2024年度分式方程的应用教案

分式方程的应用教案2024/3/231目录引言分式方程的基本概念分式方程的解法分式方程的应用举例分式方程与实际问题的联系课堂练习与作业布置2024/3/232引言012024/3/23301知识与技能使学生掌握分式方程的基本概念、解法和应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。02过程与方法通过具体实例引入分式方程，引导学生观察、思考、归纳分式方程的特点和解法，采用讲练结合的方法，使学生掌握分式方程的应用。03情感态度与价值观培养学生严谨的数学思维习惯，增强学生数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣和信心。教学目标2024/3/23401分式方程的基本概念02分式方程的解法03分式方程的应用举例教学内容2024/3/2350102教学重点分式方程的解法和应用。教学难点如何将实际问题抽象为分式方程模型，以及如何选择合适的解法解决分式方程。教学重点与难点2024/3/236分式方程的基本概念022024/3/237分式的定义01形如$frac{a}{b}$（$bneq0$）的数学表达式称为分式，其中$a$是分子，$b$是分母。02分式的基本性质分式的值不变，当分子和分母同时乘以或除以同一个非零数。03分式的运算包括分式的加减、乘除以及化简等。分式的定义与性质2024/3/238分式方程的特点未知数在分母中，使得方程的求解过程不同于整式方程。分式方程的定义分母中含有未知数的方程称为分式方程。分式方程的常见形式如$frac{x}{x+1}+frac{1}{x-2}=1$等。分式方程的定义与特点2024/3/239

分式方程的解与解集分式方程的解满足分式方程的未知数的值称为分式方程的解。解的性质分式方程的解必须使得原方程中的每一个分式都有意义，即分母不能为0。解集分式方程所有解的集合称为该分式方程的解集。2024/3/2310分式方程的解法032024/3/231101原理：通过两边同时乘以分母的最小公倍数，将分式方程转化为整式方程。02步骤03找出分母中的最小公倍数。04两边同时乘以最小公倍数，消去分母。05解整式方程，得到未知数的值。06检验解的合理性，排除增根。去分母法2024/3/2312原理：通过引入新的变量，将复杂的分式方程转化为简单的整式方程。换元法2024/3/231301步骤02观察分式方程，选择合适的换元方式。进行换元，将分式方程转化为整式方程。换元法022024/3/2314将新变量的值代回原方程，求出未知数的值。解整式方程，得到新变量的值。检验解的合理性，排除增根。换元法2024/3/2315原理：通过通分，将复杂的分式方程转化为简单的分式方程。通分法2024/3/2316步骤找出分母中的最简公分母。对分子和分母进行通分，使分母相同。通分法2024/3/2317将通分后的分子进行整理，得到简单的分式方程。解简单的分式方程，得到未知数的值。检验解的合理性，排除增根。通分法2024/3/2318通过有理化分母或分子，将无理分式方程转化为有理分式方程进行求解。无理分式方程高次分式方程含参数的分式方程通过降次或换元等方法，将高次分式方程转化为低次分式方程或整式方程进行求解。根据参数的不同取值范围，分别讨论分式方程的解的情况。030201特殊分式方程的解法2024/3/2319分式方程的应用举例042024/3/2320工作总量、工作时间、工作效率之间的关系通过分式方程来表示工作总量与工作时间、工作效率之间的关系，解决工程完成时间、工作效率等问题。合作完成工程问题分析多个个体或团队合作完成工程的情况，利用分式方程求解各自完成工程所需的时间或效率。工程进度问题根据已知的工程进度信息，建立分式方程来求解未知的工程完成时间或剩余工作量。工程问题2024/3/232103追及问题分析两个物体在同一直线上同向而行，一个物体追赶另一个物体的情况，利用分式方程求解追及时间或追及地点。01路程、速度、时间之间的关系通过分式方程来表示路程、速度和时间之间的关系，解决相遇、追及等问题。02相遇问题分析两个物体在同一直线上相向而行的情况，利用分式方程求解相遇时间或相遇地点。行程问题2024/3/2322浓度问题分析将稀溶液浓缩为浓溶液的情况，利用分式方程求解浓缩后溶液的浓度或所需的溶质质量。溶液浓缩问题通过分式方程来表示溶液浓度与溶质质量、溶剂质量之间的关系，解决溶液稀释、浓缩等问题。溶液浓度、溶质质量、溶剂质量之间的关系分析将浓溶液稀释为稀溶液的情况，利用分式方程求解稀释后溶液的浓度或所需的溶剂质量。溶液稀释问题2024/3/2323商品价格、数量、总价之间的关系01通过分式方程来表示商品价格与数量、总价之间的关系，解决商品打折、优惠等问题。商品打折问题02分析商品打折销售的情况，利用分式方程求解商品的折扣率或实际售价。商品优惠问题03分析商品在购买过程中享受优惠的情况，利用分式方程求解优惠后的商品价格或节省的金额。经济问题2024/3/2324分式方程与实际问题的联系052024/3/2325工作问题通过分式方程来表示工作效率、工作时间和工作量之间的关系，如“一项工作，甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，那么甲、乙合作需要多少天完成？”利用分式方程来描述速度、时间和路程之间的关系，如“一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v1千米，t小时可以到达。如果返回时每小时行驶v2千米，那么需要多少时间返回？”通过分式方程来表示溶质、溶剂和溶液之间的关系，以及浓度的变化，如“一杯糖水200克，其中糖占25%。如果再加入10克糖，这时糖占糖水的百分之几？”行程问题浓度问题实际问题中的分式方程模型2024/3/2326建模将实际问题中的条件抽象为数学语言，建立分式方程模型。检验将求得的解代入原方程进行检验，确保解的正确性。求解运用分式方程的解法，求出方程的解。应用将解应用于实际问题中，得出实际问题的答案。分式方程在实际问题中的应用2024/3/2327一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作需要多少天完成？举例1一列火车从甲地开往乙地，每小时行驶120千米，5小时可以到达。如果返回时每小时行驶150千米，那么需要多少时间返回？举例2一杯糖水200克，其中糖占25%。如果再加入10克糖，这时糖占糖水的百分之几？举例3实际问题的分式方程解法举例2024/3/2328课堂练习与作业布置062024/3/2329要点三练习题1某工厂生产A、B两种配套产品，其中每天生产x吨A产品，需生产x+2吨B产品。已知生产A产品的成本与产量的平方成正比。经测算，生产1吨A产品需要4万元，而B产品的成本为每吨8万元。求生产A、B两种配套产品的平均成本的最小值。要点一要点二练习题2甲、乙两人分别从相距36千米的A、B两地同时出发，相向而行，甲从A地出发至1千米时，发现有物品遗忘在A地，便立即返回，取了物品又立即从A地向B地行进，这样甲、乙两人恰好在A、B两地的中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求甲、乙两人的速度。练习题3某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%，那么原来经销此种商品的利润率是多少？要点三课堂练习2024/3/2330作业题2某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%，今年的赢利额应是多少？作业题1一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？作业题3某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比