河南省开封市第四高级中学分校高三数学文摸底试卷含解析

河南省开封市第四高级中学分校高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h的值为（

）A．

B． C．

D．参考答案：B略2.设四点都在同一个平面上，且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由得，即．故选A．考点：向量的线性运算．3.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA﹣=0，则的值是（）A．1 B． C． D．2参考答案：B【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式变形后，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，根据正弦、余弦函数的值域确定出cos（A﹣B）与sin（A+B）的值，进而求出A﹣B与A+B的度数，得到A，B，C的度数，利用正弦定理化简所求式子，计算即可得到结果．【解答】解：由cosA+sinA﹣=0，整理得：（cosA+sinA）（cosB+sinB）=2，即cosAcosB+sinBcosA+sinAcosB+sinAsinB=cos（A﹣B）+sin（A+B）=2，∴cos（A﹣B）=1，sin（A+B）=1，∴A﹣B=0，A+B=，即A=B=，C=，利用正弦定理===2R，得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则====．故选B【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4.已知函数，若，则函数的零点个数是（

）

A.1

B.2

C．3

D.4参考答案：D略5.为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相离

B．相交

C．相切

D．相切或相离参考答案：【知识点】点到直线的距离H2A解析：点M在圆内，故，圆心到直线的距离为：，即，故直线与圆相离．所以选A．【思路点拨】利用点到直线的距离公式求出，判断与的大小关系即可.6.已知函数则的值是（

）A.

B.－9

C.

D.9参考答案：C7.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为（

）A.70.09kg

B.70.12kg

C.70.55kg

D.71.05kg参考答案：B，.因为回归直线过点，所以将点(170,69)代入回归直线方程，得，故回归方程为.代入cm，得其体重为70.12kg8.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有A.210种

B.180种

C.120种

D.95种参考答案：C略9.3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，也就是在圆内割正多边形，求的近似值，刘徽容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失唉，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限近圆的面积，利用“割圆术”刘徽得到圆周率精确到小数点后两位的计算值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（参考数据：sin15°=0.259）（）A．6 B．12 C．24 D．48参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S=3cos30°=＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=6，第2次执行循环体后，S=6cos60°==3＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=12，第3次执行循环体后，S=12sin15°≈3.106＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=24，第4次执行循环体后，S=24sin7.5°≈3.144＞3.14，满足退出循环的条件，故输出的n值为24，故选：C．10.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据y=Asin（ωx+?）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=sin（x+），由x+=kπ，k∈z，可得对称中心的横坐标，从而得出结论．【解答】解：∵，∴由，∴，令．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．参考答案：（，+∞）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据题意，分析可得若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点；作出函数y=f（x）的图象，分析直线y=k与其图象有且只有两个交点时k的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点，而函数f（x）=，其图象如图，若直线y=k与其图象有且只有两个交点，必有k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）；故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键是将函数零点的个数转化为函数图象的交点个数的问题．12.那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为（），培养时间在16小时以上，某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围固定在29~50，精确度要求，用分数法安排实验，令第一试点在处，第二试点在处，则=

。

参考答案：7913.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的序号为

．①△DMN可能是直角三角形；②三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；③平面DMN⊥平面BCC1B1；④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]．参考答案：②③④【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】①，利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形；②，由△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，得到三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；③，由BM=C1N，得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1；④，平面DMN与平面ABC平行时所成角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大．【解答】解：如图，对于①，若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，故错误；对于②，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值，故正确；对于③，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，故正确；对于④，当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于．∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]，故正确，∴正确的是②③④．故答案为：②③④．14.已知数列{an}满足a1=0，|an+1|=|an﹣2|，记数列{an}的前2016项和为S，则S的最大值为．参考答案：2016【考点】数列递推式．【分析】由已知得an+1=an﹣2，或an+1=2﹣an，由数列{an}的前2016项和为S，S取最大值时，得an+1+an=2，从而得到an=，由此能求出S的最大值．【解答】解：∵数列{an}满足a1=0，|an+1|=|an﹣2|，∴an+1=an﹣2，或an+1=2﹣an，∵数列{an}的前2016项和为S，S取最大值时，an+1+an=2，∴an=，∴Smax=1003×0+1003×2=2016．故答案为：2016．15.设P，Q分别为圆x2+y2﹣8x+15=0和抛物线y2=4x上的点．则P，Q两点间的最小距离是．参考答案：2﹣1

【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得圆的圆心和半径，由二次函数可得P与圆心距离的最小值，减半径即可．【解答】解：∵圆x2+y2﹣8x+15=0可化为（x﹣4）2+y2=1，∴圆的圆心为（4，0），半径为1，设P（x0，y0）为抛物线y2=4x上的任意一点，∴y02=4x0，∴P与（4，0）的距离d==，∴由二次函数可知当x0=2时，d取最小值2，∴所求最小值为：2﹣1．故答案为：2﹣1．【点评】本题考查两点间的距离公式，涉及抛物线和圆的知识，属中档题．16.已知的值等于

.参考答案：017.设函数，f（x）的单调减区间是．参考答案：（﹣2，0）考点： 利用导数研究函数的单调性．

专题： 函数的性质及应用．分析： 求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为递增区间，导函数小于0得到f（x）的递减区间．解答： 解：f′（x）=xex+x2ex=x（x+2）．令x（x+2）＜0得x＞0或x＜﹣2，∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；单减区间为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）点评： 求函数的单调区间常利用的工具是导数；导函数的符号判断函数的单调性．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）求函数在上的最大值、最小值；（2）当，比较与的大小；（3）求证：.参考答案：（1）在上是增函数，，

4分（2）令，当时，；当；在上是增函数，在是减函数；极大值为是大值，当时，，即.

8分（3），令将上式倒序相加

12分19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD，底面为直角梯形，，且AD=2，AB=BC=1，PA=（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：平面PAB；（Ⅱ）若二面角B—PC—D的大小为150°，求此四棱锥的体积.参考答案：解法一：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连结BN、NM，在△PAD中，，且；又，且，所以MNBC，即四边形BCMN为平行四边形，.又平面PAB，平面PAB，故平面PAB.

……5分（Ⅱ）如图，连结AC，则二面角B—PC—D的大小等于二面角B—PC—A的大小与二面角D—PC—A的大小的和.由知，又，所以平面PAC，即平面P平面PAC，所以二面角D—PC—A的大小为90°.于是二面角B—PC—A的大小为60°，过B作于E，过E作于F，连结BF，由三垂线定理知为二面角B—PC—A的平面角.

……9分在Rt△ABC中，，又易知△PBC为Rt△，且，∴，解得

……11分所以四棱锥P—ABCD的体积为

……12分

解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，）.

……2分（Ⅱ）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，），所以.又平面PAB的法向量可取为，而，即.又平面PAB，所以平面PAB.

……6分（Ⅱ）设平面PBC的法向量为.∵

∴不妨取，则，∴

又设平面PCD的法向量为.∵

∴

不妨取，则

∴.

……9分由的方向可知，解得．

……11分所以四棱锥P—ABCD—体积为．

……12分略20.

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=，PD底面ABCD．

（I）证明：平面PBC平面PBD；

(Ⅱ)若二面角P-BC-D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ）∵

∴又∵⊥底面

∴又∵

∴平面而平面

∴平面平面

…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，平面

,所以∠21.（12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅲ）若，使（）成立，求实数a的取值范围.参考答案：由已知函数的定义域均为,且.…1分（Ⅰ）函数

当且时,;当时,.所以函数的单调减区间是,增区间是.

………………3分（Ⅱ）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．

…………6分（Ⅲ）命题“若使成立”等价于“当时，有”．

由（Ⅱ），当时，，．