}的前n项和Sn最大时，n=14或15．故选：C．【点评】本题考查数列的函数性质，考查学生解不等式的能力，比较基础．7.求（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.、为两个互相垂直的平面，、为一对异面直线，下列条件：①、；②、；③、；④、且与的距离等于与的距离，其中是的充分条件的有（

）

A．①④

B．①

C．③

D．②③参考答案：答案：C9.已知O为内一点，且由，则和的面积之比为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C10.将函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集为_________________参考答案：【知识点】绝对值不等式的解法．E2

解析：：∵|2x+1|-2|x-1|＞0，∴|2x+1|＞2|x-1|≥0，

∴（2x+1）2＞4（x-1）2，∴．∴不等式|2x+1|-2|x-1|＞0的解集为．

故答案为：．【思路点拨】由不等式|2x+1|-2|x-1|＞0?不等式|2x+1|＞2|x-1|?（2x+1）2＞4（x-1）2即可求得答案．12.关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣）【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，可得，进而可得m的取值范围．【解答】解：若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，故，即，解得：m∈（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程根与函数零点的关系，难度中档．13.在等比数列中，若，则

。参考答案：14.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得100的所有正约数之和为．参考答案：217【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，类比36的所有正约数之和的方法，有：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+22）（1+5+52），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+22）（1+5+52）=217．可求得100的所有正约数之和为217．故答案为：217．15.已知，且，则的值为

.参考答案：16.已知数列，，把数列的各项排成三角形状，如图所示．记表示第m行，第n列的项，则=

。参考答案：17.若关于x的方程有且仅有3个不同实数解，则实数a的取值范围是

．参考答案：或原方程可转化为，令，

当方程有且只有一个根时，或，发现符合题意，当方程有且只有两个根时，此时或，且两根(0，e)，(，0)，此时，解得，综上实数的取值范围是或．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲

乙

首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9

将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．参考答案：【解】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，

略19.

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S1=4S2，a2n=2an+1．

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）数列{bn}满足：b1=3，bn－bn-1=an+1（n≥2），求数列的前n项和Tn。参考答案：略20.如图，垂直于菱形所在平面，且，，点、分别为边、的中点，点是线段上的动点.（I）求证：；（II）当三棱锥的体积最大时，求点到面的距离.

参考答案：（I）连接、相交于点.∵平面，而平面，∴∵四边形为菱形，∴∵，∴平面∵、分别为、的中点，∴，∴平面，而平面，∴(II）菱形中，，得.∵，∴，∵平面，即平面，∴显然，当点与点重合时，取得最大值2，此时且，，则∵是中点，所有到平面的距离等于到平面的距离，又∴，求得∴到平面的距离为.21.（本小题满分14分）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．参考答案：（1）解：设，则，∵，∴．--------------------2分即，即，所以动点的轨迹的方程．--------------------4分（2）解：设圆的圆心坐标为，则．

①圆的半径为．圆的方程为．令，则，整理得，．

②由①、②解得，．--------------------6分不妨设，，∴，．--------------------8分∴

，

③

当时，由③得，．当且仅当时，等号成立．--------------------12分当时，由③得，．--------------------13分故当时，的最大值为．--------------------14分22.已知过点P(2,1)的椭圆的离心率