因式分解总结

1.因式分解的概念

把一个含字母的多项式表示成若干个含有字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。

2.运用提公因式法分解因式

（1）概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）依据：提公因式法的依据是逆用乘法分配律。

（3）找公因式的方法：

（a）公因式的系数：如果多项式的系数为整数，则取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式的系数，如果原多项式的第1项系数为负数，就把负号提出来，括号内的各项要改变符号。

（b）公因式中的字母是取各项中相同的字母，字母的指数取各项次数最低的。

（c）公因式所含的式子是各项中相同的式子，该式子的指数取各项中次数最低的。提公因式法分解因式口诀：找准公因式，一次要提净，全家都搬走，留1来把守，提负要变号，变形看奇偶。3.运用公式法分解因式：

（1）概念

利用分解因式与整式乘法的互逆关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（2）平方差公式：

a2－b2=(a＋b)(a－b)

它适用于分解的多项式是二项式且是平方差的形式。

它的特点是：

（a）左边是二项式，两项都可以写成平方的形式，并且两式的符号相反。

（b）右边是两个数的和与这两个数的差的积，而且被减数是左边平方项为正的那个数。

（3）完全平方公式：

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

也可以把他们合在一起写成以下的形式：a2±2ab+b2=(a±b)2

它适用于分解的多项式是三项式并且是完全平方式。

它的特点是：

（a）左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的完全平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可。

（b）右边是两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方，当中间的乘积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方。

4.因式分解的步骤及要求：

（1）通常先提公因式再用公式法进行因式分解。

（2）因式分解一定要进行到每一个因式不能再分解为止。

（3）多项式第一项为负系数，常先提出负号再分解因式。

5.综合运用因式分解的方法的技巧1）先看多项式是否有公因式，有公因式尽量先提公因式。

（2）再看多项式是几项式，如果是二项式，考虑是否符合平方差公式的特点，能否运用平方差公式分解因式。如果是三项式，考虑是否符合完全平方公式特点，能否运用完全平方公式分解因式。

分解因式步骤可用一句话概括为：一提二公三化简。

四.本章思想方法归纳

1.类比思想

类比是常用的数学方法，本章中多次利用类比的方法，通过分解因数与分解因式的类比，来体会、理解，认识因式分解的意义；还类比整式的乘法探索因式分解的方法，通过类比，学起来学生会感觉新的知识易于接受。

2.逆向思维

因式分解与整式乘法之间是互逆关系，如提公因式是由乘法分配律反过来得到的一种分解因式的方法，正确的运用逆向思维会给我们解题带来帮助。3.数学方法：本章所应用的因式分解方法有：（1）提公因式法；（2）运用公式法。典型例题分析：

例1．分解因式：(1)4a2-9b2(2)-25a2y4+16b16

分析：①∵4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b即可。

②将两项交换后，这两项式是平方差的形式。

解：(1)4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b)

分析：①这是个两项式，且两项符号相反

②∵16b16=(4b8)225a2y4=(5ay2)2那么可将4b8和5ay2看作平方差公式中的a和b即可。

解：(2)-25a2y4+16b16=16b16-25a2y4=(4b8)2-(5ay2)2

=(4b8+5ay2)(4b8-5ay2)

注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b8)2-(5ay2)2

例2．分解因式：(1)36b4x8-9c6y10(2)(x+2y)2-(x-2y)2

分析：(1)题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。(2)题的两项式符合平方差公式，x+2y和x-2y分别为公式中的a和b。

解：(1)36b4x8-9c6y10

=9(4b4x8-c6y10)

=9[(2b2x4)2-(c3y5)2]

=9(2b2x4+c3y5)(2b2x4-c3y5)

注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。

(2)(x+2y)2-(x-2y)2

=[(x+2y)+(x-2y)][(x+2y)-(x-2y)]

=(x+2y+x-2y)(x+2y-x+2y)

=(2x)(4y)=8xy

注：此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算

例3．分解因式：①(2m-n)2-121(m+n)2②-4(m+n)2+25(m-2n)2

分析：(1)题的第二项应写成[11(m+n)]2就可以用平方差公式分解，2m-n和11(m+n)为公式中的a和b，(2)题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a和b分别为5(m-2n)和2(m+n)，再应用平方差公式分解。

解：(1)(2m-n)2-121(m+n)2

=(2m-n)2-[11(m+n)]2

=[(2m-n)+11(m+n)][(2m-n)-11(m+n)]

=(2m-n+11m+11n)(2m-n-11m-11n)

=(13m+10n)(-9m-12n)

=-3(13m+10n)(3m+4n)

注：(-9m-12n)这项应提取公因式-3

(2)-4(m+n)2+25(m-2n)2

=25(m-2n)2-4(m+n)2

=[5(m-2n)]2-[2(m+n)]2

=[5(m-2n)+2(m+n)][5(m-2n)-2(m+n)]

=(5m-10n+2m+2n)(5m-10n-2m-2n)

=(7m-8n)(3m-12n)

=3(7m-8n)(m-4n)

注：利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则的应用。例如:-2(m+n)=-2m-2n≠-2m+2n

例4.计算1.22222×9-1.33332×4

分析:这是数字的计算问题,若按运算顺序一步步做很繁,我们认真观察,寻求简便算法,发现题中的两项,每一项都可以写成一个数的完全平方,再可以用平方差公式进行因式分解,这样可以使计算简化。

解：1.22222×9-1.33332×4

=(1.2222×3)2-(1.3333×2)2

=(1.2222×3+1.3333×2)(1.2222×3-1.3333×2)

=(3.6666+2.6666)(3.6666-2.6666)

=6.3332×1=6.3332

例5．若(248-1)可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数。

分析：首先应分析248-1的特殊形式为平方差，由题意248-1能被两个数整除说明248-1能分解成哪两个数与其它因式的积，并将248-1进行因式分解。并注意这两个整数的取值范围是大于60且小于70。

解：248-1

=(224)2-12=(224+1)(224-1)

=(224+1)(212+1)(212-1)

=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1)

∵26+1=65为整数，26-1=63为整数，224+1和212+1都为整数

∴=(224+1)(2