第1节-反比例函数的图像和性质

第二十六章反比例函数第一节反比例函数的图像和性质一、课标导航课标内容课标要求目标层次反比例函数的图像及性质了解反比例函数的意义，能画出反比例函数的图像，理解反比例函数的性质★能根据已知条件确定反比例函数的解析式，能用反比例函数的知识解决有关问题★★二、核心纲领1.反比例函数⑴定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数.注：①自变量x在分母上，指数为1.②比例系数k≠0.③自变量x的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y≠0.④反比例函数的其他形式：xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）.⑵图像：反比例函数的图像是双曲线，也称双曲线（k≠0）⑶性质（如下表所示）反比例函数（k≠0）k的符号k＞0k＜0图像xxyOxxyO性质图像分布的象限第一、三象限第二、四象限y随x变化的趋势在每个象限内，y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）在每个象限内，y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）注：⑴y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件.⑵（k为常数，k≠0）中自变量x≠0，函数值y≠0，所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.2.待定系数法求反比例函数的解析式只需图像上一个点的坐标即可求出k.3.反比例函数的图像的对称性⑴中心对称：对称中心是原点.⑵轴对称：对称轴是直线y=x和直线y=—x.4.k的几何意义（如下表所示）定义结论反比例函数（k为常数，k≠0）图像上的任意一点的横纵坐标之积等于比例系数k.xxyOP1P2P3B1B2B3A1A2A3AA1A1A3xyOP1P2P3xxyOABMN∵S△AOM=S△BON，S△AOB=S四边形AONB—S△BON=S四边形AONB—S△AOM∴S△AOB=S矩形ABNMBBCAxyOD点A与C，点B与D分别关于原点对称，所以四边形ABCD为平行四边形，从而S四边形ABCD=4S△AOBBBxyOAMNPS1S2①S1=S2；②S四边形MONP的值为定值；③当M为AP的中点，则N必为PB的中点；④当M为AP的n等分点时，则N必为PB的n等分点.5.数学思想⑴数形结合；⑵分类讨论.本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义.三、全能突破基础演练1.如果y是m的反比例函数，m是x的正比例函数，那么y是x的（）A.反比例函数B.正比例函数C.一次函数D.反比例或正比例函数2.若反比例函数的图像在第二、四象限，则m的值是（）A.-1或1B.小于的任意实数C.-1D.不能确定3.如图26-1-1所示，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图像上.若点A的坐标为（-2，2）则k的值为（）A.1B.-3C.4D.1或-3CCBADOxy图26-1-14.若函数为反比例函数，则m=______.5.三个反比例函数y1，y2，y3的图像的一部分如图26-1-2所示，则k1，k2，k3的大小关系为______.xxOy图26-1-26.反比例函数的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图像上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图像的某一分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；⑤函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形.⑥一元二次方程x2—（2k—1）x+k2—1=0无实数根.其中正确的是______（在横线上填出正确的序号）7.已知y=y1+y2，而y1与x+1成反比例，y2与x2成正比例，并且x=1时，y=2；x=0时，y=2.求y与x的函数关系式.8.如图26-1-3所示，定义：若双曲线（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线（k＞0）的对径.⑴求双曲线的对径；⑵若双曲线（k＞0）的对径为，求k的值；⑶仿照上述定义，定义双曲线（k＜0）的对径.OOxyAB图26-1-3能力提升9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图26-1-4所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）BBOxyAOxyyxOCxOyD图26-1-4Oxy10.下列选项中，阴影部分面积最小的是（）MMxOyNMNxOyM(1,2)xOyn(2,1)xOyM(1,2)N(-1,-2)ABCD11.根据图26-1-5（a）所示的程序，得到了y与x的函数图像如图26-1-5（b），过点M作PQ∥x轴交图像于点P、Q，连接OP、OQ.则以下结论：①x＜0时，；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POQ可以等于90°.其中正确的结论是（）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤xx＞0x＜0输入非实数x取倒数×2取相反数×4取倒数输出y（a）（b）OyxQPM图26-1-512.⑴正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数(k2≠0)的一个交点为（1，-2），则另一个交点为______.（2）直线y=ax（a）0）与双曲线y=交于A、B两点，则=.13.如图26-1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数的图像上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为.14.如图26-1-7所示，点A、B是函数y=x与y=的图像的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为.15.如图26-1-8所示，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为6，则k=.16.如图26-1-9所示，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数的图像上.若点R是该反比例函数图像上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S=m（m为常数，且0<m<4）时，反比例函数解析式为，点R的坐标是（用含m的代数式表示）.17.如图26-1-10所示，在平行四边形AOBC中，对角线交与点E，双曲线经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k=.18.如图26-1-11所示，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（-2，0），过点C（-2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，点E在某反比例函数图像上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数解析式为.19.（1）两个反比例函数在第一象限内的图像如图26-1-12所示，点、…、在反比例函数的图像上，它们的横坐标分别是、…、，纵坐标分别是1、3、5、…共2013个连续奇数，过点分别作y轴的平行线与的图像交点依次是、、、…、，则=.（2）如图26-1-13所示，在函数的图像上有点、…、、，点的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点、…、、分别作x轴、y轴的垂线段，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为、…、，则，.（用含n的代数式表示）20.（1）①如图26-1-14（a）所示，一个正方形的一个顶点在函数的图像上，则点的坐标是（，）.②如图26-1-14（b）所示，若有两个正方形的顶点、都在函数的图像上，则点的坐标是（，）.（2）如图26-1-14（c）所示，若将两个正方形改为两个等腰直角三角形，直角顶点在函数的图像上，斜边、都在x轴上，①求点的坐标；②求点的坐标.（3）如图26-1-14（d）所示，若有两个等边三角形的顶点都在函数的图像上，点、在x轴上，直接写出点的坐标.21.（1）探究：如图26-1-15（a）所示，已知△ABC和△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.（2）应用：①如图26-1-15（b）所示，点M、N在反比例函数图像上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F，试证明：MN∥EF.②若①中其它条件不变，只改变点M、N的位置，如图26-1-15（c）所示，请判断MN与EF是否平行，直接写出结论。（3）拓展：如图26-1-15（d）所示，点M、N在反比例函数的图像上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别是E、F，交反比例函数的图像于点G、H，MN与GH是否平行？并说明理由.22.(1)(2012荆门)已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数y=的解析式为（）A．y=B．y=﹣C．y=或y=﹣D．y=或y=﹣(2).（2012•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数y=图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限23.(2013•江西南昌)如图26-1-16所示，，直线y=x+a﹣2与双曲线y=交于A、B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为（）A．0B．1C．2D．524.(2013•北京)如图26-1-17所示，，在平面直角坐标系xoy中，已知直线：，双曲线。在上取点A1，过点A1作轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作轴的垂线交于点A2，请继续操作并探究：过点A2作轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作轴的垂线交于点A3，…，这样依次得到上的点A1，A2，A3，…，An，…。记点An的横坐标为，若，则=__________，=__________；若要将上述操作无限次地进行下去，则不能取的值是__________25.如图26-1-18所示，点P是反比例函数图像上的