河南理工大学《工程力学》7杆类构件的应力分析与强度计算省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

工程力学第七章杆类构件应力分析与强度计算1/70§7-1应力概念§7-2轴向拉伸与压缩时杆件应力·强度条件第七章杆类构件应力分析与强度计算§7-3材料力学性能

§7-4应力集中概念2/70§7-5圆轴扭转时应力·强度条件§7-6梁弯曲应力·强度条件§7-7提升构件强度办法3/70§7-1应力概念一、应力概念构件截面上内力分布集度，称为应力。

若想求受力构件某一截面m-m上M点处应力，可在M点周围取微小面积△A,△A上分布内力协力为△F

，于是在△A上内力平均应力为：4/70总应力p法向分量正应力s背离截面正应力为正，指向截面正应力为负。切向分量切应力t对截面内一点产生顺时针方向力矩切应力为正，反之为负。

应力量纲：ML-1T-2应力单位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。

该截面上M点处罚布内力集度为，其方向普通既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。5/70§7-2轴向拉伸与压缩时杆件应力·强度条件一、拉（压）杆横截面上应力1、变形现象(1)横向线a‘b’和c‘d’仍为直线，且依然垂直于轴线;即通常所说平面假设。

(2)ab和cd分别平行移至a'b'和c'd',且伸长量相等.

6/70结论：每条纵向纤维力学性能相同，其受力也应相同，所以横截面上正应力是均匀分布.2、等截面拉(压)杆横截面上正应力计算公式

7/70式中，

FN

为轴力，A

为杆横截面面积,

符号与轴力FN

符号相同.当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力

;当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力.8/70

例7.1已知一等截面直杆，横截面A=500mm2，所受轴向力作用如图所表示，F=10KN，F=20KN，F=20KN。试求直杆各段正应力。

解：(1)作轴力图9/70

(2)应力计算：式中，负号表示为压应力；正号表示为为拉应力。

10/70二、拉（压）杆斜截面上应力1、斜截面上应力

以pα表示斜截面k-k上应力，于是有:11/70沿截面法线方向正应力

沿截面切线方向剪应力

将应力pα分解为两个分量：

2、符号要求

从x轴逆时针转到a截面外法线n时,a为正值，

反之为负值。12/70(1)当

=00时，

(2)

=450时，讨论xnFkk

13/70三、强度计算拉压杆正常工作时强度条件可表示为：其中：smax—拉(压)杆最大工作应力，[s]—材料拉伸(压缩)时许用应力。依据强度条件能够处理工程中三类强度问题

☆强度校核☆设计截面☆确定许可载荷14/70例7.2一空心圆截面杆,外径,内径,承受作用，材料许用应力，试校轴向载荷杆强度。解：杆件横截面上正应力为:因为所以满足强度校核。15/70例7.3结构中BC

和AC

都是圆截面直杆，直径均为BC为Q235钢杆，其许用应力；AC为木杆，其许。求：该结构许可载荷。用应力解：（1）分析受力，受力图如图所表示。16/70

解得：

（2）计算各杆许可载荷。对BC杆，依据强度条件17/70解得：

所以，该结构两杆都要满足强度条件许可载荷应取：对AC杆，依据强度条件解得：18/70§7-3材料力学性能

一、材料在拉伸时力学性能

常温:室内温度静载:以迟缓平稳方式加载标准试件：采取国家标准统一要求试件①试验条件19/70

试验设备及工具万能材料试验机游标卡尺20/70低碳钢在拉伸时力学性能

低碳钢拉伸时应力-应变曲线图:a●●●●●●bcdef21/70Ob

段:弹性阶段当外力撤消以后产生变形能够完全恢复。百分比极限弹性极限Oa

段:百分比阶段

应力应变完全成正比,满足胡克定律。a●●●●●●bcdef22/70bc

段:屈服阶段

载荷在小范围内波动,基本不变,而变形显著增加材料暂时失去了抵抗变形能力,开始产生塑性变形。光滑试件表面出现与轴线大致成450条纹线。c点:上屈服点d点:下屈服点a●●●●●●bcdefyieldSlide-line23/70de

段:强化阶段

试件恢复了抵抗变形能力,产生变形绝大多数为塑性变形。强度极限a●●●●●●bcdef24/70ef

段:局部变形

试件某一局部突然向里收缩,出现颈缩现象。a●●●●●●bcdef25/70延伸率:截面收缩率:≥5％＜5％塑性脆性★低碳钢是经典塑性材料26/70冷作硬化退火能够消除卸载定律：在卸载过程中，应力和应变按直线改变。27/702.其它塑性材料拉伸时力学性能

对于在拉伸过程中没有显著屈服阶段材料，通常要求以产生0.2％塑性应变所对应应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限，用σ0.2来表示。28/703.铸铁在拉伸时力学性能在较小力作用下就被突然拉断,产生变形很小能够忽略。没有屈服和颈缩现象只能测出★铸铁是经典脆性材料29/70二、材料在压缩时力学性能

①试验试件短圆柱

低碳钢压缩时σ-ε曲线30/70

低碳钢压缩时弹性模量E屈服极限

s都与拉伸时大致相同。屈服阶段后，试件越压越扁，横截面面积不停增大，试件不可能被压断，所以得不到压缩时强度极限。31/70铸铁压缩时σ-ε曲线

铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成450～550倾角，表明这类试件主要因剪切而破坏。铸铁抗压强度极限是抗拉强度极限4～5倍。32/70§7-4应力集中概念

因为构件形状尺寸突变，引发局部应力急剧增大现象，称为应力集中。应力集中处最大应力σmax与该截面上平均应力σm之比，K表示，即称为理论应力集中因数，以

K是应力比值，与材料无关，它反应了杆件在静载荷下应力集中程度，是一个大于1因数。33/70§7-5圆轴扭转时应力·强度条件一、切应力互等定理1、变形现象2、平面假设34/70圆轴扭转前为平面横截面，变形后仍保持为平面，就象刚性圆盘一样绕轴线作相对转动，形状和大小不变，半径仍保持为直线，此假设称为平面假设。

3、推论（1）因两任意圆周线间距离不变，故圆轴横截面上没有正应力存在；（2）因垂直于半径小方格发生了相对错动，故圆轴横截面上必定存在切应力，且其方向垂直于半径。4、切应力互等定理35/70

假设在圆轴表面处用横截面、径向截面以及与表面平行面截取一微小正六面体

依据平衡条件，有由此得：单元体在其两对相互垂直平面上只有切应力而无正应力这种状态，称为纯剪切应力状态。

单元体两个相互垂直平面上切应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面交线。36/70二、剪切胡克定律对于纯剪切应力状态单元体，在切应力

作用下，单元体直角要发生微小改变，这个直角改变量

称为切应变。大量试验结果表明：若应力不超出一定程度，对于只承受纯剪切单元体，切应力

与切应变

之间存在正比关系:

G为材料切变(剪切)模量，单位为帕（Pa）。

37/70三、圆轴扭转时横截面上应力1、变形几何关系

能够求得距圆心为

处切应变为：38/702、物理关系

由剪切胡克定律同一圆周上各点剪应力

均相同，且其值与

成正比，

与半径垂直。39/703、静力学关系

令：IP

—为横截面对形心极惯性矩则：或：从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式:40/70横截面周围上各点处(

=R)最大切应力为:引入:

式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。41/704、圆截面极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp

实心圆截面：空心圆截面：42/70四、强度条件此处[t]为材料许用切应力。对于等直圆轴亦即：同拉伸和压缩类似，利用强度条件能够进行三类强度计算。43/70

例题7.4

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料许用切应力[t

]=80MPa。试校核该轴强度。44/70BC段内AB段内解：1.绘扭矩图

2.求每段轴横截面上最大切应力45/703.校核强度需要指出是，阶梯状圆轴在两段连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考评。

t2,max>t1,max，但有t2,max<[t]=80MPa，故该轴满足强度条件。46/70§7-6梁弯曲应力·强度条件一、纯弯曲47/70在AC和DB段，梁横截面现有弯矩，又有剪力，这种情况称为横力弯曲（剪切弯曲）

。

在CD段内，梁横截面上剪力为零，而弯矩为常量，这种情况称为纯弯曲。梁在纯弯曲变形时，横截面上只有与弯矩相关正应力。48/70二、梁在纯弯曲时正应力

1、变形几何关系

作以下假设：梁横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形后轴线，即弯曲变形平面假设。(2)纵向纤维间无挤压作用，各纵向纤维均处于单向受拉或受压状态。49/70☆

中性层

中性层：构件内部既不伸长也不收缩纤维层。中性轴：横截面与中性层交线。50/70

纵向线bb变形后长度为:

bb变形前长度等于中性层

纵向线bb应变为即：纯弯曲时横截面上各点纵向线应变沿截面高度呈线性分布。

中性层长度不变,所以51/702、物理关系

因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于百分比极限时，由胡克定律有:即：纯弯曲时横截面上任一点正应力与它到中性轴距离y成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。52/703、静力学关系

对横截面上内力系，有:依据静力平衡条件，纯弯曲梁左侧只有对z轴力偶矩M，

即：

53/70由:

z

轴经过形心即：中性轴经过形心。由:因为y轴是对称轴，上式自然满足。54/70EIz

梁抗弯刚度将上式代入由:将弯矩M和坐标y按要求正负号代入，所得到正应力σ若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力。在详细计算中，可依据梁变形情况来判断，即以中性层为界，梁变形后凸出边应力为拉应力，而凹入边应力为压应力，此时,M和y能够直接代入绝对值。55/70在横截面上离中性轴最远各点处，正应力最大。令:式中Wz称为扭弯截面系数，其单位为m3。若截面是高为h宽为b矩形，则：若截面是直径为d实心圆截面，则：

若截面是外径为D,内径是d空心圆截面，则：

56/70当梁上有横向力作用时,横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下弯曲称为横力弯曲。

横力弯曲时,梁横截面上现有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲,横向力引发与中性层平行纵截面挤压应力,纯弯曲时所作平面假设和单向受力假设都不成立。

即使横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但深入分析表明,工程中惯用梁,纯弯曲时正应力计算公式,能够准确计算横力弯曲时横截面上正应力。等直梁横力弯曲时横截面上正应力公式为三、梁在横力弯曲时正应力

57/70四、梁正应力强度条件

等直梁最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远各点处，所以建立梁正应力强度条件为：即梁最大弯曲正应力不超出材料许用弯曲正应力上式仅适合用于许用拉应力与许用压应力相同梁，如低碳钢。但对于铸铁等脆性材料，它们许用拉应力低于许用压应力，则应按许用拉应力与许用压应力分别进行强度计算。58/70

例7.5钢制等截面简支梁受均布载荷q作用，梁横截面为h=2b矩形,求梁截面尺寸。

已知材料许用应力

，

解：作弯矩图危险截面在梁中点，其值为59/70依据强度计算公式对梁进行正应力强度计算：60/7080y1y22020120z例7.6T形截面铸铁梁荷载和截面尺寸如图所表示.铸铁抗拉许用应力为

[

t]=30MPa

,抗压许用应力为[

c]=160MPa。已知截面对形心轴z惯性矩为

Iz

=763cm4

,

y1=52mm,校核梁强度。F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m61/70F2=4kNRARBF1=9kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z解:62/70§7-7提升构件强度办法

弯曲正应力是控制梁强度主要原因。

弯曲正应力强度为：从上式可知，要提升梁弯曲强度，应减小最大弯矩Mmax和提升抗弯截面系数Wz。63/70一、合理配置梁支座和载荷1、合理安排梁支座若将支座向中间移动0.2l,最大弯矩为原来1