天津第五十九中学高一数学理期末试题含解析

天津第五十九中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，若，则数列{xn}是（

）A.递增数列 B.递减数列C.奇数项递增，偶数项递减的数列 D.偶数项递增，奇数项递减的数列参考答案：C【分析】根据题意，由三角函数的性质分析可得，进而可得函数为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。【详解】根据题意，，则，指数函数为减函数即即即即，数列是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C.【点睛】本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。

2.函数f（x）=2x﹣的零点所在的区间是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】令函数f（x）=0得到，转化为两个简单函数g（x）=2x，h（x）=，最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案．【解答】解：令=0，可得，再令g（x）=2x，，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（，1），从而函数f（x）的零点在（，1），故选：B．3.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.50参考答案：B【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析所给的数据可得表示三天下雨的数据组数，根据概率公式，计算可得结果．【解答】解：根据题意，用随机模拟试验模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析可得：20组数据中表示三天中恰有两天下雨的有191、271、932、812、393、027、730，共7组，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为=0.35；故选：B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．4.同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有4种结果，根据概率公式得到结果解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），共有4种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故选B．点评：古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：B【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得S＝4，n＝1，不满足条件S≥6，S＝8，n＝2不满足条件n＞3，执行循环体，满足条件S≥6，S＝2，n＝3不满足条件n＞3，执行循环体，不满足条件S≥6，S＝4，n＝4此时，满足条件n＞3，退出循环，输出S的值为4．故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.（5分）函数f（x）=Asin（2x+Φ）（A＞0，Φ∈R）的部分图象如图所示，则f（﹣）=（） A． ﹣1 B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣参考答案：D考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 由图可知，A=2，f（）=2，可得2sin（+φ）=2，即解得φ的值，从而求出解析式，即可求f（﹣）=2sin（﹣﹣）的值．解答： 解：由图可知，A=2，f（）=2，∴2sin（+φ）=2，即sin（+φ）=1，∴解得：+φ=+2π（k∈Z），∴解得：φ=﹣+2kπ，（k∈Z），∴f（x）=2sin（2x﹣+2kπ）=2sin（2x﹣）．∴f（﹣）=2sin（﹣﹣）=2sin（﹣）=﹣．故选：D．点评： 本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数求值，属于基础题．7.下列四组函数中，表示同一函数的是(

)A．f（x）=log22x，g（x）= B．f（x）=，g（x）=xC．f（x）=x，g（x）= D．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx参考答案：A【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，推出结果即可．【解答】解：f（x）=log22x=x，g（x）==x，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是相同函数．f（x）=，g（x）=x，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数．f（x）=x，g（x）=两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．故选：A．【点评】本题考查两个函数的定义域与对应法则的判断，是基础题．8.已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（） A．2 B．6 C．4 D．2参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值． 【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4， 表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆． 由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）． ∵AC==2，CB=R=2， ∴切线的长|AB|===6． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题． 9.下列各式不能化简为的是

（）A．

B．C．

D．参考答案：C略10.已知其中为常数，若则的值等于(

)

A.-2

B.-4

C.-6

D.-10参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为

.参考答案：略12.设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是__________．参考答案：已知为增函数且，若，由复合函数的单调性可知和均为增函数，故不合题意；当时，，可得，可得，∵在上的最小值为，∴，即，解得：或（舍），故实数的取值范围是．13.若a＞0，b＞0，a与b的等差中项是5，则ab的最大值是

．参考答案：2514.设集合A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩B=

．参考答案：{2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，4}，∴A∩B={2}，故答案为：{2}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．15.（5分）已知函数f（x）=x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是

．参考答案：{﹣1，0，3}考点： 函数的值域．专题： 函数的性质及应用．分析： 求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．解答： 函数f（x）=x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z所以x=﹣2，﹣1，0，1；对应的函数值分别为：0，﹣1，0，3；所以函数的值域为：{﹣1，0，3}故答案为：{﹣1，0，3}．点评： 本题考查函数的定义域以及函数的值域的求法，注意定义域是易错点．16.

；

参考答案：17.若直线l的方程为，则其倾斜角为____，直线l在y轴上的截距为_____.参考答案：

【分析】先求得斜率，进而求得倾斜角；令，求得直线在轴上的截距.【详解】依题意，直线的斜率为，故倾斜角为.令，求得直线在轴上的截距.【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角，考查直线的纵截距的求法，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.现有一批产品共有件，其中件为正品，件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取件，求件都是正品的概率

参考答案：解：（1）有放回地抽取次，按抽取顺序记录结果，则都有种可能，所以试验结果有种；设事件为“连续次都取正品”，则包含的基本事件共有种，因此，（2）可以看作不放回抽样次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录，则有种可能，有种可能，有种可能，所以试验的所有结果为种

设事件为“件都是正品”，则事件包含的基本事件总数为,所以

略19.（本题满分12分)在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为

nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2nmile的C处有一艘缉私艇奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间。(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便)参考答案：解：设缉私艇追上走私船需t小时

则BD=10tnmile

CD=tnmile

∵∠BAC=45°+75°=120°

∴在△ABC中，由余弦定理得

即由正弦定理得∴∠ABC=45°，∴BC为东西走向∴∠CBD=120°在△BCD中，由正弦定理得∴∠BCD=30°，∴∠BDC=30°∴即∴（小时）答：缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需小时。

20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1﹣2Sn=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=n+，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由题意可得Sn+1+1=2（Sn+1），即有数列{Sn+1}是以S1+1=2，2为公比的等比数列，运用等比数列的通项公式和数列的递推式，可得所求通项公式；（2）求出bn=n+=n+n?（）n﹣1，运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．【解答】解：（1）a1=1，Sn+1﹣2Sn=1，即为Sn+1+1=2（Sn+1），即有数列{Sn+1}是以S1+1=2，2为公比的等比数列，则Sn+1=2?2n﹣1=2n，即Sn=2n﹣1，n∈N*，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，上式对n=1也成立，则数列{an}的通项公式为an=2n﹣1，n∈N*；（2）bn=n+=n+n?（）n﹣1，前n项和Tn=（1+2+3+…+n）+[1?1+2?（）+3?（）2+…+n?（）n﹣1]，设Mn=1?1+2?（）+3?（）2+…+n?（）n﹣1，Mn=1?+2?（）2+3?（）3+…+n?（）n，相减可得，Mn=1++（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣n?（）n=﹣n?（）n，化简可得Mn=4﹣（n+2）?（）n﹣1，则Tn=n（n+1）+4﹣（n+2）?（）n﹣1．21.已知数列{an}，{bn}满足，数列{bn}前n项和为Tn.（1）若数列{an}是首项为正数，公比为的等比数列.①求证：数列{bn}为等比数列；②若对任意恒成立，求q的值；（2）已知{an}为递增数列，即.若对任意，数列{an}中都存在一项使得，求证：数列{an}为等差数列.参考答案：解：（1）①数列是公比